G isomorph zu G/{e} ? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 15.12.2009 | | Autor: | Jorgi |
Guten Tag,
kann es sein, dass eine Gruppe $G$ isomorph zu einer echte Faktorgruppe von sich selber ist ?
D.h. kann ein nicht-trivialer Normalteiler $N [mm] \subset [/mm] G$ existieren, so dass $G [mm] \cong [/mm] G/N$ gilt.
Notwendiger weise müsste $G$ von unendlicher Ordnung sein, denn Lagrange besagt, dass dies für endliche Gruppen nicht sein kann.
Viele Grüße
Jorgi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 15.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Jorgi!
> kann es sein, dass eine Gruppe [mm]G[/mm] isomorph zu einer echte
> Faktorgruppe von sich selber ist ?
> D.h. kann ein nicht-trivialer Normalteiler [mm]N \subset G[/mm]
> existieren, so dass [mm]G \cong G/N[/mm] gilt.
>
> Notwendiger weise müsste [mm]G[/mm] von unendlicher Ordnung sein,
> denn Lagrange besagt, dass dies für endliche Gruppen nicht
> sein kann.
Weiterhin sollte es keine endlich erzeugte abelsche Gruppe sein, dort geht es laut dem Hauptsatz nicht.
Bei unendlich erzeugten abelschen Gruppen geht es jedoch. Betrachte etwa $G := [mm] \{ f : \IN \to \IZ \}$ [/mm] und $N := [mm] \{ f \in G \mid f(0) = 0 \}$ [/mm] und $M := [mm] \{ f \in G \mid f(n) = 0 \text{ fuer } n > 0 \}$. [/mm] Definiere die Abbildung [mm] $\pi [/mm] : G [mm] \to [/mm] M$, $f [mm] \mapsto \begin{cases} \IN \to \IZ & \\ n \mapsto & \begin{cases} 0 & \text{fuer } n = 0, \\ f(n) & \text{fuer } n > 0 \end{cases} \end{cases}$. [/mm] Dann ist [mm] $\pi$ [/mm] surjektiv mit [mm] $\ker \pi [/mm] = N$, also gilt $M [mm] \cong [/mm] G/N$.
Guckst du dir jetzt aber die Abbildung [mm] $\phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] M$, $f [mm] \mapsto \begin{cases} \IN \to \IZ & \\ n \mapsto & \begin{cases} 0 & \text{fuer } n = 0, \\ f(n - 1) & \text{fuer } n > 0 \end{cases} \end{cases}$ [/mm] an, so siehst du dass diese ein Isomorphismus ist.
Du bekommst also $G/N [mm] \cong [/mm] M [mm] \cong [/mm] G$.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:02 Di 15.12.2009 | | Autor: | Jorgi |
Erst einmal danke für dieses Beispiel, sehr nett von dir.
(Kann es sein dass du bei der Ausführung $N$ und $M$ vertauscht hast ?)
Wie sieht es denn mit endlich erzeugten, nicht-abelschen Gruppen aus ?
Kann ich dort von $G/N [mm] \cong [/mm] G$ auf $N = [mm] \{ e\}$ [/mm] schließen, jetzt wo kein Hauptsatz zur Verfügung steht ?
Viele Grüße,
Jorgi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 15.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Jorgi!
> Erst einmal danke für dieses Beispiel, sehr nett von dir.
> (Kann es sein dass du bei der Ausführung [mm]N[/mm] und [mm]M[/mm]
> vertauscht hast ?)
Ja, ich hab die beiden verwechselt. $N$ sollte die "kleine" Untergruppe sein, $M$ die "grosse".
> Wie sieht es denn mit endlich erzeugten, nicht-abelschen
> Gruppen aus ?
> Kann ich dort von [mm]G/N \cong G[/mm] auf [mm]N = \{ e\}[/mm] schließen,
> jetzt wo kein Hauptsatz zur Verfügung steht ?
Das ist eine gute Frage. Spontan faellt mir kein Gegenbeispiel ein, allerdings kenn ich mich auch nicht so gut mit nicht-abelschen Gruppen aus... Wenn mir was einfaellt melde ich mich noch.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Di 15.12.2009 | | Autor: | Jorgi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Bei nicht endlich erzeugten, abelschen Gruppen wurde mir noch ein Beispiel gezeigt, was ganz nett ist.
Man nehme $\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$ oder etwas anschaulicher, die dazu isomorphe multiplikative Gruppe des Einheitskreises $S_1$ (Verknüpfung ist die Multiplikation komplexer Zahlen)
Dort kann ich, für festes $n \in \mathbb{N}$, die $n$-ten Einheitswurzeln herausdividieren, ohne die $S_1$ zu verkleinern.
$\varphi: S_1 \rightarrow S_1,\ z \mapsto z^n$ ist surjektiv, mit den $n$-ten Einheistwurzeln als Kern.
Viele Grüße,
Jorgi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 15.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Jorgi!
> Bei nicht endlich erzeugten, abelschen Gruppen wurde mir
> noch ein Beispiel gezeigt, was ganz nett ist.
>
> Man nehme [mm]\mathbb{R}/\mathbb{Z}}[/mm] oder etwas anschaulicher,
> die dazu isomorphe multiplikative Gruppe des
> Einheitskreises [mm]S_1[/mm] (Verknüpfung ist die Multiplikation
> komplexer Zahlen)
>
> Dort kann ich, für festes [mm]n \in \mathbb{N}[/mm], die [mm]n[/mm]-ten
> Einheitswurzeln herausdividieren, ohne die [mm]S_1[/mm] zu
> verkleinern.
>
> [mm]\varphi: S_1 \rightarrow S_1,\ z \mapsto z^n[/mm] ist surjektiv,
> mit den [mm]n[/mm]-ten Einheistwurzeln als Kern.
Stimmt, das ist auch ein tolles Beispiel.
Alternativ kannst du auch die Einheitengruppe eines alg. abgeschlossenen Koerpers nehmen, wie den komplexen Zahlen [mm] $\IC$; [/mm] dort ist $z [mm] \mapsto z^n$ [/mm] ebenfalls surjektiv, und falls $n$ nicht durch die Charakteristik des Koerpers teilbar ist (fuer [mm] $\IC$ [/mm] ist die Bedingung immer erfuellt), so hat der Kern dieser Abbildung $n$ Elemente.
LG Felix
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