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Ich beschäftige mich gerade mit Auktionstheorie. Im Lehrbuch steht folgendes Beispiel:
[mm]S = V + \frac{\int_{V}^{\ \infty}{((\frac{a}{u})^b)^{N-1}du}}{((\frac{a}{V})^b)^{N-1}}[/mm]
Mit etwas Algebra ergibt sich
[mm]S = V\frac{b(N-1)}{b(N-1)-1}[/mm]
Im nächsten Schritt ist [mm]\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] gesucht. Also gut, das Ergebnis zuerst invertieren und das dann ableiten:
[mm]V=S\frac{b(N-1)-1}{b(N-1)}[/mm]
[mm]\frac{\partial V}{\partial S}=\frac{b(N-1)-1}{b(N-1)}[/mm]
Damit wird dann weitergearbeitet...
Gut und schön. Ich habe nun eine leicht andere Ausgangslage:
[mm]S = V - \frac{\int_{0}^{V}{1-(\frac{a}{u})^{b(N-1)} du}}{1-(\frac{a}{V})^{b(N-1)}}[/mm]
Man beachte dreierlei:
1.) Es steht nach dem V ein Minus, statt einem Plus wie oben.
2.) Die Integrationsgrenzen sind anders.
3.) Im Nenner (und im Integral im Zähler) steht die Paretoverteilung, falls das nützlich ist.
Löse ich das Integral, komme ich auf
[mm]S = V \frac{b(N-1)(\frac{a}{V})^{b(N-1)}}{(b(N-1)-1)((\frac{a}{V})^{b(N-1)}-1)}[/mm]
Erneut müsste nun invertiert und anschließend [mm]\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] bestimmt werden. Nur: Ist S überhaupt invertierbar? Kann S noch vereinfacht werden, so dass die [mm]\frac{a}{V}[/mm]-Ausdrücke eliminiert werden können?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Do 17.11.2016 | | Autor: | chrisno |
> .....
> [mm]S = V \frac{b(N-1)(\frac{a}{V})^{b(N-1)}}{(b(N-1)-1)((\frac{a}{V})^{b(N-1)}-1)}[/mm]
>
> ....
(s.u.)
> Kann S noch vereinfacht werden, so
> dass die [mm]\frac{a}{V}[/mm]-Ausdrücke eliminiert werden können?
Die letzte Frage zuerst: Nein. Es könnte aber netter zu rechnen sein, wenn Du den Bruch mit
[mm] $V^{b(N-1)}$ [/mm] erweiterst.
> Erneut müsste nun invertiert und anschließend
> [mm]\frac{\partial V}{\partial S}[/mm] bestimmt werden. Nur: Ist S
> überhaupt invertierbar?
Bilde [mm]\frac{\partial S}{\partial V}[/mm] und nutze den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.
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Hallo,
okay, zwei entscheidende Hinweise, tausend Dank!
Also ist
[mm]\frac{\partial S}{\partial V}=\frac{b\left(\frac{a}{V}\right)^{b(N-1)}(2N-3)}{\left(\left(\frac{a}{V}\right)^{b(N-1)}-1\right)^2(b(N-1)-1)}[/mm]
und somit
[mm]\frac{\partial V}{\partial S}=\frac{\left(\left(\frac{a}{S}\right)^{b(N-1)}-1\right)^2(b(N-1)-1)}{b\left(\frac{a}{S}\right)^{b(N-1)}(2N-3)}[/mm]
ja?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 So 20.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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