Galois < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] K=\IQ(\xi^{3}) [/mm] und [mm] E=\IQ(\wurzel[3]{3},\xi) [/mm] für [mm] \xi=exp(\bruch{2\pi*i}{9}). [/mm] Bestimmen Sie G=Aut(E;K) sowie alle Untergruppen von G.
Benutzen Sie, dass E eine Galoiserweiterung von [mm] \IQ(\xi) [/mm] ist, um alle Unterkörper K von E zu bestimmen.
Geben Sie alle Zwischenkörper K [mm] \subset [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] E den Grad [L:K] an. |
Hallo,
meine Anfänge waren folgende:
Für K gilt: [mm] K=\IQ(\xi^{3})=\IQ(\zeta); \zeta=exp(\bruch{2\pi*i}{3}) [/mm] (dritte Einheitswurzel)
Habe als erstes versucht die Minimalpolynome für [mm] \wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \xi [/mm] über [mm] K=\IQ(\zeta) [/mm] zu bestimmen.
[mm] \mu_{1}(x)=x^{3}-3 [/mm] (Minimalpolynom für [mm] \alpha [/mm] = [mm] \wurzel[3]{3})
[/mm]
[mm] \mu_{2}(x)=x^{3} [/mm] - [mm] \zeta [/mm] (Minimalpolynom für [mm] \xi [/mm] )
Wäre [mm] \mu_{2} [/mm] erstmal so korrekt?
Nullstellen von [mm] \mu_{1}=\{\wurzel[3]{3},\zeta\wurzel[3]{3},\zeta^{2}\wurzel[3]{3}\}
[/mm]
Nullstellen von [mm] \mu_{2}=\{\xi, \zeta\xi, \zeta^{2}\xi\}
[/mm]
[mm] Aut(E;K)=\{id,\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3},\varphi_{4},\varphi_{5},\varphi_{6},\varphi_{7},\varphi_{8}\}
[/mm]
mit
[mm] \varphi_{1}(\wurzel[3]{3})=\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{1}(\xi)=\zeta\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{2}(\wurzel[3]{3})=\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{2}(\xi)=\zeta^{2}\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{3}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{3}(\xi)=\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{4}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{4}(\xi)=\zeta\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{5}(\wurzel[3]{3})=\zeta\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{5}(\xi)=\zeta^{2}\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{6}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{6}(\xi)=\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{7}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{7}(\xi)=\zeta\xi
[/mm]
[mm] \varphi_{8}(\wurzel[3]{3})=\zeta^{2}\wurzel[3]{3}, [/mm] und [mm] \varphi_{8}(\xi)=\zeta^{2}\xi
[/mm]
Wäre das bis hier erst einmal ok? Freue mich über Verbesserungen 
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 20.04.2014 | | Autor: | Topologe |
Keiner eine Idee/Hinweis? :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 22.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
