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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mi 03.05.2017 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Identität
$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\Gamma\left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] $ |
Hallo!
Ich soll diese Identität nachweisen, bin an sich auch recht zufrieden mit meinem Lösungsweg, nur komme ich nicht auf die genaue Identität. Bei mir ist noch der Vorfaktor $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $, was mich dann wiederum verwirrt.
Hier mal mein Ansatz:
$ [mm] \Gamma \left( \bruch{1}{2} \right)=\integral_{0}^{\infty}{t^{-\bruch{1}{2}}*e^{-t}dt} [/mm] $
Substitution: $ [mm] t=x^{2} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] dt=\bruch{dx}{2x} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{x*e^{-x^{2}}*\bruch{dx}{2x}}=\bruch{1}{2}*\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx} [/mm] $
Einen Fehler habe ich selbst nicht finden können. Danke schon einmal für eure Hilfe.
Gruß
Ardbeg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 03.05.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Zeigen Sie die Identität
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> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}=\Gamma\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm]
>
> Hallo!
Huhu,
>
> Ich soll diese Identität nachweisen, bin an sich auch
> recht zufrieden mit meinem Lösungsweg, nur komme ich nicht
> auf die genaue Identität. Bei mir ist noch der Vorfaktor
> [mm]\bruch{1}{2} [/mm], was mich dann wiederum verwirrt.
>
> Hier mal mein Ansatz:
>
> [mm]\Gamma \left( \bruch{1}{2} \right)=\integral_{0}^{\infty}{t^{-\bruch{1}{2}}*e^{-t}dt}[/mm]
>
> Substitution: [mm]t=x^{2}[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]dt=\bruch{dx}{2x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{-\infty}^{\infty}{x*e^{-x^{2}}*\bruch{dx}{2x}}=\bruch{1}{2}*\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^{2}}dx}[/mm]
>
> Einen Fehler habe ich selbst nicht finden können. Danke
> schon einmal für eure Hilfe.
Schau mal auf die Grenzen (plus Stichwort: Symmetrie!)
>
> Gruß
> Ardbeg
Gruss,
Chris
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