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Funktionsuntersuchung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 So 25.06.2006
Autor: Fou

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion f(x) = 2*sin(x) / x
a) Geben sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f an
b) Untersuchen Sie das Verhalten von f an der Definitionslücke. Ist f dort stetig forsetzbar? Geben sie ggf. eine stetige Fortsetzung von f an
c) Untersuchen Sie f auf Symmetrie sowie das Verhalten von f für x--> [mm] \pm [/mm] unendlich
d) Zeichnen Sie den Graphen von f für  - [mm] \pi \le [/mm] x  [mm] \le \pi [/mm]
e) Ermitteln Sie die Ableitungen von f´ und f´´
f) Bestimmen Sie die Lage der kleinsten positiven Extremalstelle näherungsweise mit Hilfe der Skizze, der Ableitungsfunktion und des Taschenrechners sowie die Art des Extremums
g) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle  x = pi/2

Hallo, habe mehrere Fragen :)
zu a) a ist eigentlich klar, der Definitionsbereich sollte R / 0 sein
e) Habe Probleme bei der 2. Ableitung meine erste ist:
2*sin(2x)*(2x-1)
_____________
              [mm] x^2 [/mm]
Irgendwie ist es komisch ein Produkt mit der Quotientenregel abzuleiten oder kann ich das noch vereinfachen?
b) Ich komme auf kein Ergebnis wenn ich den Grenzwert von lim x->0 der Funktion bilde, da 0/0 ein unbestimmter Ausdruck ist.
Wenn ich hospital anwende bekomme ich -1 / 0 raus, was glaube ich nicht viel besser ist, oder ist der Grenzwert dann unendlich?
c) Krieg ich irgendwie nicht hin, da Sinus ja periodisch ist demnach kann ich doch gar nich Sinus gegen unendlich streben lassen oder irre ich mich???
f) Eine Extremstelle wär kein Problem :D aber die kleinste? habe leider keine Ahnung wie ich das machen soll :(
g) Hab ich :)


Danke im Voraus für Hilfe :)








Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Korrekturen und Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:59 So 25.06.2006
Autor: Loddar

Hallo Fou!


Wie lautet denn Deine zu untersuchende Funktion?  $f(x) \ = \ [mm] \bruch{2*\sin(x)}{x} [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{\sin(x)}{x}$ [/mm]  ?

Dann verstehe ich nicht, wie Du in der Ableitung auf den Term [mm] $\red{2}*x$ [/mm] im Sinus kommst. Für die Ableitung musst Du die MBQuotientenregel anwenden und dabei einsetzen: $u \ = \ [mm] \sin(x)$ [/mm] sowie $v \ =\ x$ .

Damit wir dann auch: $u' \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm]  bzw.  $v' \ = \ 1$ . Und nun in die Formel einsetzen.


> b) Ich komme auf kein Ergebnis wenn ich den Grenzwert von
> lim x->0 der Funktion bilde, da 0/0 ein unbestimmter Ausdruck ist.

[ok] Richtig!


> Wenn ich hospital anwende bekomme ich -1 / 0 raus, was
> glaube ich nicht viel besser ist, oder ist der Grenzwert
> dann unendlich?

Für [mm] $\bruch{-1}{0}$ [/mm] wäre der Grenzwert [mm] $\red{-}\infty$ [/mm] ... aber bei der Anwendung von MBde l'Hospital kommt doch ein anderer Ausdruck raus, wenn Du Zähler und Nenner separat ableitest:

[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2*\sin(x)}{x} [/mm] \ = \  [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\left[2*\sin(x)\right]'}{(x)'} [/mm] \ = \  [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{2*\cos(x)}{1} [/mm] \ = \ ...$


> c) Krieg ich irgendwie nicht hin, da Sinus ja periodisch
> ist demnach kann ich doch gar nich Sinus gegen unendlich
> streben lassen oder irre ich mich???

In welchem Intervall bewegen sich denn die Funktionswerte der Sinus-Funktion? Und das wird dann mit $x_$ durch eine immer größer werdende Zahl geteilt.


> f) Eine Extremstelle wär kein Problem :D aber die
> kleinste? habe leider keine Ahnung wie ich das machen soll

Welche Extremstelle konnntest Du denn ermitteln? Aber bitte die richtige Ableitung verwenden ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Funktionsuntersuchung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 So 25.06.2006
Autor: Fou

Danke für die Hilfe, habe jetzt alles außer f

Also mein Problem ist, dass die Funktion unendlich viele Extremstellen haben und die ja gegen unendlich immer kleiner werden, aber da es halt unendlich sind frage ihc mich, wie ich da die kleinste extremalstelle rausbekommen soll, weil es ja immer kleinere gibt unaufhörbar
Bezug
                        
Bezug
Funktionsuntersuchung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Mo 26.06.2006
Autor: leduart

Hallo Fou
Du sollst nicht die niedrigste Maximum finden, sondern die kleinste "Stelle", also den kleinsten x-Wert bei dem ein Max auftritt. bie sin wär das [mm] x=\pi/2 [/mm] und in der Nähe liegt der hier auch.
Gruss leduart
Bezug
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