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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Mi 20.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | Berechne alle Ergebnisse für natürliche ZAhlen a,b mit a > b für die gilt:
a²-b² = 7 * (ggT(a,b)) |
Also leider hatte ich viele Ideen und konnte alle widerlegen.
Ein Ergebnis das ich gefunden habe ist a= 4 und b =3
Ich hatte Ideen wie
a²-b² in (a+b)(a-b) zu zerlegen
um dann
[mm] \bruch{(a+b)}{ggT(a,b)} [/mm] * (a-b) = 1 * 7
zu zerlegen, natürlich auch den anderen Fall,
um dann zu sagen der erste Faktor muss 7 sein und der zweite 1 und andersrum.
Leider bin ich zu keinem Ergebniss mit mehr Lösungen gekommen und auch nicht zu der Lösung 4 und 3...
Vielleicht kann mi jemand helfen und mit meinen Ideen etwas anfangen.
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Hi,
die Aufgabe is ja ganz schön tricky. Hab mich mal ein bisschen gespielt und bin auf folgendes gekommen:
dein Ansatz war echt gut. Mal schauen, ob ichs hinkrieg:
du machst deine 2 Ansätze:
1.) [mm] \bruch{a+b}{ggT(a,b)} [/mm] * (a-b) = 1 * 7
2.) [mm] \bruch{a-b}{ggT(a,b)} [/mm] * (a+b) = 1 * 7
aus 1.) folgt:
[mm] \alpha) \bruch{a+b}{ggT(a,b)} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] a+b = ggT(a,b)
Das macht aber keinen Sinn, denn der ggT zweier Zahlen ist ja immer kleiner als jede der beiden Zahlen und somit kann die Summe aus a und b nicht kleiner werden als a oder b.
[mm] \Rightarrow [/mm] der Ansatz [mm] 1.\alpha) [/mm] führt zu keinem Ziel
[mm] \beta) \bruch{a+b}{ggT(a,b)} [/mm] = 7 [mm] \gdw [/mm] a+b = 7*ggT(a,b), d.h. man braucht 2 aufeinanderfolgende (natürliche) Zahlen (a-b=1 !!), denn für diese Zahlen ist der ggT=1.
(nicht bewiesene Begründung: sei x=2n, y=2n+1 [mm] \Rightarrow [/mm] bei Division von x und y durch 2 oder n bleibt immer ein Rest, außer bei Division durch 1 [mm] \Rightarrow [/mm] ggT=1)
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b = 7*1 und a-b=1
[mm] \Rightarrow [/mm] Gleichungssystem lösen [mm] \Rightarrow [/mm] b=3, a=4
aus 2.) folgt:
[mm] \alpha) \bruch{a-b}{ggT(a,b)} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] a-b = ggT(a,b), und a+b=7 [mm] \gdw [/mm] a=7-b>b (nach Vor.!) [mm] \gdw b<\bruch{7}{2} \gdw [/mm] b=3,2,1 [mm] \Rightarrow [/mm] a=4,5,6
Jetzt konnte ich leider nur die 3 Fälle ausprobieren statt mathematisch lösen und das lieferte nur ein erneutes Paar (a,b)=(4,3)
[mm] \beta) \bruch{a-b}{ggT(a,b)} [/mm] = 7 [mm] \gdw [/mm] a-b = 7*ggT(a,b), und a+b=1 [mm] \gdw [/mm] a=1-b [mm] \ge [/mm] 0 (da natürliche Zahl!) [mm] \gdw [/mm] (a,b)=(7,0)
Puh! Ganz schön heftig. Also Fazit: es gibt nur 2 Kombinationen (falls du die 0 zu den natürlichen Zahlen zählst): (a,b) = (4,3) oder (a,b) = (7,0)
War das einigermaßen verständlich? Sorry, wenns zu umständlich war. 
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Mi 20.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
Vielen dank, ich fand es nicht zu kompliziert...
Mir fehlte nur der Gedankenschritt, dass der ggT vo zwei aufeinanderfolgenden Zahlen immer 1 ist.
Danke
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