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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo :D,
folgendes Problem: Sei [mm] K\subset E\subset [/mm] L, L/K galoissch.
Dann gilt: Ist E/K galoissch, dann beschränkt sich jeder K-Automorphismus von L zu einem K-Automorphismus von E.
Warum ist das so? Also ich hab mir gedacht, dass djederK-Autom. [mm] \sigma: L\to [/mm] L auch wegen der Normalität von L/K auch ein K-Homom. [mm] L\to \overline{L} [/mm] ist . Dann könnte ich ja einen K-Autom. [mm] \psi E\to \overline{L} [/mm] definieren, für den gilt: [mm] \psi=\sigma|_{E} [/mm] (schließlich ist jeder algebr. Abschluss von L auch einer von E)
Weil ja nun E/K normal ist, beschränkt sich [mm] \psi [/mm] zum Autom. [mm] E\to [/mm] E. Und da [mm] \psi=\sigma|_{E} [/mm] beschränkt sich nun auch [mm] \sigma [/mm] zu K-Autom. [mm] E\to [/mm] E.
Kann das leider nicht besser formulieren. Kann mir jemand weiterhelfen ?
Danke für eure Hilfe!
LG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 01.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> folgendes Problem: Sei [mm]K\subset E\subset[/mm] L, L/K galoissch.
> Dann gilt: Ist E/K galoissch, dann beschränkt sich jeder
> K-Automorphismus von L zu einem K-Automorphismus von E.
Ich vermute mal, ihr habt normal so definiert, dass $L/K$ normal heisst wenn jeder $K$-Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : L [mm] \to \overline{L} [/mm] = [mm] \overline{K}$ [/mm] mit seinem Bild bereits in $L$ liegt?
> Warum ist das so? Also ich hab mir gedacht, dass
> djederK-Autom. [mm]\sigma: L\to[/mm] L auch wegen der Normalität von
> L/K auch ein K-Homom. [mm]L\to \overline{L}[/mm] ist . Dann könnte
> ich ja einen K-Autom. [mm]\psi E\to \overline{L}[/mm] definieren,
> für den gilt: [mm]\psi=\sigma|_{E}[/mm] (schließlich ist jeder
> algebr. Abschluss von L auch einer von E)
Ja.
> Weil ja nun E/K normal ist, beschränkt sich [mm]\psi[/mm] zum
> Autom. [mm]E\to[/mm] E. Und da [mm]\psi=\sigma|_{E}[/mm] beschränkt sich nun
> auch [mm]\sigma[/mm] zu K-Autom. [mm]E\to[/mm] E.
Fast; du musst noch zeigen, dass er auch surjektiv ist.
> Kann das leider nicht besser formulieren. Kann mir jemand
> weiterhelfen ?
Leicht anders formuliert:
Sei [mm] $\varphi [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$ ein Automorphismus ueber $K$. Dann ist [mm] $\varphi|_E [/mm] : E [mm] \to [/mm] L [mm] \subseteq \overline{L} [/mm] = [mm] \overline{E}$ [/mm] ein $K$-Homomorphismus, und da $E/K$ normal ist, folgt [mm] $\varphi|_E(E) \subseteq [/mm] E$.
Du hast also einen $K$-Homomorphismus [mm] $\varphi|_E [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$.
Nun ist allerdings auch [mm] $\varphi^{-1} [/mm] : L [mm] \to [/mm] L$ ein $K$-Automorphismus von $L$, womit du ebenfalls einen $K$-Homomorphismus [mm] $\varphi^{-1}|_E [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$ erhaelst.
Du kannst leicht nachrechnen, dass dieser das Inverse von [mm] $\varphi|_E [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$ ist, womit [mm] $\varphi|_E [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$ ein Automorphismus ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Fry |
Verstanden ! Vielen Dank !
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