Galilei'sches Hemmungspendel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 06.03.2005 | | Autor: | Galilex |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich bin durch zufall auf dieses Forum gestoßen und bin sehr erfreut das sich hier viele Helfer gefunden haben, die einenin der Not utnerstützen können ;)!
Ich beschäftige mcih grade mit dem Galilei'sches Hemmungspendel. Genauer befasse ich mich mit der Energieerhaltung bei diesem Experiment. Das Galilei'sche Hemmungspendel besteht aus einem normalen Fadenpendel das durch eine unter der Befestigungsstange angebrachten Stange umgelenkt wird und scih so die Pendellänge verkürzt. Die Energieerhaltung gilt natürlich bei diesem Experiment, doch meine Problem ist nun dies zu zeigen. Kann man die Energierhaltung einfach durch differenzieren der beiden Pendelhälften in 2 verschiedene Pendelsysteme und so auf die Energiererhaltung schließen?
Das zweite möglciherweise ncoh größere Problem ist, dass das Galilei'sche hemmungspendel ja möglicherweise nicht umsonst Galilei'sches Hemmungspendel heißt, sondern auch etwas mit Galilei zu tun hatte! Jedoch kann ich keinerlei geschichtlichen Hintergrund zu diesem Experiment finden, kann mir vielleciht jemand weiterhelfen?
Für jede Antowrt bin ich dankbar ;)
Mfg Alex
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Galilex |
Hallo,
also ich habe jetzt doch einen Blick dafür bekommen (hoffe ich) und weis/denke nun das man ja den Pendeldurchlauf bei so einem Pendel in 3 Punkte aufteilen kann. Den Anfangsunkt mit der Auslenkung s0 (1) den Tiefpunkt (2) und den Auslenkpunkt (3), der auf "der anderen Seite" der Schwingung entsteht.
Hier eine Prinzip-Skizze des Versuches:
siehe Anhang
(1) Hier besteht ja nur potentielle Energie durch das Gravitationsfeld der Erde, das heißt es gilt:
Epot=m*g*h
Dazu eine Frage, welche Größe ist das h? Die Pendellänge? Das ist grad emien Problem!
(2) Im Tiefpunkt hat sich die potentielle Energie vollkommenin kinetische Energie umgewandelt, das heißt es gilt:
[mm] Ekin=0,5m*v^2, [/mm] wobei ich geschwindigkeit nicht messen kann, und deshalb erechnen muss. Mir ist bekannt das die erste Ableitung s'(t) die Geschwindigkeit beschreibt, jedoch wie kann ich daraus v berechnen?
(3) Im 2. Auslenkpunkt, wurde die Pendellänge l um eine bestimmte Strecke verkürzt. Die Auslenkung, sprich der Winkel mit der die Masse nach oben schwingt, sit größer als der Anfangswinkel, d.h. durc die verkürzung der Pendellänge muss die kinetische Energie aus dem anderen "Pendellängensystem" die potentielle Energie beeinflussen, oder wie ist das zu verstehen?
Insgesammt muss die kinetische Energie mit der potentiellen Erngier konstant bleiben, d.h. es gilt:
Epot+Ekin=Eges=konstant
Zusammengefasst sind meine Fragen nun also:
1) welche Größe sit das h bei der potentiellen Energie? ist es die Bogenstrecke? die Höhe?
2) Wie kann ich die Geschwindigkeit im Tiefpunkt des Pendelsystems berechnen?
3) Wie beeinflusst die verkürzte Pendellänge den Winkel bei der 2. Auslenkung
Ich hoffe ich kann mir selbst noch einiges erklären, aber vielleicht kennt ihr Wege die einfacher sind !(?)
Ich find es auf jeden Fall schonmal super das ich einige Antworten bekommen habe, dazu danke
Mfg
Alex
P.S.: Die Geschichte des Galilei-Pendel ist leider immerncoh im dunklen verborgen, ich hab bei google schon versucht etwas zufidnen, jedoch ohen Erfolg. Es ist wohl unter dem Namen Hemmungspendel sowie Pendelversuch bekannt, jedoch steht auf keiner Seite: Wann, wie wo und warum Galilei diesen Versuch gemacht hat udn er anch ihm beannt worden ist ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 07.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir ist nicht ganz klar, wie du deine Differentialgleichung aufschreibst.
Damit du sie einfach behandeln kannst brauchst du sin( [mm] \phi)= \phi [/mm] mit [mm] \phi=s/l [/mm] s Weg, l Seillaenge. Dann hast du s''(t)=-g/l*si
oder s''(t)*s'(t)+g/l*s'(t)*s(t)=0 integriert:
[mm] \bruch{1}{2}s [/mm] s'^{2.}+ [mm] \bruch{1}{2} \bruch{g}{l}* s^{2.}=k
[/mm]
mit m multipliziert der Energiesatz wenn du weisst [mm] h=s^{2.}/2l
[/mm]
dabei ist h natuerlich die Hoehe ueber dem Ruhepunkt.
Wenn man s=s(0)setzt komt fuer,v(o)=s'(0)=0 dann findet man k*m=m*g*h. fuer h=0 bzw. s=0 findet man dann v maximal, im untersten Punkt.
Natuerlich kannst du die Dgl auch loesen mit dem Ansatz s(t)=A*sin(w*t)+B*cos(w*t), A, B aus den Anfangsbedingungen.(!. Teil A=0. 2. Teil B=0. Den Rest musst du wohl selbst koennen sonst frag nach!
> also ich habe jetzt doch einen Blick dafür bekommen (hoffe
> ich) und weis/denke nun das man ja den Pendeldurchlauf bei
> so einem Pendel in 3 Punkte aufteilen kann. Den Anfangsunkt
> mit der Auslenkung s0 (1) den Tiefpunkt (2) und den
> Auslenkpunkt (3), der auf "der anderen Seite" der
> Schwingung entsteht.
>
> Hier eine Prinzip-Skizze des Versuches:
> siehe Anhang
>
>
> (1) Hier besteht ja nur potentielle Energie durch das
> Gravitationsfeld der Erde, das heißt es gilt:
> Epot=m*g*h
>
> Dazu eine Frage, welche Größe ist das h? Die Pendellänge?
Die kann es ja nicht sein, sonst waere im unteren Punkt die pot. Energie nicht Null! h= Hoehe ueber dem tiefsten Punkt, damit dort h=0 Epot=0
> Das ist grad emien Problem!
>
> (2) Im Tiefpunkt hat sich die potentielle Energie
> vollkommenin kinetische Energie umgewandelt, das heißt es
> gilt:
> [mm]Ekin=0,5m*v^2,[/mm] wobei ich geschwindigkeit nicht messen
> kann, und deshalb erechnen muss. Mir ist bekannt das die
> erste Ableitung s'(t) die Geschwindigkeit beschreibt,
> jedoch wie kann ich daraus v berechnen?
s' ist doch nach Definition v
>
> (3) Im 2. Auslenkpunkt, wurde die Pendellänge l um eine
> bestimmte Strecke verkürzt. Die Auslenkung, sprich der
> Winkel mit der die Masse nach oben schwingt, sit größer als
> der Anfangswinkel, d.h. durc die verkürzung der Pendellänge
> muss die kinetische Energie aus dem anderen
> "Pendellängensystem" die potentielle Energie beeinflussen,
> oder wie ist das zu verstehen?
Ab dem untersten Punkt hast du eine andere Bewegungsgleichung mit neuem l und der Anfangsbed. s=0 und v gegeben. dann gilt wieder Eges=konst=Epot+Ekin. Im obersten Punkt Ekin =0 im untersten Epot =0
>
> Insgesammt muss die kinetische Energie mit der potentiellen
> Erngier konstant bleiben, d.h. es gilt:
>
> Epot+Ekin=Eges=konstant
>
> Zusammengefasst sind meine Fragen nun also:
> 1) welche Größe sit das h bei der potentiellen Energie?
> ist es die Bogenstrecke? die Höhe?
> 2) Wie kann ich die Geschwindigkeit im Tiefpunkt des
> Pendelsystems berechnen?
> 3) Wie beeinflusst die verkürzte Pendellänge den Winkel
> bei der 2. Auslenkung
Ich hoff ich hab das alles beantwortet
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Galilex |
Hallo,
tschuldigung dass ich mich nicht gemeldet hatte, war so in dem thema vertieft, das ich vergessen habe weiter zu komentieren. Also...
Ich bin nochmal alles gründlich durchgegangen und versuche nun mal meine Fragestellung etwas einzugrenzen. Ich betrachte die Energieerhaltung in dem Pendelsystem des Hemmungspendels, nicht den zeitlichen Verlauf etc.. Das bedeutet ich benötige ja keine Gleichungen dei von der Zeit abhängenund benötige damit keine Differenziealgelcihungen für diese Betrachtung (bitte korrigiert mcih fals ich falsch liege!!). Ich zeige euch in dem Bild imanhang mal die energiebetrachtung die ich während des Experimentes habe. Also in der Position 1 befdinet sich auschließlich potentielle Energie sowie im Punkt 2. Im Punkt 0 ist die ganze potentielle Energie und kinetische umgewandelt worden (h=0). Die Berechnung erfolgt nach den einfachen Glecihen Epot=m*g*h und [mm] Ekin=0,5*m*v^2. [/mm] DieGrundidee das in diesem Experiment dieEnergieerhaltung gilt ist wohl, dass die Masse nach der Hemmgstange auf die gleiche Höhe h schwingt wie ohn die Stange, d.h. h1=h2 (siehe Abb.) Nun muss cih jedoch allgemein zeigen, wwarum dieser Zusammenahng gilt! Die Winkel messe ich ja erst im anchhinein während des Experimentes, d.h. mit diesen kan ich nicht argumentieren um die höhe h z berechenen (oder?),. Muss ich nun übber die Kräfte gheh und die bremsbeschleunigung ausrechnen oder habt ihr eine bessere Idee? Wie gesagt es geht darum das Epot1=Epot2=Ekin0 ist. Falls Fragen auftreten bitte an mich wenden, falls jemand per ICQ Hiflestellung geben möchte, cih bin unter der Nr. 170250300 erreichbar, die Ergebnisse könnte ich später hier veröffentlichen.
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen ^^.
Mfg Alex
EDIT:
Ich habe noch einenkleinen zusatz, kann man aus dieser Formel sagen, dass wenn lg größer lv ist, alpha2 größer als alpha1 sein muss?
alpha2=arccos(1-(lg*(1-cos alpha1)/lv))
EDIT2:
Man kann ja über den Kraft ansatz F=m*a di rücksteellende Kraft, d.h. dei Kraft berechnen die das PEndel zurpck zr Ruhelage treibt, kann man irgendwie eine Energie berechnen aus einer beschleunigung und einer Masse, irgednwie eine Bremsenergie, mir fällt grade nichts ein, wäre schön wenn ich auf diese Frage eine schnelle Antwort bekommen könnte, da mich dies viel weiter bringen könnte!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 12.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie glaub ich, du hast die Fragestellung nicht ganz verinnerlicht.
Es ist eine Grundtatsache der Physik, dass der Energiesatz immer gilt!
Wenn du das vorraussetzest ist ga keine Frage mehr offen, dann muss das Pendel in die Gleich Hoehe schwingen, wenn man Energieverluste aus dem System (durch Reibung) vernachlaessigt.
Aber um zu der Ueberzeugung zu kommen, dass Energieerhaltung immer gilt muss man ja erst mal recht verschiedene Experimente genauer betrachten, und historisch war die Energieerhaltung nicht so feststehende Tatsache wie heute! z. Bsp. warum glaubst du daran? Nur weil ein Buch oder dein Lehrer es behauptet? In der Mittelstufe behandelt man meist Flaschenzug und schiefe Ebene und zeigt, daas dabei Verkleinerung der Kraft zu Vergroesserung des Weges fuehrt und daraus dann F*s= konst! Dabei ist aber meist die Kraft konstant und in Wegrichtung! So: stell dich jetzt mal als Skeptiker vor und bezweifle den Energiesatz, oder stell dir ein Gegenueber vor, der das tut! Dem willst du nun zeigen, dass bei einem Pendel der Energiesatz in jedem Moment erfuellt ist, obwohl Kraft und Bewegungsrichtung sich in jedem Moment aendern! Dann bist du in der richtigen Ausgangslage fuer deine Aufgabe.
Jetzt gibt es 2 Moeglichkeiten: 1. das Experiment mit dem Hemmungspendel demonstriert die immer gleiche Hoehe und damit pot. Energie sehr gut. Wenn dein Gegenueber jetzt zufriedn ist, bist du fertig. Wenn er aber mehr theoretisch denkt, und mit Recht sagt, dass das Experiment nur etwa die Aussage bestaetigt, und auch noch mit einer konstanten Energieabnahme von 1% pro Minute uebereinstimmt musst du tiefer gehen.
Nimm an, er akzeptiert die Kraftgesetze, und kennt die Definition der Energiedifferenz als [mm] W_{ab}= \integral_{a}^{b} [/mm] {F*ds}
daraus folgt leicht [mm] \Delta W_{pot}=m*g*\Delta [/mm] h. und mit F=m*a und [mm] a=\bruch{dv}{dt} W_{kin}= \integral_{a}^{b} [/mm] {m*a*ds}= [mm] \integral_{a}^{b} {m*\bruch{dv}{dt}ds}= \integral_{a}^{b} {m*v*dv}=\bruch{1}{2}*m*(v_{b}^{2}-v_{a}^{2})
[/mm]
(hier ist die Antwort auf deine 2. edit Frage)
Mit diesen Grundlagen gehst du jetzt zu deinem Pendel. Dann bleiben dir nur die Bewegungsgleichungen aufzustellen! und Energie zu integrieren! Das hab ich dir in den vorigen Antworten gezeigt wie.
Du bist auf die Antworten nicht eingegangen, so dass ich nicht weiss, ob du sie verstanden hast, oder wieviel davon.
Sag ruhig, wenn etwas unklar ist!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 So 13.03.2005 | | Autor: | Galilex |
Hallo nochmal,
ja stimmt ich hab vergessen darauf einzugehen. Also ich versuche nochmal meinen standpunkt zu erklären.
Dass ich die Arbeit über das Integral der rückstellenden Kraft bekomme ist mir egintlich klar. Ich muss dann also das Integral von 0 bis zur Bogenlänge x bilden , da das Pendel diesen Weg geht und dies über der Funktion F(s), wobei F = m*g*s/l ist (rückstellende Kraft), die ich aus dem Kräfteparalellogramm der Gravitationskraft und der Fadenkraft hergeletiet habe. Nun habe ich die Kraft, die das Pende in die Ruhelage zwingt, wobei dieseKraft nciht kosntant ist und deshalb das Integral von dieser Wegstrecke gebildet wird. Nun bekomme ich aus dem Integral die Arbeit die verrichtet wird, und zwar stimmt doch diese Arbeit mti der potenteillenEnergie, bzw. der Gesamtenergie des Systems überien, da die Höhe in Ruhelage 0 sit und nur kinetische energie vorherscht. Doch da ist mein Problem! ich integriere und habe dann die Bogenlänge x, die sich mit pi*l*alpha/180° berechnen lässt, jedoch ist dieser Winkel alpha mir nicht bekant, da er ja durch die umlenkung um die hemmstange erzeugt wird. (?) ich muss ja nur beeisen das die potentielle Energie in der einen auslenkung gleich der potentiellen energie der anderen auslenkung ist, das ist dochdei enrgieerhaltung. wenn ich nun diesen winkel alpha nciht kenne bekommeich nun eine bedingung und zwar:
[mm] lg*alpha1^2=lv*alpha2^2 [/mm] , d.h. wenn das produkt der gesamten pendelänge und dessen auslenkung gleich dem produkt der verürzten pendellängen und dessen auslenkwinkel ist, gilt dei energieerhaltung, aber kan man so die nergieerhaltung beweisen? also mti eiern ebdingung?
Nun zuden Bewegungsglecihungen. Ich habe ein Problem damit diese z verstehen, da ich nich ganz folgen kann was die einzelnen schritte bedeuten... s(t) ist die zurpckgelgete Wegstrecke s'(t) die geschwindigkeit und s''(t) die beschelunigung. Soweit ist mir das klar, aber wie ich nun daraus auf die energieerhaltung komme ist mir völlig unklar. tut mir leid ich weis nciht ob das an irgedneiner wissenlücke bei mir liegt oder so, aber vllt könntest du das in schritten erklären. Also ichhänge immer ncoh an der vermutung, da ich doch diese bewegungsglecihung nciht bracuhe oder? denn ich betrachte doch nur die bedien punkte 1 und 2 odeR? ich versteh das noch nicht glanz wie du vorgehen möchtest, aber ich hoffe das das eine bessere lösung sit, denn die enrgieerhalung mit hilfe einer bedingung zu lösen ist unvorteilhaft oder?
noch ein zusatz ich beschätige mich auch mit der gültigkeit i abhängikeit der variation der verkürzten pendellänge, kann ich diese veränderung dnen aus meienr bedinugnen entnehmen? also das die energiererhaltung gilt, wenn mandie verkürtze pendellänge lv ändert sich der winkel alpha2 zum quadrat ändert? ich bin ziemlcih verwirrt, gibt es vllt einen weg, der dirketer seinkönnte wie icq/msn oder der gelichen? mich beschäftig mich dieses thema zielich ^^
ich hoffe ihr versteht mein unverständnis, aber ich versuche gleich nochmal deine gleciheung iregdnwiezuevrstehen
mfg alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 So 13.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo nochmal,
. Ich muss dann also
> das Integral von 0 bis zur Bogenlänge x bilden , da das
> Pendel diesen Weg geht und dies über der Funktion F(s),
richtig
> wobei F = m*g*s/l ist (rückstellende Kraft), die ich aus
> dem Kräfteparalellogramm der Gravitationskraft und der
> Fadenkraft hergeletiet habe.
Nur fast richtig und zwar fuer kleine Winkel solange gilt [mm] \alpha=sin\alpa.
[/mm]
Beim Hemmungspendel ist das aber meist auf der 2. Seite nicht mehr wahr, d.h. du brauchst [mm] F=-m*g*sin(\alpha) \alpha= [/mm] der Winkel des Fadens zur Vertikalen.
wenn du das von [mm] \alpha=0 [/mm] bis alpha integrierst mit [mm] ds=l*d\alpha [/mm] bekommst du [mm] W=m*g*l*(cos(0)-cos(\alpha))=m*g*l(1-cos(\alpha) [/mm] Und wenn du eine Zeichnung machst siehst du, dass [mm] h=l-l*cos(\alpha). [/mm] Dann hast du die richtige Beziehung zwischen h und [mm] \alpha [/mm] und kannst aus einem das andere ausrechnen.
Wenn du mit der Kleinwinkelnaeherung rechnen willst musst du auch mit der Naeherung fuer h rechnen. Entweder [mm] cos(\alpha)=1-0,5*\alpha^{2} (\alpha [/mm] im Bogenmass!) d.h. du ersetzest den cos in der Naehe von Null durch eine passende Parabel. Oder du siehst dir den Halbkreis mit Radius l an. darin ist das waagerechte s die Hoehe im Thalesdreieck und es gilt [mm] s^2=h*(2l-h) [/mm] daraus
[mm] h\approx \bruch{s{2}}{2l}.
[/mm]
Nun habe ich die Kraft, die
> das Pende in die Ruhelage zwingt, wobei dieseKraft nciht
> kosntant ist und deshalb das Integral von dieser Wegstrecke
> gebildet wird. Nun bekomme ich aus dem Integral die Arbeit
> die verrichtet wird, und zwar stimmt doch diese Arbeit mti
> der potenteillenEnergie, bzw. der Gesamtenergie des Systems
> überien, da die Höhe in Ruhelage 0 sit und nur kinetische
> energie vorherscht. Doch da ist mein Problem! ich
> integriere und habe dann die Bogenlänge x, die sich mit
> pi*l*alpha/180° berechnen lässt, jedoch ist dieser Winkel
> alpha mir nicht bekant, da er ja durch die umlenkung um die
> hemmstange erzeugt wird. (?) ich muss ja nur beeisen das
> die potentielle Energie in der einen auslenkung gleich der
> potentiellen energie der anderen auslenkung ist, das ist
> dochdei enrgieerhaltung. wenn ich nun diesen winkel alpha
> nciht kenne bekommeich nun eine bedingung und zwar:
> [mm]lg*alpha1^2=lv*alpha2^2[/mm] , d.h. wenn das produkt der
> gesamten pendelänge und dessen auslenkung gleich dem
> produkt der verürzten pendellängen und dessen auslenkwinkel
> ist, gilt dei energieerhaltung, aber kan man so die
> nergieerhaltung beweisen? also mti eiern ebdingung?
Wie ich oben gesagt habe nur ungefaehr, weil deine Gleichung ja nur ungefaehr stimmt. Mit den richtigen Gleichungen aber genau!
du rechnest ja mit dem Integral nur Arbeit aus, also die Energiedifferenz, also wenn du mit gleiche Energie unten anfaengst, kannst du Winkel bzw. Hoehe ausrechnen.
>
> Nun zuden Bewegungsglecihungen. Ich habe ein Problem damit
> diese z verstehen, da ich nich ganz folgen kann was die
> einzelnen schritte bedeuten... s(t) ist die zurpckgelgete
> Wegstrecke s'(t) die geschwindigkeit und s''(t) die
> beschelunigung. Soweit ist mir das klar, aber wie ich nun
> daraus auf die energieerhaltung komme ist mir völlig
> unklar. tut mir leid ich weis nciht ob das an irgedneiner
> wissenlücke bei mir liegt oder so, aber vllt könntest du
> das in schritten erklären. Also ichhänge immer ncoh an der
> vermutung, da ich doch diese bewegungsglecihung nciht
> bracuhe oder? denn ich betrachte doch nur die bedien punkte
> 1 und 2 odeR? ich versteh das noch nicht glanz wie du
> vorgehen möchtest, aber ich hoffe das das eine bessere
> lösung sit, denn die enrgieerhalung mit hilfe einer
> bedingung zu lösen ist unvorteilhaft oder?
Ja
> noch ein zusatz ich beschätige mich auch mit der
> gültigkeit i abhängikeit der variation der verkürzten
> pendellänge, kann ich diese veränderung dnen aus meienr
> bedinugnen entnehmen?
Ja, siehe oben
>also das die energiererhaltung gilt,
> wenn mandie verkürtze pendellänge lv ändert sich der winkel
> alpha2 zum quadrat ändert? ich bin ziemlcih verwirrt, gibt
> es vllt einen weg, der dirketer seinkönnte wie
[red]icq/msn [red]Ich hab keine Ahnung was das sein soll?
> ich hoffe ihr versteht mein unverständnis, aber ich
> versuche gleich nochmal deine gleciheung
> iregdnwiezuevrstehen
Und ich versuch noch mal, das zu erklaeren, muss aber weg, hoffe ich hab in 2 bis 3 Stunden noch mal Zeit. Bis dahin
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 Mo 14.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo nochmal
5 Std statt 3 aber ich versuch es noch mal.
In der Naeherung fuer kleine Winkel hast du [mm] F=-m*g*\bruch{s}{l}.als [/mm] ruecktreibende Kraft.
damit [mm] m*a=-m*g*\bruch{s}{l} [/mm] oder mit Ableitungen geschrieben und durch m dividiert:
[mm] s''(t)=-\bruch{g}{l}*s' [/mm] daraus: [mm] s''(t)+\bruch{g}{l}*s' [/mm] =0 Dies nennt man die Differentialgleichung DGL der Bewegung. Eine allgemeine Loesung dazu ist:
[mm] s(t)=A*sin(\wurzel{\bruch{g}{l}}*t)+B*cos(\wurzel{\bruch{g}{l}}*t). [/mm]
(Das das eine Loesung ist, kannst du sehen, indem du s' und s'' bildest und in die DGL einsetzt)
Dabei werden A und B durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
z.Bsp fuer t=0 v=s'=0, [mm] s=s_{0} [/mm] folgt A=0, [mm] B=s_{0} [/mm]
fuer t=0 [mm] v=s'=v_{0}, [/mm] s=0 folgt B=0 [mm] A=v_{0}*\wurzel{\bruch{l}{g}}.
[/mm]
Andere Anfangsbedingungen ergeben andere A und B aber die 2 genannten sind die haeufigsten.
Daraus kannst du jetzt leicht bei gegebenem [mm] s_{0}, [/mm] also den ersten Anfangsbedingungen durch differenzieren [mm] s'(t)=v(t)=s_{0}*cos(\wurzel{\bruch{g}{l}}*t)*\wurzel{\bruch{g}{l}} [/mm] bestimmen. und das ist maximal fuer cos()=1.
Dann kannst du mit dieser bekannten Geschwindigkeit, in der ja [mm] l_{v} [/mm] vorkommt, Die Loesung der DGL jetzt mit [mm] l_{n} [/mm] und [mm] v_{0} [/mm] und den 2. Anfangsbedingungen loesen. dann kommst du auf ein maximales s. und daraus auf hneu.
Das ist alles richtig, nur ein bissel langsam.
Deshalb die 2. Methode: Sie zeigt, dass der Energiesatz nich nur in den 2 Extrempunkten gilt, sondern in jedem Moment. Zur [mm] Vereinfachung:\bruch{g}{l}=gl.
[/mm]
Wir haben die DGL s''+gl*s'=0 Wir multiplizieren mit s' --> s''s'+gl*s*s'=0 . Wir integrieren -->
[mm] \integral{(s''s'+gl*s*s')dt}=\integral{s''s'dt}+\integral{gl*s*s')dt}=Konst.
[/mm]
die Integrale ausgefuehrt ergeben [mm] \bruch{1}{2}*s'^{2}+ \bruch{1}{2}*gl*s^2=Konst.
[/mm]
wenn du jetzt noch die Naeherungsformel fuer h einsetzt hast du den Energiesatz in jedem Moment. Die Konst bestimmt man aus entweder [mm] s=s_{max},v=0; [/mm] oder s=0, [mm] v=v_{max}.
[/mm]
Wenn du das verstehst, kann man es aehnlich auch mit der exakten Gleichung [mm] s''+g*sin\bruch{s}{l}=0 [/mm] machen. Aber dazu muss ich erst wissen, ob du das hier verstehst.
Gruss leduart, und frag weiter, wenn es zu kompliziert ist!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Galilex |
siehe ---> "Erfolg!!?"
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Di 15.03.2005 | | Autor: | leduart |
schon beantwortet
leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Galilex |
Hallo,
ich habe die Bewegungsgleichung nun erfolgreich hergeleitet nach der Hilfestellung in dem uns zur Verfügung gestelltenScriptum. Sie lautet:
s(t)=s0*cos(wurzel(g/l)*t)
Kann cih nun von der Bewegungsgleichung auf die Energieerhaltung kommen? ich habde diese Farge auchin meinem anderne Beitrag gestellt, jedoch ist der sehr unübersichtlich, deshab dieser neue "Fortschritt" ^^! Dazu habe ich mir eben mal deine älteren Beitrge durchgelesen, die mir nun kalrer erscheinen, ich boin soweit, das du mir erklärenmüsstest, was du mti deisem absatz meinst
"Daraus kannst du jetzt leicht bei gegebenem $ [mm] s_{0}, [/mm] $ also den ersten Anfangsbedingungen durch differenzieren $ [mm] s'(t)=v(t)=s_{0}\cdot{}cos(\wurzel{\bruch{g}{l}}\cdot{}t)\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{l}} [/mm] $ bestimmen. und das ist maximal fuer cos()=1."
--> Gilt dann also vür vmax=s0*Wurzel(g/l) ?
"Dann kannst du mit dieser bekannten Geschwindigkeit, in der ja $ [mm] l_{v} [/mm] $ vorkommt, Die Loesung der DGL jetzt mit $ [mm] l_{n} [/mm] $ und $ [mm] v_{0} [/mm] $ und den 2. Anfangsbedingungen loesen. dann kommst du auf ein maximales s. und daraus auf hneu. "
Was meinst du mti dem cosinus/ ist das Geschwindigkeit in dem Nulldurchgang = max kinetische Energie? wie kommst du auf hneu? ist das die höhe der auslenkung? und wo kommt da die länge lv vor? ist l indem fall nciht immer lg, wenn du mir diesen abschnitt, wie du also von der gleichung der geschwindigkeit auf die neue höhe h kommst und wie dann die energieerhaltung gilt, dann wäre ich dir sehr sehr dankbar
Entschuldigung wenn das jetzt alles entwas durcheinader kommt, aber ich bin jeztt soweit das ich die 1.Ableitung der Bewegugnsgleichung 0 gesetzt habe um dei beiden max. Auslenkugnen heruaszubekommen. Hierzu muss ja der der term im cosinus 1, sein damit dieser 0 ergibt, so ergibt sich fpr die zeitpunkte t doch, an denen die max. auslenkungne erreicht werden:
t=Wurzel(l/g) oder? kann man nun aus den Zeitpunkten die Höhe pberechnen doe rirgednwie sowas? oder s?
mfg alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:03 Di 15.03.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo,
> ich habe die Bewegungsgleichung nun erfolgreich
> hergeleitet nach der Hilfestellung in dem uns zur Verfügung
> gestelltenScriptum. Sie lautet:
>
> s(t)=s0*cos(wurzel(g/l)*t)
Hast du meine Erklaerungen dazu nicht verstanden?
> Kann cih nun von der Bewegungsgleichung auf die
> Energieerhaltung kommen? ich habde diese Farge auchin
> meinem anderne Beitrag gestellt, jedoch ist der sehr
> unübersichtlich, deshab dieser neue "Fortschritt" ^^! Dazu
> habe ich mir eben mal deine älteren Beitrge durchgelesen,
> die mir nun kalrer erscheinen, ich boin soweit, das du mir
> erklärenmüsstest, was du mti deisem absatz meinst
>
>
> "Daraus kannst du jetzt leicht bei gegebenem [mm]s_{0},[/mm] also
> den ersten Anfangsbedingungen durch differenzieren
> [mm]s'(t)=v(t)=s_{0}\cdot{}cos(\wurzel{\bruch{g}{l}}\cdot{}t)\cdot{}\wurzel{\bruch{g}{l}}[/mm]
> bestimmen. und das ist maximal fuer cos()=1."
> --> Gilt dann also vür vmax=s0*Wurzel(g/l) ?
Also v(t)=s'(t) ist die Geschwindigkeit in jedem Zeitpunkt nach Definition von Geschwindigkeit. Im PUnkt s=0 ist der cos() =0 und [mm] v(t)=\wurzel{\bruch{g}{l}}sin(\wurzel{\bruch{g}{l}}*t) [/mm] maximal naemlich [mm] s(0)*\wurzel{\bruch{g}{l}}.Also [/mm] ist das die maximalgeschwindigkeit, mit der das Pendl der Laenge l unten ankommt. hier musst du also die erste Pendellaenge, [mm] l_{v} [/mm] fuer l einsetzen.
Mit dieser Anfangsgeschwindigkeit beginnt nun die Bewegung des kuerzeren Pendels. Du hast eine neue Bewegungsgleichung, diesmal ist die Anfangsgesdchwindigkeit gegeben,wir setzen die Zeit wieder auf t=o
Die Bewegungsgleichung mit Anfangsgeschwindigkeit [mm] v(0)=s(0)*\wurzel{\bruch{g}{l_{v}}} [/mm] ist
[mm] s(t)=s(0)*\wurzel{\bruch{g}{l_{v}}}*\wurzel{\bruch{l_{n}}{g}}*sin(\wurzel{\bruch{g}{l_{n}}}*t). [/mm] Wenn du das nicht aus meinen vorherigen Ausfuerungen verstanden hast, rechne daraus v=s' aus,setz t=0 ein und bestaetige, dass es richtig ist. Das maximale s ist da wo der sin=1 ist d.h.
[mm] s_{max} =s(0)*\wurzel{\bruch{g}{l_{v}}}*\wurzel{\bruch{l_{n}}{g}} [/mm] daraus rechnest du das neue h nach der Naeherungsformel aus und hast den Energiesatz,wenn du mit m*g multiplizierst.
> "Dann kannst du mit dieser bekannten Geschwindigkeit, in
> der ja [mm]l_{v}[/mm] vorkommt, Die Loesung der DGL jetzt mit [mm]l_{n}[/mm]
> und [mm]v_{0}[/mm] und den 2. Anfangsbedingungen loesen. dann kommst
> du auf ein maximales s. und daraus auf hneu. "
>
> Was meinst du mti dem cosinus/ ist das Geschwindigkeit in
> dem Nulldurchgang = max kinetische Energie? wie kommst du
> auf hneu? ist das die höhe der auslenkung? und wo kommt da
> die länge lv vor? ist l indem fall nciht immer lg, wenn du
> mir diesen abschnitt, wie du also von der gleichung der
> geschwindigkeit auf die neue höhe h kommst und wie dann die
> energieerhaltung gilt, dann wäre ich dir sehr sehr
> dankbar
Ich hoff, ich hab das jetzt nochmal erklaert.
Wenn du Punkt fuer Punkt meine Erklaerungen kommentiert haettest, waere es etwas leichter,zu verstehen, wo du aushakst. Aber noch immer gehst du hoechstens mal auf einen Satz von mir ein.
>
> Entschuldigung wenn das jetzt alles entwas durcheinader
> kommt, aber ich bin jeztt soweit das ich die 1.Ableitung
> der Bewegugnsgleichung 0 gesetzt habe um dei beiden max.
> Auslenkugnen heruaszubekommen. Hierzu muss ja der der term
> im cosinus 1, sein damit dieser 0 ergibt, so ergibt sich
> fpr die zeitpunkte t doch, an denen die max. auslenkungne
> erreicht werden:
> t=Wurzel(l/g)
mit dem richtigen l !
oder? kann man nun aus den Zeitpunkten die
> Höhe pberechnen doe rirgednwie sowas? oder s?
Wenn du eine Zeit in die Bewegungsgl. einsetzt kommt immer der Weg zu dieser Zeit raus und dazu hab ich dir die Formel um aus s und dem richtigen l die Hoehe auszurechnen.
Ich schlag vor, dass du dir , wenn du noch immer nicht weiter kommst mal alle meine bisherigen Erklaerungen ausdruckst und nicht nur fluechtig liest und dir dann klar machst, genau an welchen Punkten du scheiterst.
(Bei allen obigen Betrachtungen habe ich weggelassen, dass die Gleichung nur naeherungsweise fuer kleine Winkel richtig ist.)
Das ist mein letzter Versuch, dir zu helfen, ab morgen komm ich mehrere Tage nich mehr an nen computer!
Viel Erfolg!
leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Galilex |
Moin leduart, danke nochmals für die Zeit du du geopfert hast ^^ habs mit deinem letzten beitrag endlich verstanden! Also vielen dank nochmal!!
Mfg Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 06.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weisst du wie man von der Bewegungsgleichung s''+-D*s auf den Energiesatz kommt? Multipliziere beide Seiten mit s' und integriere dann! denk daran [mm] ((s')^{2.})'=2s'*s'' [/mm] !
Die Dgl mit der Anfangsbedingung h+h0 s'=0 , und l=l1v+0 loesen, v(h=0) bestimmen, Dgl mit Anfangsbedingung h=0 s'=v(h=0) l=l2 bestimmen und du kriegst siehe oben wieder als hmax h0!
Gruss leduart
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
da (Seite 8)