Ganze Funktion Polynom < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mi 12.05.2010 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | | Zeige dass jede ganze Funktion f(z), für die gilt [mm] \lim\limits_{|z|\rightarrow \infty} [/mm] |f(z)| = [mm] \infty [/mm] ein Polynom sein muss. Hinweis: f(1/z) |
Hab leider wenig Ahnung wie ich das anpacken soll. Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mi 12.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeige dass jede ganze Funktion f(z), für die gilt
> [mm]\lim\limits_{|z|\rightarrow \infty}[/mm] |f(z)| = [mm]\infty[/mm] ein
> Polynom sein muss. Hinweis: f(1/z)
> Hab leider wenig Ahnung wie ich das anpacken soll. Kann
> mir jemand weiterhelfen?
Zunächst hat f die Potenzreihendarstellung $f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] für z [mm] \in \IC
[/mm]
Für z [mm] \ne [/mm] 0 setze
(*) $g(z):= f(1/z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n\bruch{1}{z^n}$
[/mm]
Aus $ [mm] \lim\limits_{|z|\rightarrow \infty} [/mm] $ |f(z)| = $ [mm] \infty [/mm] $ folgt dann:
[mm] $\limes_{z \rightarrow 0}g(z)= \infty [/mm] $
Damit hat g in 0 einen Pol, somit sind in der Laurententwicklung (*) von g um 0 nur höchstens endlich viele [mm] a_n \ne [/mm] 0.
FRED
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