GW von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Di 03.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (fuer [mm] $n\to\infty$)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n^{j+1}}\summe_{i=1}^{n}i^j [/mm] für $j = 1,2,3$ |
Diese Aufgabe überfordert mich irgendwie total.
Ich hab die Vermutung, dass ich hier mit [mm] \summe_{i=1}^{n}i=\bruch{1}{2}n(n+1) [/mm] weiterkomme, zumindest stimmt das für $j=1$, für $j=2$ bekomme ich es aber nicht mehr hin.
Für $j=1$ bekomme ich dann [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
Aber ich soll das ja allgemein also mit dem $j$ als Variable zeigen. Hat jemand eine Idee?
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
dein Ansatz sieht gut aus:
bedenke: es gilt:
(1) [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
(2) [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
Das könnte helfen 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Tea!
Da es m.E. keine allgemeine Formel für [mm]\summe_{i=1}^{n}i^j[/mm] gibt, kannst Du auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{j+1}}*\summe_{i=1}^{n}i^j[/mm] nicht allgemein bestimmen.
Dein Weg über die einzelnen Nachweise ist als richtig.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Tea |
Achso. Dann versuche ich also etwas zu beweisen was es gar nicht geben kann ...
Ich werd mir also nur die Formenl für $j=1,2,3$ merken, das sollte ja dann reichen 
Danke für die Info
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
für deine Folge gibt es eine allgemeine Formel. Hier die Herleitung:
Angennomen wir wollen [mm] \integral_{0}^{b}{x^{\alpha} dx}, [/mm] dann gilt:
[mm] \integral_{0}^{b}{x^{\alpha} dx}=\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} (k\bruch{b}{n})^{\alpha} \bruch{b}{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b^{\alpha +1} \bruch{1}{n^{\alpha +1 }} \summe_{k=1}^{n} k^{\alpha} =\bruch{1}{\alpha +1} b^{\alpha +1}
[/mm]
Das Ergebnis ist ja aus der Integralrechnung bekannt.
Also muss gelten:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^{\alpha +1}} \summe_{k=1}^{n} k^{\alpha +1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\alpha +1}
[/mm]
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen (fuer [mm] $n\to\infty$) [/mm]
[mm] $\bruch{a^n}{n!}, [/mm] a>0$ |
Wie mache ich das denn formal?
Kann mich ja dran erinnern, dass Fakultät schneller wächst als $^n$, also ist der Grenzwert 0 denke ich.
|
|
|
| |
|
Hallo Stefan,
ich denke, du solltest eine Fallunterscheidung machen,
die Folge [mm] \left(\frac{a^n}{n!}\right)_{n\in\IN} [/mm] scheint mir für [mm] $0
Wie die Abschätzungen im einzelnen genau aussehen, weiß ich im Moment leider auch nicht, werde aber mal drüber nachdenken.
Das ist in jedem Falle eine sehr interessante Aufgabe
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo
1. [mm] a\le [/mm] 1 ist klar 0 Folge
2. [mm] 1
[mm] \bruch{a}{1}*\bruch{a}{2}*...\bruch{a}{N}=endliche [/mm] Zahl [mm] \bruch{a^N}{N!}
[/mm]
der zweite Teil sind lauter Faktoren <1 also zusammen [mm] <\bruch{a}{1}*\bruch{a}{2}*...\bruch{a}{n} [/mm] und damit gegen 0 fuer n gegen [mm] \infty
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
