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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
| Aufgabe | Aufgabe 1 Ein Industrieunternehmen hat monatliche Fixkosten in Höhe von 14 GE. Die variablen Stückkosten werden durch die Funktion kv(x) = x2 8x + 25 beschrieben, wobei x die ME der produzierten Waren darstellt. Der Erlös pro abgesetzter Wareneinheit beträgt 20 GE.
a)Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Erlös-, der Kosten- und der Gewinnfunktion.
b)Berechnen Sie die Gewinnschwelle und die Gewinn¬grenze.
c)Zeichnen Sie mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionsgraphen in das Koordinatensystem und bestimmen Sie anhand der Graphik das Gewinn¬maximum.
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Hallo!
Ich habe für eine fortbildung mit eurer hilfe lineare funktionen und ganzrationale funktionen durchgearbeitet (ökonomische anwendungen gelöst). leider komm ich nicht weiter bei den funktionen 3. grades, also bei den ökonomischen aufgaben.
kann mit bitte jemand einen tip geben, wie ich die aufgabe lösen kann? ich weiss leider noch nicht mals, wie man die funktionsgleichungen aufstellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Denk mal etwas nach:
Wir haben Fixkosten, also Raummiete etc von 14
Die Kosten, um x Stück der Ware zu produzieren, ist x² 8x + 25. Denn schnellere Produktion heißt höherer Verschleiß, mehr Lohnkosten bei Überstunden etc. Deshalb ist das nicht linear.
Pro Stück bekommst du 20 GE, wenn du also x Stück verkaufst, bekommst du dafür 20x Geld
a)
Kostenfunktion:
alles, was du bezahlen mußt, also Fix- und Produktionskosten: 14 + x² 8x + 25
Erlösfunktion:
Habe ich schon angegeben: 20x
Gewinnfunktion:
Gewinn ist ja (Einnahmen - Ausgaben), also 20x - (14 + x² 8x + 25)
b)
Es ist klar, daß bei zu geringen Produktionszahlen deine Ausgaben deine Einnahmen übersteigen. Auch werden die Produktionskosten irgendwann so hoch, daß sie über deinen Einnahmen liegen.
Du solltest also die Nullstellen der Gewinnfunkion suchen. Bei Produktionszahlen, die dazwischen liegen, machst du Gewinn, ansonsten Verlust. Das wird auch deutlich, wenn du c) machst.
c) wirst du wohl können. Allerdings ist die Gewinnfunktion ja 2. Grades, also eine Parabel. Da liegt der Hoch- oder Tiefpunkt, in diesem Fall der Hochpunkt, exakt zwischen den Nullstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
a) ist mir klar geworden, vielen dank.
nur bei b) hab ich probleme. nullstellen der gewinnfunktion suchen...
G(X)= 20x-(14+x²-8x+25)
muss ich dann die klammer auflösen?
G(X)= 20x-14-x²+8x-25
wie soll ich denn so nullstellen berechnen, ich hab ja kein x³?
wenn du mir nochmals helfen könntest, wäre ich dir sehr dankbar!
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> nur bei b) hab ich probleme. nullstellen der gewinnfunktion
> suchen...
>
> G(X)= 20x-(14+x²-8x+25)
>
> muss ich dann die klammer auflösen?
> G(X)= 20x-14-x²+8x-25
> wie soll ich denn so nullstellen berechnen, ich hab ja
> kein x³?
> wenn du mir nochmals helfen könntest, wäre ich dir sehr
> dankbar!
>
Hi, Nicole 
G(x)= 20x -14- [mm] x^{2} [/mm] +8 x -25 = [mm] -x^{2} [/mm] + 28 x - 39
ist ja eine quadratische Gleichung. Dafür kannst du ja die p/q Formel oder quadr. Ergänzung nehmen, um diese zu lösen...
[mm] -x^{2} [/mm] + 28 x -39 = 0
[mm] \gdw [/mm] (-1) [mm] (x^{2} [/mm] - 28 x + 39) = 0
[mm] \gdw [/mm] (-1) ( (x [mm] -14)^{2} [/mm] - 196 +39) = 0
[mm] \gdw [/mm] (-1) ( [mm] (x-14)^{2} [/mm] - 157) = 0
Mit 3. binomischer Formel folgt:
(-1) (x-14 [mm] +\wurzel{157} [/mm] ) (x-14 - [mm] \wurzel{157} [/mm] ) = 0
JEtzt kann man die Nulstellen leicht ablesen... hoffe, hab keinen Rechenfehler drin, weil die zahlen nicht so schön sind...
Gruß, Fabian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 So 18.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
also ich hab versucht die nullstellen mit der pq formel zu errechnen.
-x²+28x-39
P=28 q=-39
x1/2= -14+/-15,33
X1=-29,33
x2=1,33
N1=(-29,33/0)
N2=(1,33/0)
ist das richtig?
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also ich hab mir das mal angeschaut... nur hast du einen ganz kleinen Fehler drin!
du darfst wenn du die p-q-Formel verwendest nur x² haben, d.h. weder eine zahl vor dem x oder ein -...
hab sie jetz noch mal durchgerechnet:
0=-x²+28x-39 |/-1
0=x²-28x+39
x1/2 = 14 +/- 12,52
x1 = 26,52
x2 = 1,48
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicole, hallo EH
Ich halte die Lösung für falsch!
1. Stückkosten:$ [mm] kv=x^2-8*x+25=(x-4)^2+9$
[/mm]
Minimale Stückkosten also bei x=4, dann sind die Kosten PRO STÜCK 9GE also insgeamt 4*9=36 GE dazu kommen die 24GE Grundkosten in der Produktionsperiode, also insgesamt 60GE Kosten ggenüber 4*20GE Einnahmen, Ein Gewinn von 20GE.
Also muss die Rechnung, wo einfach die Monatlichen Kosten zu den Stückkosten addiert werden falsch sein:
Die Monatlichen Kosten sind in Wirklichkeit [mm] K=24+x*(x^2-8*x+25) [/mm] wenn x Stück pro Monat produziert werden.
Einnahmen E= 20*x. Gewinn G=E-K
Damit kommst du auch auf deine Funktion 3. Grades.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 18.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
hallo leduart,
leider habe ich jetzt den totalen überblick verloren.
ich kann deine antwort nicht nachvollziehen.
sind denn die kostenfunktionen jetzt auch falsch????
und wie kommst du auf (x-4)²+9 und woher kommen 24 GE grundkosten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicole
> hallo leduart,
> leider habe ich jetzt den totalen überblick verloren.
> ich kann deine antwort nicht nachvollziehen.
> sind denn die kostenfunktionen jetzt auch falsch????
> und wie kommst du auf (x-4)²+9 und woher kommen 24 GE
> grundkosten?
1. die 24 GE sollten 14 sein, da hatte ich mich falsch erinnert.
2. man kann jede quadratische Funktion so umschreiben, dass man das maximum oder Minimum direkt sieht.
[mm] $x^2-8x+25=x^2-8x+16+9$
[/mm]
Wenn man jetzt die binomischen Formeln ganz gut kennt sieht man dass :
[mm] $x^2-8x+16=(x-4)^2$
[/mm]
deshalb ist:
[mm] $x^2-8x+25=x^2-8x+16+9=(x-4)^2+9$ [/mm]
Hier kann man direkt sehen, dass bei x=4 der kleinste Wert ist, nämlich 9 ,wenn x größer oder kleiner als 4 ist ist [mm] (x-4)^{2} [/mm] immer größer als 0 das ganze also größer als 9.
3. Event Horizont hat in seinem Beitrag Kosten pro Stück mit Gesamtkosten verwechselt.
Wenn die Kosten pro Stück 2GE sind, dann ist die klar, dass die Kosten für x Stück x*2 sind.
Wenn die Kosten PRO STÜPCK [mm] (x-4)^2+9sind [/mm] heisst das, dass die Kosten pro Stück bei 4 Stück am kleinsten sind. nämlich 9 bei 3 Stück 10 bei 2 Stück 13 und bei 1 stück 18 bei 0 Stück 25. Aber eben immer kosten pro Stück. d. h. etwa bei 3 Stück , Kosten pro Stück 10 hab ich nicht 10 Gesamtkosten sondern 3*10.
deshalb hab ich allgemein bei x Stück [mm] x*((x-4)^2+9) [/mm] Gesamtstückkosten. Dazu kommen noch die Kosten ,die nicht von der produzierten menge abhängen, hier 14 GE
Also sind die Gesamtkosten, Im Monat, wenn man im Monat x Stück produziert :
$K=14 + [mm] x*((x-4)^2+9) [/mm] = 14 [mm] +x*(x^2-8x+25)=14+x^3-8x^2+25x$
[/mm]
Die Einnahmen waren 20 GE pro Stück . also bei x Stück pro Monat verkauften : E=20*x
Gewinn ist Einnahmen minus Ausgaben=Kosten.
Also [mm] G(x)=20x-(14+x^3-8x^2+25x)=20x-14-x^3+8x^2-25x=-x^3+8x^2-5x-14.
[/mm]
Sicherheitshalber prüf ich sowas immer nach: Wenn ich nix produziere und nichst verkaufe also x=0 sollte mein "Gewinn" ein Verlust des Aufwands 14 GE sein, den ich auch ohne Produktion habe. und hier ist wirklich G(0)=-14
Nochmal nachprüfen; bei 4 Stück produziert und verkauft: Kosten pro Stück 9, insgesamt also 36 dazu die 14 Grundkosten gibt 50.
Einnahmen 4*20=80, Also Gewinn 30.
Einsetzen in meine Gewinnfunktion G(4) sollte 30 rauskommen!
Alles was nach "Sicherheitshalber" steht brauchst du nicht zu rechnen, aber es gibt dir ein sicheres Gefühl, ob deine Funktion richtig ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 So 18.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
hallo leduart,
danke für deine ausführliche antwort.
wie ich die kostenfunktionen aufstelle, hab ich jetzt verstanden!
ganz schön kompliziert...
nur, wie berechne ich bei b) die Gewinnschwelle?
muss ich K(x)=E(x) setzen?
und die gewinngrenze?
wie wird die berechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 18.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Die Gewinnfunktin G(x) ist ja eine Funktion 3. Grades. Sie hat also 3 Nullstellen.
Wenn du dir das Bild von G(x) = -x³ + 8x² - 5x -14 anschaust, siehst du im positiven Bereich zwe Nullstellen (x=2) und x=7). Dazwischen liegt der Graph oberhalb der x-Achse und da das Ganze eine Gewinnfunktion ist, macht dieFirma in diesem Bereich Gewinn.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt sollten die Begriffe Gewinnschwelle und G.-grenze klar werden, da jede Gewinnfunktion solch einen Verlauf des Graphens hat.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 18.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
danke für die erklärung!
aber wie kann ich jetzt rechnerisch die gewinngrenze u. gewinnschwelle ermitteln?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 So 18.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
> danke für die erklärung!
>
> aber wie kann ich jetzt rechnerisch die gewinngrenze u.
> gewinnschwelle ermitteln?
Indem du die Nullstellen der Gewinnfunktion berechnest und "sortierst".
Die erste positive Nullstelle ist die Gewinnschwelle, die zweite die Gewinngrenze.
Nullstellen von Funktionen 3. Grades kann man mit Hilfe der Polynomdivision berechnen.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicole.
Du suchst die Nullstelle einr Funktion 3. Grades.
Dafür gibt es kein einfaches Verfahren, wenn man nicht eine der Nullstellen aus der Aufgabenstellung kennt oder durch probieren rauskriegt.
Dabei gibts eine Merkregel: die Nullstellen sind Teiler des absoluten Gliedes der Funktion, hier also von -14. Das hilft dir nur was, wenn du ganze Nullstellen hast. dann kommt hier [mm] \pm1. \pm2 [/mm] und [mm] \pm7 [/mm] in Frage. da hilft nichts als einsetzen und probieren.
Deine Gl. war : [mm] $-x^3+8x^2-5x-14=0$
[/mm]
setzest du x=-1 ein, dann stimmt die Gleichung. ebenso für x=2 und x=7.
Wenn du nur eine Nullstelle so durch probieren findest, musst du die sog. Polynomdivision machen.
Wenn die Fkt. gegeben ist als A*(x-a)*(x-b)*(x+c)=0 sieht man ja die Nullstellen sofort, weil jeder der Faktoren 0 sein kann. also sind die Nullstellen x=a,x=b x=-c.
Wenn man also eine "ausmultiplizierte Form hat und eine Nullstelle kennt, dann kann man durch (x-Nst) teilen. hie wäre das z. Bsp
[mm] (-x^3+8x^2-5x-14):(x-2) [/mm] dann bleibt eine quadratische Gleichung übrig, die du ja lösen kannst.
Wenn du das mit der Polynomdivision nicht oder nichtmehr kannst sieh es dir in unserer mathebank an:hier
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 20.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
Hallo ihr lieben!
Danke für eure tips.
Ich habe jetzt eine gewinnschwelle von 2 ausgerechnet
Und eine gewinngrenze von 7.
Ist das richtig?
Ich habe die polynomdivision durchgeführt:
(x³-8x²+5x+14) : (x+1)=X²-9x+14
dann mit hilfe der pq-formel x2 und x3 ausgerechnet!
X2=2
X3=7
Nochmals sicherheitshalber zur kontrolle:
Meine Kostenfunktion lauten doch K(x)=14+x³-8x²+25x
E(x)=20x
G(x)= -x³+8x²-5x-14
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Di 20.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicole
Alles richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Es fehlt dir noch das Gewinnmaximum, das du aus der Grphik ablesen sollst.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:29 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
lieg ich richtig wenn das gewinnmaximum 7,5 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 21.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicole
aus der Graphik seh ich, dass das maximum bei x=5 ist, und dort hat G(x) den Wert 36. Wie kommst du denn auf die 7.5?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Nicole11 |
hallo!
ich weiss auhc nicht wie ich auf die 7,5 gekommen bin...
brett vorm kopf :-(!
danke für eure hilfe!
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