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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Thorsten |
| Aufgabe 1 | 1. Bestimme die Funktionswerte ohne Taschenrechner
a) sin (150Grad)
b) cos(-150Grad)
c) cos [mm] (\bruch{ \pi}{4})
[/mm]
d) sin( [mm] \bruch{ \pi}{4}) [/mm]
e) tan ( [mm] \bruch{2}{3}\pi)
[/mm]
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| Aufgabe 2 | 2. Bestimme die Lösungsmenge
a) cos(4x + 1) = -0,3
b) 6sin(x) + 2cos(x) = 2 |
Hallo,
ich brauche dringend Hilfe, bei diesen Aufgaben. Ich denke das man die Aufgaben 1. a) und b) mit Hilfe des Einheitskreis lösen kann.
Ab Aufgabe 1. c) usw. weis ich jedoch nicht weiter. Mir fehlt bei Aufgabe 2 jeglicher Ansatz.
Vielen Dank für euere Hilfe. Hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß,
Thorsten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Thorsten |
Zu 1.
Habe bei Wikipedia die Reduktionsformel gefunden.Damit klappt es:
sin (150GRad) = sin (180Grad - 30 Grad)
-> sin (180Grad - 30 Grad) = sin (30Grad)
-> sin (30Grad) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{1}
[/mm]
-> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{1} [/mm] = 0,5
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Fr 23.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Thorsten
> 1. Bestimme die Funktionswerte ohne Taschenrechner
>
> a) sin (150Grad)
> b) cos(-150Grad)
> c) cos [mm](\bruch{ \pi}{4})[/mm]
> d) sin( [mm]\bruch{ \pi}{4})[/mm]
> e) tan ( [mm]\bruch{2}{3}\pi)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sin, cos und tan von 30°, 45° ,60° und 90° sollte man entweder auswendig wissen, oder schnell mit Pythagoras ausrechnen können. 30°=\pi/6 und 60°=\pi/3 hat man im gleichseitigen Dreieck, Seitenlänge1 und ingezeichneter Höhe. dann sieht man direkt sin30°=1/2, cos30°=1/2*\wurzel{3} wenn man die Höhe mit Pythagoras ausrechnet, und damit tan30°=1/\wurzel{3}=\wurzel{3}/3
bei 60° dasselbe haalbe Dreieck, sin und cos vertauschen die Rollen also cos60=1/2, sin60=1/2*\wurzel{3}, tan60=\wurzel{3}
bei 45° nimmt man ein gleichschenkliges rechtw. Dreieck mit Hypothenuse 1 und hat mit Pythagoras sin45=cos45=1/2*\wurzel{2} tan45=1
Die 2 hier genannten Dreiecke sollte man immer skizzieren, wenn die Winkel vorkommen.
Für Winkel größer 90 oder kleiner 0 ist es immer am besten das am Einheitskreis anzusehen. und dann auf einen der Werte oben zurückzuführen.
mit \pi entspricht 180° sollte man die anderen Werte in Grad umrechnen, (später ist man damit so vertraut, dass man das automatisch weiss. Also z. Bsp 2/3\pi entspricht 120° usw. damit kannst du jetzt die ganze Aufgabe 1.
>
> 2. Bestimme die Lösungsmenge
>
> a) cos(4x + 1) = -0,3
Hier denkst du dir (4x + 1)=Y und hast cosY=-0,3, dann brauchst du den TR um arccos-0,3 auszurechnen . Dann hast du Y=\pm 107°, \pm 107+n*360° besser in rad rechnen
also Y=\pm 1,8..+n*2\pi dann hast du 4x-1=Y setzest den Wert ein und rechnest x aus.
> b) 6sin(x) + 2cos(x) = 2
Habt ihr die "Additionstheoreme" gehabt? also sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
und dasselbe für cos(x+y) ?
Dann musst du die hier benutzen. weil cos^{2}a+sin^{2}a=1 ist, kann 6 und 2 nicht cos oder sin von irgendwas sein.
Ich muss die Gleichung erst noch ändern.
1. Schritt 6sin(x) + 2cos(x) = 2 daraus 3sin(x) + cos(x) = 1
2. Schritt ich dividiere die Gleichung durch \wurzel{3^{2}+1^{2}}=\wurzel{10}
und habe 3/\wurzel{10}sinx+1/\wurzel{10}*cosx=1/\wurzel{10}
jetzt kann ich setzen 3/\wurzel{10}=cosy 1/\wurzel{10}=siny
1/\wurzel{10}=sin(x+y) und daraus y=0,32.. +n*2\pi, x+y=0,32+m*2\pi
damit x=0, x =2\pi usw.
Bei dieser speziellen Gleichung 3sin(x) + cos(x) = 1 kannst du auch direkt sehen, dass sie für cosx=1 sinx=0 erfüllt ist.
Ich hab dir also nen Weg gezeigt, der allgemeiner ist.
Andere Möglichkeit: du weisst $sin^2 x+cos^2x=1$deshalb $cosx=\wurzel(1-sin^2x}$ das setzest du in deine Gleichung ein:
$ 3sin(x) + cos(x) = 1$ daraus $3sin(x)+ \wurzel(1-sin^2(x)}=1$
nenne sinx=z löse die Wurzelgleichung.
Gruss leduart
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Hallo Thorsten, Hallo Leduart,
2b kann man auch so lösen:
[mm] $6\sin [/mm] x+ [mm] 2\cos [/mm] x=2 [mm] \gdw$
[/mm]
[mm] $\gdw \begin{array}[h]{l} \overbrace{z\cos t}^{=6} *\sin x+ \overbrace{z\sin t}^{=2}*\cos x=2 \\ \frac26=\frac13=\frac{z\sin t}{z\cos t}=\tan t \end{array}$
[/mm]
[mm] $\gdw \begin{array}[h]{l}z\cos t*\sin x+z\sin t*\cos x=2 \\ t=\arctan \frac13 \wedge z=\frac6{\cos t} \end{array}$
[/mm]
[mm] $\gdw \begin{array}[h]{l}z*\sin \left(x+t\right)=2 \\ t=\arctan \frac13 \wedge z=\frac6{\cos t} \end{array}$
[/mm]
[mm] $\gdw \begin{array}[h]{l} \sin\left(x+t\right)=\frac2{z} \\ t=\arctan \frac13 \wedge z=\frac6{\cos t} \end{array}$
[/mm]
[mm] $\gdw \mbox{etc.}$
[/mm]
Gruß Karthagoras
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