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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 29.04.2014 | | Autor: | Topologe |
| Aufgabe | Ist die folgende Körper-Erweiterung galoisch?
[mm] \IQ(\wurzel{2},\zeta) [/mm] über [mm] \IQ, [/mm] mit [mm] \zeta=exp(\bruch{2\pi*i}{5}) [/mm] |
Hallo,
komme grad bei dieser Aufgabe nicht so ganz weiter.
Für eine Galois-Erweiterung E:K benötigt man, dass E der Zerfällungskoerper eines seperablen Polynoms aus K[x] ist.
Sei [mm] \alpha=\zeta\wurzel{2}.
[/mm]
Das Minimalpolynom könnte [mm] \mu(\alpha)=\alpha^{10}-32 [/mm] sein. Nur wie kann ich hier auf Irreduzibelitaet prüfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 29.04.2014 | | Autor: | hippias |
Das Polynom [mm] $t^{10}-32= t^{10}-2^{5}$ [/mm] ist reduzibel ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Die Separabilitaet der Erweiterung folgt auch, wenn sie durch Adjunktion endlich vieler separabler Elemente erfolgt.
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