GLS lösbar, Lösungsmenge < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 01.07.2010 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden linearen Gleichungen lösbar sind und bestimmen sie ggf. die Lösungsmengen
[mm] \vektor{1 \\ 2}x_1 [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 4}x_2 [/mm] - [mm] \vektor{4 \\ 8}x_3 [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6} [/mm] |
Eine mögliche Lösung wäre ja der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] also ist das GLS lösbar. Man sieht auch sofort, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind, sodass es eigentlich nur einen unabhängigen gibt, sprich dim lin. unabh. = 1
Die Dimension der Koeffizientenvektorraum ist dim = 3
=> dim Lsg = 3-1 = 2 linear unabhängige Vektoren brauche ich. Klar, durch Ablesen finde ich zwei, aber wie löse ich das rechnerisch? Wenn ich das GLS auflöse kommt immer 0 = 0 heraus?
Kleine Randfrage:
Rangformel: Rang(f) = dimV - dimKer(f)....
ist das hier nichts anderes wie oben beschrieben, sprich Ker = linear unabh.Vektoren und Rang(f) = Lösungsmenge?
Danke für Eure Hilfe
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Hallo nOrdi,
> Entscheiden Sie, welche der folgenden linearen Gleichungen
> lösbar sind und bestimmen sie ggf. die Lösungsmengen
> [mm]\vektor{1 \\ 2}x_1[/mm] + [mm]\vektor{2 \\ 4}x_2[/mm] - [mm]\vektor{4 \\ 8}x_3[/mm]
> = [mm]\vektor{3 \\ 6}[/mm]
> Eine mögliche Lösung wäre ja der
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] also ist das GLS lösbar. Man
> sieht auch sofort, dass die 3 Vektoren linear abhängig
> sind, sodass es eigentlich nur einen unabhängigen gibt,
> sprich dim lin. unabh. = 1
> Die Dimension der Koeffizientenvektorraum ist dim = 3
> => dim Lsg = 3-1 = 2 linear unabhängige Vektoren brauche
> ich. Klar, durch Ablesen finde ich zwei, aber wie löse ich
> das rechnerisch? Wenn ich das GLS auflöse kommt immer 0 =
> 0 heraus?
Ja, schreibe es als Matrixsystem und bringe es in Zeilenstufenform:
[mm] $\pmat{1&2&-4&\mid&3\\2&4&-8&\mid&6}$
[/mm]
Addiere hier das -2fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile, dann bekommst du
[mm] $\pmat{1&2&-4&\mid&3\\0&0&0&\mid&0}$
[/mm]
Nun siehst du auch rechnerisch, dass du zwei freie Variablen hast, du also einen 2-dim. affinen Raum als Lösungsraum erhältst.
Mit [mm] $x_3=t, x_2=s, s,t\in\IR$ [/mm] ist dann [mm] $x_1=3-2s+4t$
[/mm]
Ein Lösungsvektor sieht allg. also so aus:
[mm] $\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3-2s+4t\\s\\t}=\vektor{3\\0\\0}+s\cdot{}\vektor{-2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{4\\0\\1}$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Anders geschrieben: [mm] $\mathbb{L}=\vektor{3\\0\\0}+\left\langle\vektor{-2\\1\\0}, \vektor{4\\0\\1}\right\rangle$
[/mm]
>
> Kleine Randfrage:
> Rangformel: Rang(f) = dimV - dimKer(f)....
> ist das hier nichts anderes wie oben beschrieben, sprich
> Ker = linear unabh.Vektoren und Rang(f) = Lösungsmenge?
Hmm, die Dimension des Lösungsraumes spendiert dir das zugeh. homogene LGS, wo also die rechte Seite 0 ist.
Dazu kannst du die Matrix [mm] $\pmat{1&2&-4\\2&4&-8}$ [/mm] als Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung [mm] $f:\IR^3\to\IR^2$ [/mm] auffassen.
Hier hilt [mm] $\operatorname{dim}(V)=\operatorname{\IR^3}=3=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(f))+\operatorname{dim}\operatorname{Bild}(f))$.
[/mm]
[mm] $\operatorname{Bild}(f)$ [/mm] wird von den Spaltenvektoren der obigen Matrix aufgespannt, es gilt Zeilenrang=Spaltenrang=1
Damit ist das Bild eindimensional und der Kern mithin 2-dimensional.
Der Kern ist hier dann der homogene Lösungsanteil, also der Spann oben in den spitzen Klammern, dazu der affine Teil mit der einen speziellen Lösung [mm] $\vektor{3\\0\\0}$
[/mm]
Die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS setzt sich ja zusammen aus einer speziellen Lsg des inhomogenen LGS + Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS
> Danke für Eure Hilfe
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 02.07.2010 | | Autor: | n0rdi |
> Ja, schreibe es als Matrixsystem und bringe es in
> Zeilenstufenform:
>
> [mm]\pmat{1&2&-4&\mid&3\\2&4&-8&\mid&6}[/mm]
>
> Addiere hier das -2fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile, dann
> bekommst du
>
> [mm]\pmat{1&2&-4&\mid&3\\0&0&0&\mid&0}[/mm]
>
Klar Gauß-Algorithmus, stimmt,
so geht es auch ;)
> Nun siehst du auch rechnerisch, dass du zwei freie
> Variablen hast, du also einen 2-dim. affinen Raum als
> Lösungsraum erhältst.
>
> Mit [mm]x_3=t, x_2=s, s,t\in\IR[/mm] ist dann [mm]x_1=3-2s+4t[/mm]
>
Dass ich nur 2 Zeilen haben und eine mit 0, heißt dass die letzten beiden eine Variable sind?
> Ein Lösungsvektor sieht allg. also so aus:
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3-2s+4t\\s\\t}=\vektor{3\\0\\0}+s\cdot{}\vektor{-2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{4\\0\\1}[/mm]
> mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
>
> Anders geschrieben:
> [mm]\mathbb{L}=\vektor{3\\0\\0}+\left\langle\vektor{-2\\1\\0}, \vektor{4\\0\\1}\right\rangle[/mm]
>
> Hmm, die Dimension des Lösungsraumes spendiert dir das
> zugeh. homogene LGS, wo also die rechte Seite 0 ist.
Also gibt mir die Dimension des Lsg.raumes die Spaltenanzahl im hom. GLS an?
> Dazu kannst du die Matrix [mm]\pmat{1&2&-4\\2&4&-8}[/mm] als
> Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung [mm]f:\IR^3\to\IR^2[/mm]
> auffassen.
>
> Hier hilt
> [mm]\operatorname{dim}(V)=\operatorname{\IR^3}=3=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(f))+\operatorname{dim}\operatorname{Bild}(f))[/mm].
>
> [mm]\operatorname{Bild}(f)[/mm] wird von den Spaltenvektoren der
> obigen Matrix aufgespannt, es gilt
> Zeilenrang=Spaltenrang=1
>
> Damit ist das Bild eindimensional und der Kern mithin
> 2-dimensional.
>
> Der Kern ist hier dann der homogene Lösungsanteil, also
> der Spann oben in den spitzen Klammern, dazu der affine
> Teil mit der einen speziellen Lösung [mm]\vektor{3\\0\\0}[/mm]
>
> Die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS setzt sich ja
> zusammen aus einer speziellen Lsg des inhomogenen LGS +
> Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS
>
Also ist der Spaltenvektor eigentlich 3 aber der Rang nur 1 da sie linear abhängig sind und der Zeilenvektor ist eig. 2, aber da sie ebenfalls linear abhängig sind ist der Rang 1?
Nun ganz grob gesagt....
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> > Ja, schreibe es als Matrixsystem und bringe es in
> > Zeilenstufenform:
> >
> > [mm]\pmat{1&2&-4&\mid&3\\2&4&-8&\mid&6}[/mm]
> >
> > Addiere hier das -2fache der 1.Zeile auf die 2.Zeile, dann
> > bekommst du
> >
> > [mm]\pmat{1&2&-4&\mid&3\\0&0&0&\mid&0}[/mm]
> >
> Klar Gauß-Algorithmus, stimmt,
> so geht es auch ;)
> > Nun siehst du auch rechnerisch, dass du zwei freie
> > Variablen hast, du also einen 2-dim. affinen Raum als
> > Lösungsraum erhältst.
> >
> > Mit [mm]x_3=t, x_2=s, s,t\in\IR[/mm] ist dann [mm]x_1=3-2s+4t[/mm]
> >
Hallo,
Deine Fragen sind so undurchsichtig formuliert, daß man nur schwer darauf antworten kann.
> Dass ich nur 2 Zeilen haben und eine mit 0, heißt dass die
> letzten beiden eine Variable sind?
???
Die Koeffizientenmatrix und die erweiterte Koeffizientenmatrix haben beide den Rang 1, also denselben Rang.
Daraus weiß man, daß das GS lösbar ist.
Es gibt nur eine Nichtnullzeile. Deren führendes Element steht in Spalte 1.
Also kann man die zweite und dritte Variable frei wählen. (Vermutlich ist dies die Antwort auf Deine Frage.)
>
> > Ein Lösungsvektor sieht allg. also so aus:
> >
> >
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{3-2s+4t\\s\\t}=\vektor{3\\0\\0}+s\cdot{}\vektor{-2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{4\\0\\1}[/mm]
> > mit [mm]s,t\in\IR[/mm]
> >
> > Anders geschrieben:
> > [mm]\mathbb{L}=\vektor{3\\0\\0}+\left\langle\vektor{-2\\1\\0}, \vektor{4\\0\\1}\right\rangle[/mm]
>
> >
>
>
> > Hmm, die Dimension des Lösungsraumes spendiert dir das
> > zugeh. homogene LGS, wo also die rechte Seite 0 ist.
> Also gibt mir die Dimension des Lsg.raumes die
> Spaltenanzahl im hom. GLS an?
???
Die Dimension des Lösungsraumes ist die Dimension des Kerns der Koeffizientenmatrix.
Hier:
dimKern=3-dimRang=3-1=2.
>
> > Dazu kannst du die Matrix [mm]\pmat{1&2&-4\\2&4&-8}[/mm] als
> > Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung [mm]f:\IR^3\to\IR^2[/mm]
> > auffassen.
> >
> > Hier hilt
> >
> [mm]\operatorname{dim}(V)=\operatorname{\IR^3}=3=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(f))+\operatorname{dim}\operatorname{Bild}(f))[/mm].
> >
> > [mm]\operatorname{Bild}(f)[/mm] wird von den Spaltenvektoren der
> > obigen Matrix aufgespannt, es gilt
> > Zeilenrang=Spaltenrang=1
> >
> > Damit ist das Bild eindimensional und der Kern mithin
> > 2-dimensional.
> >
> > Der Kern ist hier dann der homogene Lösungsanteil, also
> > der Spann oben in den spitzen Klammern, dazu der affine
> > Teil mit der einen speziellen Lösung [mm]\vektor{3\\0\\0}[/mm]
> >
> > Die Lösungsgesamtheit eines inhomogenen LGS setzt sich ja
> > zusammen aus einer speziellen Lsg des inhomogenen LGS +
> > Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS
> >
> Also ist der Spaltenvektor eigentlich 3
???
Was meinst Du damit?
> aber der Rang nur 1
> da sie linear abhängig sind und der Zeilenvektor ist eig.
> 2, aber da sie ebenfalls linear abhängig sind ist der Rang
> 1?
> Nun ganz grob gesagt....
Das erschließt sich mir weder inhaltlich, noch ist mir die Konstruktion des Satzes an sich klar...
Falls sich die Frage nicht schon geklärt hat, solltest Du mal versuchen, sie verständlich zu formulieren.
Gruß v. Angela
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