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| Aufgabe | Sei K ein Körper, L [mm] \supset [/mm] K eine Körpererweiterung und
[mm] Gal(L/K):={\psi:L \to L | L Körperautomorphismus von L, \psi|_{\IQ}=id}.
[/mm]
(a)Sei f(x) [mm] \in [/mm] K[x] irreduzibel und sei [mm] L=K(\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) [/mm] ein Zerfällungskörper von f(x) mit [mm] f(x)=\produkt_{i=1}^{n} (x-\alpha_{i}) [/mm] und [mm] \alpha_{i}\not=\alpha_{j} [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Einschränkung von [mm] \psi \in [/mm] Gal(L/K) auf { [mm] \alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n} [/mm] } eine Permutation der Nullstellen von f ist.
Zeigen Sie, dass die komposition
[mm] \pi: [/mm] Gal(L/K) [mm] \to Perm(\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) \underrightarrow{\cong} S_{n}
[/mm]
[mm] \psi \mapsto \psi |_{{ \alpha_{1}, ... , \alpha_{n} }}
[/mm]
der Einschränkung auf { [mm] \alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n} [/mm] } mit dem natürlichen Isomorphismus [mm] Perm(\alpha_{1}, [/mm] ... , [mm] \alpha_{n}) \underrightarrow{\cong}S_{n} [/mm] ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. |
Hallo liebe Mathefreunde,
das ist eine sehr theoretische Aufgabe ... und irgendwie verstehe ich die ganze Galoisgruppentheorie noch nicht.
Könnte mir jemand dies erklären??
Ich kann es mir noch nicht einmal so richtig vorstellen, wie [mm] \psi [/mm] auf das Polynom f wirkt. Klar in der Aufgabenstellung steht, dass es eine Permutation der Nullstellen bewirkt, aber wie wirkt es?
Wäre euch sehr dankbar für Erklärungen und Hilfestellungen.
Liebe grüße
Kittycat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mi 26.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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