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| Aufgabe 1 | Die Funktionsgleichung für die Gamma Funktion lautet [mm] z*\Gamma [/mm] (z) = [mm] \Gamma [/mm] (z+1).
Die Stirling´sche Formel Lautet:
[mm] \Gamma [/mm] (z+1) = [mm] \wurzel{2\pi n} (\bruch{n}{e})^n *(1+O(\bruch{1}{n})) [/mm] für [mm] n\to\infty
[/mm]
Zeigen sie für [mm] \beta [/mm] > 0
[mm] (-1)^n \vektor{-\beta \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\Gamma(\beta)}n^{\beta-1}*(1+O(\bruch{1}{n})) [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] |
| Aufgabe 2 | Für |z|<1 ist bekanntlich [mm] (1-z)^{-\beta} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \vektor{-\beta \\ n}*(-z)^n
[/mm]
Prüfen Sie das asympthotische Verhalten der Koeffizienten an den Binomialreihen für [mm] \beta [/mm] = 1,2,3.
[mm] (1-z)^-1=\bruch{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+...
[/mm]
[mm] (1-z)^-2=(\bruch{1}{1-z})´=1+2z+3z^2+4z^3+...
[/mm]
[mm] 2(1-z)^-3=(\bruch{1}{1-z})´´=2+2*3z+4*3z^2+5*4z^3+... [/mm] |
Hi Leute
Bei der ersten Aufgabe, muss ich so wie es aussieht irgendwie die Sterlingformel benutzen.
Ich weiß schon, dass [mm] \vektor{-\beta \\ n}=\bruch{(-\beta)(-\beta-1)...(-\beta-n+1)}{n!} [/mm] ist und mit wachsendem n das ding auch immer Größer wird.
Die [mm] (-1)^n [/mm] sorgt ja dafür, dass [mm] \vektor{-\beta \\ n} [/mm] immer positiv ist, da für ungerade n [mm] \vektor{-\beta \\ n} [/mm] negative Werte hat.
Weiter weiß ich, dass [mm] \Gamma(\beta)=(\beta-1)!
[/mm]
Aber irgendwie habe ich das gefühl, dass die Aufgabe so nicht richtig sein kann. Habe die ganze sache mal Durchgerechnet mit dem PC und das O(1/n) bedeutet doch, dass mit wachsendem n dieser "Rest" immer kleiner werden muss. Sprich:
[mm] (-1)^n \vektor{-\beta \\ n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\Gamma(\beta)}n^{\beta-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\Gamma(\beta)}n^{\beta-1} [/mm] O(1/n)
Die Linke Seite der Gleichung, müsste doch jetzt gegen null gehen oder habe ich die O Notation total falsch im Kopf ?
Mein PC sagt mir aber, dass die Linke Seite auf nicht nach 0 geht. Habe es mit [mm] \beta [/mm] =7 und n = 10 , 100 , 1000 , 10000 ausprobiert und der Wert der rechten Seite wird immer Größer.
Weiß irgendwie nicht mehr weiter im Moment.
Für die Aufgabe 2, weiß ich nicht so recht, was da von mir verlangt ist.
Die 3 Gleichungen die Angegeben sind, verstehe ich das erste ist ja leicht Nachzurechnen und das Zweite ist die Definition in der Aufgabenstellung. Nun weiß ich nicht welchen asymptotische verhalten ich prüfen soll.
Wär gut, wenn ihr mir mal sagen könntet, was da eigentlich nun genau zu zeigen ist.
Gruß
Bubb
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Di 22.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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