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| Aufgabe | Sei L der Zerfällungskörper über [mm] \IQ [/mm] des Polynoms [mm] x^3 [/mm] - 7
a) Berechnen Sie die Galoisgruppe G(L/K)
b) Für jeden Teiler d von [L : [mm] \IQ], [/mm] bestimmen sie die Anzahl aller Zwischenkörper E , [mm] \IQ \subset [/mm] E [mm] \subset [/mm] L |
Huhu!
Ich hab schon ein bisschen gegogglet zu dem Aufgabentyp. Man muss bei "berechne" anscheinend eine Gruppe angeben, die isomorph ist.
Das Polynom f(x) = [mm] x^3 [/mm] - 7 ist irreduzibel und L als Zerfällungskörper hat die drei Nullstellen.
Durch die Gegebenheiten ist [ L : [mm] \IQ] [/mm] = 3
Wir haben auf jeden Fall Galoiserweiterung, da Zerfällungskörper normale Körpererweiterung ausmachen und separabel, da [mm] char(\IQ) [/mm] = 0 .
Nun gilt [ L : [mm] \IQ] [/mm] = 3 = ord( Gal(L/K))
Vielleicht können wir nun sagen, dass Gal(L/K) isomorph ist zu [mm] \IZ/3, [/mm] aber ich weiß nicht ob das der Aufgabe entspricht.
b) Die Anzahl der Zwischenkörper ist gleich der Anzahl der Untergruppen von G. d kann nur 1 und 3 annehmen. Wie bestimmt man nur die Anzahl der Zwischenkörper und welche Rolle spielt überhaupt d? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Do 12.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Sei L der Zerfällungskörper über [mm]\IQ[/mm] des Polynoms [mm]x^3[/mm] -
> 7
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> a) Berechnen Sie die Galoisgruppe G(L/K)
>
> b) Für jeden Teiler d von [L : [mm]\IQ],[/mm] bestimmen sie die
> Anzahl aller Zwischenkörper E , [mm]\IQ \subset[/mm] E [mm]\subset[/mm] L
>
> Das Polynom f(x) = [mm]x^3[/mm] - 7 ist irreduzibel und L als
> Zerfällungskörper hat die drei Nullstellen.
Aber was genau soll jetzt L sein? Der Zerfällungskörper oder [mm] $\IQ[X]/(f)$? [/mm] Das sind zunächst einmal 2 verschiedene Dinge. Sind die anderen Nullstellen in [mm] $\IQ[X]/(f)$ [/mm] enthalten?
>
> Durch die Gegebenheiten ist [ L : [mm]\IQ][/mm] = 3
Das und die folgenden Aussagen kannst du nur behaupten, wenn du sie bewiesen hast. Wie sehen denn die Nullstellen über [mm] $\IC$ [/mm] aus?
Gruß aus HH
Dieter
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> Hallo!
> > Sei L der Zerfällungskörper über [mm]\IQ[/mm] des Polynoms [mm]x^3[/mm]
> -
> > 7
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> > a) Berechnen Sie die Galoisgruppe G(L/K)
> >
> > b) Für jeden Teiler d von [L : [mm]\IQ],[/mm] bestimmen sie die
> > Anzahl aller Zwischenkörper E , [mm]\IQ \subset[/mm] E [mm]\subset[/mm] L
> >
> > Das Polynom f(x) = [mm]x^3[/mm] - 7 ist irreduzibel und L als
> > Zerfällungskörper hat die drei Nullstellen.
> Aber was genau soll jetzt L sein? Der Zerfällungskörper
> oder [mm]\IQ[X]/(f)[/mm]? Das sind zunächst einmal 2 verschiedene
> Dinge. Sind die anderen Nullstellen in [mm]\IQ[X]/(f)[/mm]
> enthalten?
> >
> > Durch die Gegebenheiten ist [ L : [mm]\IQ][/mm] = 3
> Das und die folgenden Aussagen kannst du nur behaupten,
> wenn du sie bewiesen hast. Wie sehen denn die Nullstellen
> über [mm]\IC[/mm] aus?
>
> Gruß aus HH
> Dieter
Hey!
Genauso steht es in der Aufgabe, also L Zerfällungskörper für f über [mm] \IQ, [/mm] also sieht er so aus , dass es [mm] \IQ [/mm] ist mit den Nullstellen des Polynoms adjungiert.
Die Nullstellen sind:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] , [mm] x_{2,3} [/mm] = - [mm] \bruch{\wurzel[3]{7}}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} * (\wurzel[3]{7})^2 -\wurzel[3]{7^2}}
[/mm]
Ist es denn wichtig für die nachstehenden Sachen? Ich meine man betrachtet ja nicht umsonst die Galoisgruppe. Was danach kommt sind nur Vermutungen
Liebe Grüße
Eve
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 12.02.2015 | | Autor: | hippias |
Wie bereits von statler erwaehnt: natuerlich ist das wichtig. Wenn Deine $3$ Wurzeln richtig sind (nebenbei: weshalb hast Du Dich denn fuer diese eigenartige Darstellung entschieden?) und $L$ der Zerfaellungskoerper von $f$ ueber [mm] $\IQ$, [/mm] dann ist ja $L= [mm] \IQ[x_{1},x_{2},x_{3}]$. [/mm] Ueberlege Dir als erstes, welchen Grad $L$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hat.
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