Ganzrationale Funktionen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Di 12.06.2007 | | Autor: | Spot |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen
a) von Grad 2, deren Graph durch A(0|2) und B(6|8) geht und die x-Achse berührt
b) von Grad 3, deren Graph durch A(-2|2), B(0|2) und C(2|2) geht und die x-Asche berührt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Langsam steigt mir die Bestimmung von Ganzrationalen FUnktionen über den Kopf, vielleicht kann hier mit jemand helfen Ordnung herein zu bringen.
1. Was ist überhaupt eine ganzrationale Funktion ?
2. Wie ist der Ansatz der oben genannten Aufgabe ? Und warum ist er so ?
Eine kleine Bitte hätte ich:
Erklärt es so einfach wie möglich, am besten mit möglichste vielen Kommentaren - die Erklärungen in meinem Mathebuch (LS Analysis, Lambacher Schweizer, Ernst Klett Verlag, ISBN 3-12-732170-8) sind schlichtweg ,,bockmisst" - da verstehe ich noch weniger als vorher.
Und Internet-Recherche hat mich leider nicht weiter gebracht...
Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar
MFG Spot :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 12.06.2007 | | Autor: | Kroni |
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen
> a) von Grad 2, deren Graph durch A(0|2) und B(6|8) geht
> und die x-Achse berührt
> b) von Grad 3, deren Graph durch A(-2|2), B(0|2) und
> C(2|2) geht und die x-Asche berührt
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Langsam steigt mir die Bestimmung von Ganzrationalen
> FUnktionen über den Kopf, vielleicht kann hier mit jemand
> helfen Ordnung herein zu bringen.
>
> 1. Was ist überhaupt eine ganzrationale Funktion ?
Ich gebe dir mal einige Beispiele:
[mm] f(x)=ax^2+bx+c [/mm] (ganzrat. Funktion 2. Gerades)
[mm] f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] (ganzrat. Funktion 3. Gerades).
Du siehst: Es handelt sich immer um eine Summe, wo jeder Summand die FOrm [mm] ax^n [/mm] hat. a kann jede Rationale Zahl sein, n muss eine natürliche Zahl sein.
Hat man eine ganzrat. Funktion n. Gerades, so ist ist die höchste Potenz, die vorkommt die n.
Sprich: hast du ne Summe, die die oben genannte Forderungen erfüllt, guckst du, wo die höchste Potzenz ist (die dann mal n sei), und diese ganzrat. Funktino ist dann eine n. Gerades.
>
> 2. Wie ist der Ansatz der oben genannten Aufgabe ?
Für die 2. Gerades schreibst du dir hin:
[mm] f(x)=ax^2+bx+c
[/mm]
Du hast drei unbekannte, brauchst also drei Info:
1) f(0)=2
2) f(6)=8
3) Berührt die x-Achse:
Einmal allgemein bitte bestimmen, wo y=0 gilt, und an dieser Stelle braucht deine Parabel dann eine waagerechte Tangente.
Allgemein kannst du auch schon sagen: Der Scheitelpunkt muss auf der x-Achse liegen.
Und
> warum ist er so ?
Weil es die Punkte so fordern.
Noch n Zusatz zu dem berühren: Es handelt sich dann bei deiner Nullstelle um eine doppelte Nullstelle!
Vlt. kannste da mit ja auch weiterkommen
>
> Eine kleine Bitte hätte ich:
> Erklärt es so einfach wie möglich, am besten mit
> möglichste vielen Kommentaren - die Erklärungen in meinem
> Mathebuch (LS Analysis, Lambacher Schweizer, Ernst Klett
> Verlag, ISBN 3-12-732170-8) sind schlichtweg ,,bockmisst" -
> da verstehe ich noch weniger als vorher.
> Und Internet-Recherche hat mich leider nicht weiter
> gebracht...
>
> Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar
> MFG Spot :)
>
LG
Kroni
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
Wie bestimme ich wo y=0 liegt ?
Ich habe jetzt mal weiter gerechnet:
[mm] f(x)=ax^2 [/mm] + bx + c
f(0)=2 > 2 = [mm] a*0^2 [/mm] + b*0 + c (in f(x) eingesetzt)
f(6)=8 > 8 = [mm] a*6^2 [/mm] + b*6 + c ( ,, , )
dann habe ich für c=2 und für b=0 heraus
Als Taschenrechner benutze ich den Texeas Instr. Voyage 200
Doch wie jetzt weiter ?...
P.S.: Schonmal danke für die erste Antwort ;)
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Hallo Spot!
Der Wert $c \ = \ 2$ ist richtig. Aber wie bist Du auf $b \ = \ 0$ gekommen?
Bestimme Dir zunächst über die 1. Ableitung den Extremwert [mm] $x_E$ [/mm] durch die Gleichung [mm] $f'(x_E) [/mm] \ = \ 0$ .
Und dieser Wert [mm] $x_E [/mm] \ = \ ...$ wird in die Ausgangsfunktion eingesetzt und muss ebenfalls den Wert [mm] $f(x_E) [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$ ergeben.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
f(6)=8 >
[mm] 8=a*6^2 [/mm] + b*6 +c
8=6b+c |:b / -8
b=(6+2)-8
b=0
So habe ich es gemacht.
Ich habe diese Gleichungen aucg mal wie folgt in meinen Taschenrechner (TI Voyage 200) eingegeben:
[mm] solve(2=a*0^2+b*0+c [/mm] and [mm] 8=a*6^2+b*6+c,{a,b,c}) [/mm]
(vor und nach a,b,c sind noch Geschweifte Klammern, warum die hier nicht angezeigt werden weiß ich nicht...)
Dort kommt dann allerdings für die Variablen a,b,c heraus:
a=-(@17-1)/6 and b=@17 and c=2
Wie muss ich das verstehen ? Vielleicht ein Eingabefehler ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Mi 13.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin s,
stimmt. bockmist ist, wenn der bock misst.
> f(6)=8 >
> [mm]8=a*6^2[/mm] + b*6 +c
> 8=6b+c |:b / -8
wo ist denn hier a geblieben?
das stimmt nicht. zunächst kannst du c=2 einsetzen:
8 = 36a + 6b +2 | -2
6 = 36a + 6b | :6
1 = 6a + b
2. gleichung
um weiterzukommen musst du eine dritte gleichung aufstellen:
nullstellen einer funktion erhältst du, indem du den funktionswert null setzt und dazu dann die lösungen ermittelst.
0 = [mm] ax^2 [/mm] +bx + c
... aber mein vorredner hat dir ja schon die idee genannt, die zur lösung führt.
wenn eine parabel die x-achse berührt und nicht schneidet, dann ist an dieser stelle der scheitelpunkt der parabel.
d.h. die steigung an diesem punkt ist null bzw. es existiert dort eine waagerechte tangente .
ich könnte also z.b. die erste ableitung der funktion bilden, diese null setzen und...
f'(x) = 2ax + b
0 = 2ax + b
x = [mm] \bruch{-b}{2a} [/mm] => wäre gleichzeitig Nullstelle der Funktion!
also könnte ich auch sagen:
0 = [mm] ax^2 [/mm] +bx + c
bzw.
0 = a [mm] *(\bruch{-b}{2a})^2 [/mm] + [mm] b*\bruch{-b}{2a} [/mm] +2
0 = [mm] \bruch{b^2}{4a} [/mm] - [mm] \bruch{b^2}{2a} [/mm] +2
3. gleichung
die zweite und die dritte gleichung kannst du jetzt nehmen. zwei gleichungen mit zwei unbekannten. und damit a und b bestimmen.
alles klar?!
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
So, nochmal ein bisschen rumprobiert
f(0)=2 > 2 = [mm] a*0^2+b*0+c
[/mm]
f(6)=8 > 8 = [mm] a*6^2+b*6+c
[/mm]
f'(0)=2 > 2=2*a*0+b
f'(6)=0 > 0=2*a*6+b
Das alle mit solve(...) in den Taschenrechner eingeben und folgendes kommt heraus:
a=-0,16 b=2 und c=2
Dann habe ich diese Werte in f(x) eingesetzt:
f(x)= [mm] -0,16x^2+2x+2
[/mm]
Diese Gleichung dann im y-Editor des Ti eingegeben und den daraus entstehenden Graphen angeschaut: Passt :)
Dann die Nullstellen gelöst, indem ich f(x)=0 gesetzt habe:
0= [mm] -0,16x^2+2x+2
[/mm]
Mit solve(...) gelöst
x1=12,93 und x2 = -0,928
In den Graph geguckt: Passt !
Danke danke für eure Hilfe "! ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Spot
> So, nochmal ein bisschen rumprobiert
>
> f(0)=2 > 2 = [mm]a*0^2+b*0+c[/mm]
> f(6)=8 > 8 = [mm]a*6^2+b*6+c[/mm]
> f'(0)=2 > 2=2*a*0+b
> f'(6)=0 > 0=2*a*6+b
Du hast ja als Ziel der Aufgabe eine Parabel.
Die soll die x-Achse "berühren", d.h. der Scheitel muss auf der x-Achse liegen!
Der Scheitel ist der EINZIGE Punkt, in dem eine Parabel eine waagrechte Tangente hat.
Bei Deinem Vorschlag (f'(6)=0) liegt die waagrechte Tangente und damit der Scheitel aber bei x=6 und somit im Punkt B(6;8), also keinesfalls auf der x-Achse!
> Das alle mit solve(...) in den Taschenrechner eingeben und
> folgendes kommt heraus:
>
> a=-0,16 b=2 und c=2
>
> Dann habe ich diese Werte in f(x) eingesetzt:
>
> f(x)= [mm]-0,16x^2+2x+2[/mm]
>
> Diese Gleichung dann im y-Editor des Ti eingegeben und den
> daraus entstehenden Graphen angeschaut: Passt :)
>
> Dann die Nullstellen gelöst, indem ich f(x)=0 gesetzt
> habe:
>
> 0= [mm]-0,16x^2+2x+2[/mm]
>
> Mit solve(...) gelöst
>
> x1=12,93 und x2 = -0,928
Das sind zwei SCHNITTstellen! Wo ist Dein BERÜHRpunkt??!!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
Wie ist das denn mit den 1. Ableitungen f'(x) ?
Kapier nicht wie die dann immer heißen müssen...
Was ist überhaupt die erste Ableitung ?
Wie wäre die erste Ableitung von f(0)=2 und f(6)=8 ?
Und warum ist sie so ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mi 13.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Wie ist das denn mit den 1. Ableitungen f'(x) ?
> Kapier nicht wie die dann immer heißen müssen...
>
> Was ist überhaupt die erste Ableitung ?
die erste ableitung einer funktion gibt zu jedem punkt die steigung der funktion an.
ableitungsregeln für ganzrationale funktionen findest du in deiner formelsammlung.
allgemein ist die ableitung einer ganzrationalen funktion zweiten grades:
f'(x)= 2ax +b
> Wie wäre die erste Ableitung von f(0)=2 und f(6)=8 ?
> Und warum ist sie so ?
nein, die erste ableitung an der stelle 0 wäre in deinem fall
f'(0) = 2a*0 +b
f'(0)=b (allerdings weiß ich nicht, wie groß dein b ist)
f'(6)=2a*6 +b
f'(6)=12a +b (dies wäre nur dann gleich 8, falls a und b entsprechende werte hätten)
im übrigen macht es keinen sinn hochgezüchtete taschenrechnerfunktionen zu benutzen, wenn man nicht weiß, was man da eigentlich tut. also besser erstmal ohne! es lohnt sich.
achso, falls ihr ableitungen noch nicht gehabt habt (wovon ich nicht ausgehe), kannst du die 3. gleichung auch über die scheitelpunktform aufstellen, da du den scheitelpunkt ja kennst!
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Hi, spot,
> Bestimmen Sie alle ganzrationalen Funktionen
> a) von Grad 2, deren Graph durch A(0|2) und B(6|8) geht
> und die x-Achse berührt
Also meines Erachtens wäre es am einfachsten, von Anfang an zu berücksichtigen, dass die Funktion eine doppelte Nullstelle hat!
Daher der Ansatz: f(x) = k*(x - [mm] a)^{2}
[/mm]
Hier setzt man nun die Punkte A und B ein und erhält zwei Gleichungen mit den Unbekannten k und a.
Nach entsprechender Umformung erhält man dann als mögliches Zwischenergebnis:
[mm] a^{2} [/mm] + 4a - 12 = 0
woraus man 2 Lösungen erhält, nämlich:
[mm] a_{1} [/mm] = 2; [mm] a_{2} [/mm] = -6
Wenn man dann noch das jeweilige k ermittelt erhält man 2 Funktionen als Lösung der Aufgabe:
[mm] f_{1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*(x [/mm] - [mm] 2)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*x^{2} [/mm] - 2x + 2
und
[mm] f_{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{18}*(x +6)^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{18}*x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x [/mm] + 2
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
Ok irgendwie verstehe ich nur Bahnhof...
Was ist k ?
Und was hat [mm] (x-a)^2 [/mm] zu bedeuten ?
>
>Hier setzt man nun die Punkte A und B ein und erhält zwei Gleichungen mit den Unbekannten k und a.
Wie heißen diese Gleichungen ?
usw..
Kann dir leider überhaupt nicht folgen....
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Hi, spot,
> Was ist k ?
>
> Und was hat [mm](x-a)^2[/mm] zu bedeuten ?
Wie weit kennst Du Dich bereits aus mit folgenden Themen?
(1) Parabeln (Funktionsgleichung, Scheitel, Scheitelform, ...)
(2) Nullstellen (Berechnung, einfache, doppelte Nullstellen, ...)
Von der Beantwortung dieser Fragen hängt es ab, wo ich mit meinen Erklärungen beginnen muss!
Ich nehm' erst mal Deine obigen Fragen auf:
1. Was ist k?
Nun: k (oder bei Deinem ersten Ansatz a - die Wahl des Buchstaben spielt ja für die Rechnung keine Rolle!) ist sozusagen "die Öffnung" der Parabel.
Ist z.B. k=1, so hast Du eine Normalparabel;
ist k=2, so ist die Parabel "schmaler" (oder wenn's Dir lieber ist: steiler) als die Normalparabel;
ist k=0,5, so ist die Parabel breiter, usw.
2. Wieso (x - [mm] a)^{2}?
[/mm]
Nun: Wenn eine Funktion die Nullstelle x=a hat, so kann man den Term (x-a) ausklammern. Ist die Nullstelle doppelt, so kann man (x-a) sogar zweimal ausklammern, also: [mm] (x-a)^{2}.
[/mm]
Beispiele:
(1) Die Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] -3x + 2 hat (wie man leicht ausrechnen kann) die Nullstellen x=1 und x=2.
Darum kann man auch schreiben: f(x) = (x-1)(x-2)
(2) Die Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] - 6x + 9 hat die doppelte Nullstelle [mm] x_{1/2} [/mm] = 3.
Darum kann man auch schreiben: f(x) = (x-3)(x-3) oder kürzer: f(x) = [mm] (x-3)^{2}
[/mm]
Soweit erst mal klar?
Wenn nicht: Nachfragen!
Denn: Ohne ein gewisses "Grundwissen" kann man solche Aufgaben niemals selbstständig lösen!!!
In der Mathematik gilt noch extremer als anderswo:
ERST kommt das WISSEN,
dann kommt die Anwendung (also das Lösen von Aufgaben)!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:22 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
puh, jetzt muss ich erstmal Ordnung in das ganze bringen...
Kann mir eine die Aufgabe a) ausrechnen und möglichst jeden Schritt kommentieren ? Damit ich das gut nachvollziehen kann - vielleich klärt sich dann einiges.
Gerade jetzt weiß ich nicht was ich kann und was nicht....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, spot,
beantworte Du bitte erst mal MEINE Fragen:
Ich möchte mit meinen Erklärungen nicht bei "Adam und Eva" anfangen müssen!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Spot |
Hallo !
>Wie weit kennst Du Dich bereits aus mit folgenden Themen?
>(1) Parabeln (Funktionsgleichung, Scheitel, Scheitelform, ...)
>(2) Nullstellen (Berechnung, einfache, doppelte Nullstellen, ...)
All dies hatten wir im Unterricht schon, aus dem Stand könnt ich dir aber leider nicht sagen was irgendwas davon ist...
Habe mir deshalb das Buch "Mathematik verständlich" von Robert Müller-Fonfara bestellt - und in den Sommerferien werde ich mir das dann voll und ganz zur Brust nehmen, will in der Oberstufe mal eine 3 schaffen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Mi 13.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, spot,
>Wie weit kennst Du Dich bereits aus mit folgenden Themen?
>
> >(1) Parabeln (Funktionsgleichung, Scheitel, Scheitelform,
> ...)
>
> >(2) Nullstellen (Berechnung, einfache, doppelte
> Nullstellen, ...)
>
> All dies hatten wir im Unterricht schon, aus dem Stand
> könnt ich dir aber leider nicht sagen was irgendwas davon
> ist...
Puh, dann wird's echt schwierig!
Kannst Du Dir nicht wenigstens die folgenden 3 Sachen in Deinem Skript nochmal gut anschauen?
(1) Scheitel einer Parabel
(2) Scheitelform einer Parabelgleichung
(3) Einfache und doppelte Nullstellen und das Aussehen im Graphen einer Funktion.
Wenn Du das "drauf hast", lässt sich das meiste viel leichter erklären!
mfG!
Zwerglein
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