Funktionsuntersuchung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] (1)/(8)x^4 [/mm] - [mm] (1)/(2)x^3. [/mm] Untersuche Sie im Hinblick auf Symetrie, Randverhalten, Nullstellen, Ableitungen, Extrempunkte sowie Wendepunkte. |
Hallo,
Da wir am nächsten Freitag eine Klausur schreiben hab ich mich mal hingesetzt um ein wenig zu Lernen und ein paar Aufgaben zu machen. Da eine solche Aufgabe sicherlich in der Klausur vorkommt wäre es super wenn ihr mir eventuell helfen könnten bzw. kleiner Verbesserungen, Hilfen geben könntet.
Ich fange einfach mal an :
f(x) = [mm] (1)/(8)x^4 [/mm] - [mm] (1)/(2)x^3
[/mm]
(1) [mm] D_f_m_a_x [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
Hier kommst schon meine erste Frage. Unser Lehrer hatte mal ein Beispielaufgabe gemacht und dies als Punkt 1 Aufgeschrieben, gilt das für alle Funktionen? Welche Überschrift könnte man den Punkt geben?
(2) Symetrie :
Erstmal gucke ich ob der Graph symetrisch zur y-Achse verläuft.
f (-x) = [mm] (1)/(8)*(-x)^4 [/mm] - [mm] (1)/(2)*(-x)^3
[/mm]
f (-x) = [mm] (1)/(8)x^4 [/mm] + [mm] (1)/(2)x^3 [/mm]
Die Funktion ist [mm] \not= [/mm] f(x) also verläuft der Graph nicht symetrisch zur y-Achse.
-f(-x) = - [mm] ((1)/(8)*x^4 [/mm] + [mm] (1)/(2)*x^3)
[/mm]
= - [mm] (1)/(8)*x^4 [/mm] - [mm] (1)/(2)*x^3
[/mm]
Fie Funktion ist ebenfalls [mm] \not= [/mm] f(x), was bedeutet das der Graph nicht symetrisch zum Urspung ist.
(3) Randverhalten :
[mm] \limes_{x\rightarrow + \infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow + \infty} x^4((1)/(8) [/mm] - (0,5)/(x)) [mm] \to [/mm] + [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} x^4((1)/(8) [/mm] - (0,5)/(x)) [mm] \to [/mm] - [mm] \infty
[/mm]
Kurve startet von links oben und geht nach rechts oben raus.
Nun stell ich mir nur die Frage wie ich durch die Rechnung darauf komme das die von links oben startet und recht's oben rausgeht? Wieso nicht von links unten? Ich meine ich weiß das jetzt nur weil ich mir den Graph im GTR angesehen habe ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
(4) Nullstellen Bestimmen :
Es sind dort Nullstellen vorhanden, wo [mm] f(x_N) [/mm] = 0 ist.
[mm] (1)/(8)*x_N^4 [/mm] - [mm] (1)/(2)*x_N^3 [/mm] = 0
[mm] x^3((1)/(8)*x_N [/mm] - (1)/(2))
[mm] x_N_1 [/mm] = 0
[mm] (1)/(8)*x_N [/mm] - (1)/(2) = 0 | +(1)/(2)
[mm] (1)/(8)*x_N [/mm] = (1)/(2) | (1)/(8)
[mm] x_N_2 [/mm] = 4
Daraus folgt :
[mm] x_N_1 [/mm] = 0 ; [mm] x_N_2 [/mm] = 4
Der Graph schneidet die x-Achse bei (0|0) und (4|0).
Er schneidet die y-Achse in dem Punkt (0|0).
Nun habe ich eine Frage die sicherlich ziemlich dumm ist aber ich frage trotzdem *bäh* ;)
Ist der Punkt auf der y-Achse, wo die Nullstelle (wenn sie bei 0 ist) auch immer 0 bei der y-Achse? Wie verhält sich das bei anderen Werten? Gibt es da irgendeine Rechnung?
(5) Ableitungen :
f'(x) = [mm] (1)/(2)x^3 [/mm] - [mm] (3)/(2)x^2
[/mm]
f''(x) = [mm] (3)/(2)x^2 [/mm] - 3x
f'''(x) = 3x - 3
f''''(x) = 3
(6) Extremstellen :
Extremstellen [mm] x_E [/mm] gibt es dort wo gilt :
[mm] f'(x_E) [/mm] = 0 u. [mm] f''(x_E) \not= [/mm] 0
[mm] (1)/(2)x^3 [/mm] - [mm] (3)/(2)x^2 [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] ((1)/(2)x - (3)/(2)) = 0
[mm] x_E_1 [/mm] = 0
(1)/(2)x - (3)/(2) = 0 | + (3)/(2)
(1)/(2)x = (3)/(2) | (1)/(2)
[mm] x_E_2 [/mm] = 3
f''(0) = 0
Hier ist es so das die Stelle keine Extremstelle ist. Habe es nochmal mit dem Kriterium überprüft wo gilt :
Wenn ^n ist gerade dann muss bei den Vorigen Ableitungen 0 rauskommen und die gerade ableitung muss [mm] \not= [/mm] 0 ergeben. Macht man dies bei der 3. Ableitung kommt [mm] \not= [/mm] 0 raus obwohl auch bei der 4. [mm] \not= [/mm] 0 rauskommt.
Die Stelle 0 ist also in dem Fall keine Extremstelle.
f''(3) = 4,5 [mm] \not= [/mm] 0
f(3) = -3,375
Also ist der Punkt (3|-3,375) ein Tiefpunkt (TIP)
(7) Wendepunkte :
Wendestellen [mm] x_W [/mm] gibt es wenn gilt :
[mm] f''(x_W) [/mm] = 0 u. [mm] f'''(x_W) \not= [/mm] 0
[mm] (3)/(2)x^2 [/mm] - 3x = 0
x((3)/(2)*x - 3) = 0
[mm] x_W_1 [/mm] = 0
(3)/(2)*x - 3 = 0 | +3
(3)/(2)*x = 3 | : (3)/(2)
[mm] x_W_2 [/mm] = 2
f'''(0) = -3 [mm] \not= [/mm] 0
f'''(2) = 3 [mm] \not= [/mm] 0
f(0) = 0
f(2) = -2
Die Punkte (0|0) und (2|-2) sind Wendepunkte. Der Punkt (0|0) ist zusätzlich ein Sattelpunkt.
Beweis : f'(0) = 0
An der Stelle 0 liegt ein Maximum und an der Stelle 2 ein Minimum der Steigung vor.
So, das war's dann auch schon ;)
Ne ist doch ziemlich viel...
Danke euch aber schonmal im Voraus,
MfG,
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Seppel |
Hallo Kristof!
Du hast das insgesamt gesehen sehr schön gemacht - es hat mir Spaß gemacht, das zu lesen! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So, nun ein paar Anmerkungen  :
zu 1)
Den Definitionsbereich schreibt man immer als erstes auf bzw. sollte man es tun. Vorsicht ist geboten, da nicht jede Funktion alle reellen Zahlen als Definitionsbereich hat. Ein Beispiel ist die Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$. [/mm]
Als Überschrift kannst du ja so etwas wählen:
"Bestimmen des Definitionsbereiches von f"
zu 2)
Schön gemacht - ist alles okay! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
zu 3)
Du hast ja richtig gesagt, dass der Graph von links oben kommt und nach rechts oben verschwindet - nur kann man das anhand deiner Rechnung nicht erkennen, wie du ja schon selber feststellst.
Das Problem ist, dass du den Grenzwert für [mm] $x\to -\infty$ [/mm] falsch berechnet hast.
Wir haben
[mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{8}x^4-\frac{1}{2}x^3$
[/mm]
Jetzt substituiert man am besten $z=-x$, womit wir folgendes erhalten:
[mm] $\limes_{z\rightarrow \infty}\frac{1}{8}(-z)^4-\frac{1}{2}(-z)^3$
[/mm]
[mm] $\limes_{z\rightarrow \infty}\frac{1}{8}z^4+\frac{1}{2}z^3$
[/mm]
Und nun erkennt man, dass die Funktion gegen [mm] $+\infty$ [/mm] läuft, was auch erklärt, dass der Graph von links oben kommt.
Der Rest ist korrekt. 
Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter!
Und noch einmal: das hast du sehr schön gemacht, vor allem auch ordentlich aufgeschrieben!
Liebe Grüße
Seppel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:39 Mo 05.06.2006 | | Autor: | dau2 |
Bei den NS komme ich auf 3NS bei 0 und eine bei +4?
[mm] 0=1/8x^4-1/2x^3 [/mm] | *8
[mm] 0=x^4-4x^3
[/mm]
[mm] 0=x^3*(x-4) [/mm] => 3NS bei 0 und eine bei +4
Ich wage mich noch weiter aus dem Fenster:
[mm] f'(x)=1/2x^3-3/2x^2
[/mm]
[mm] 0=1/2^3-3/2x^2 [/mm] |*2
[mm] 0=x^3-3x^2
[/mm]
[mm] 0=x^2*(x-3) [/mm] => E1,2=0, E3=3 (dein TIP)
E3y:
[mm] f(x)=1/8x^4-1/2x^3
[/mm]
[mm] f(3)=1/8*3^4-1/2*3^3
[/mm]
f(3)=-3.375
rel min/max:
[mm] f''(3)=3/2*3^2-3*3
[/mm]
f''(3)=4,5 >0 => E3min(3|-3.375)
Also 2 Extrempunkte bei 0 und einer bei (3|-3.375)...
Wie war das jetzt mit Terassen/Sattelpunkt?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Disap |
Hey.
> Bei den NS komme ich auf 3NS bei 0 und eine bei +4?
>
> [mm]0=1/8x^4-1/2x^3[/mm] | *8
> [mm]0=x^4-4x^3[/mm]
> [mm]0=x^3*(x-4)[/mm] => 3NS bei 0 und eine bei +4
> Ich wage mich noch weiter aus dem Fenster:
Warum, meinte jemand, dass da andere Ergebnisse herauskommen?
> [mm]f'(x)=1/2x^3-3/2x^2[/mm]
> [mm]0=1/2^3-3/2x^2[/mm] |*2
> [mm]0=x^3-3x^2[/mm]
> [mm]0=x^2*(x-3)[/mm] => E1,2=0, E3=3 (dein TIP)
> E3y:
> [mm]f(x)=1/8x^4-1/2x^3[/mm]
> [mm]f(3)=1/8*3^4-1/2*3^3[/mm]
> f(3)=-3.375
>
> rel min/max:
> [mm]f''(3)=3/2*3^2-3*3[/mm]
> f''(3)=4,5 >0 => E3min(3|-3.375)
>
> Also 2 Extrempunkte bei 0 und einer bei (3|-3.375)...
Nein, wenn ein Sattelpunkt vorliegt, liegt kein Extrempunkt vor, sondern lediglich ein Wendepunkt, der die Steigung null hat. Aber eine Überlagerung eines Extrempunktes sowie Wendepunktes ist mir nicht bekannt.
> Wie war das jetzt mit Terassen/Sattelpunkt?
Ja, gibt einen Sattelpunkt... ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") click it!!!
MfG!
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 05.06.2006 | | Autor: | dau2 |
Sehe in der Antwort irgendwie nur
Xn1, Xn2, Xe1, Xe2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Sehe in der Antwort irgendwie nur
> Xn1, Xn2, Xe1, Xe2 ?
In welcher Antwort denn jetzt konkret? Denn ich kann das irgendwie in keiner Antwort entdecken.
Höchstens in der eigentlichen Frage, denn dort steht u. a. :
<zitat aus der ersten Frage>
$ [mm] x_N_1 [/mm] $ = 0 ; $ [mm] x_N_2 [/mm] $ = 4
$ [mm] x_E_1 [/mm] $ = 0
$ [mm] x_E_2 [/mm] $ = 3
</zitat>
Meintest du das?
Das ist ja nur eine andere Schreibweise, die eben nicht ausdrückt, dass eine dreifache Nullstelle bzw. eine doppelte Nullstelle bei dem Extremum vorliegt. Für die Schule ist es nicht zwingend falsch, aber mathematisch unschön. Aber die Werte für x sind ja im Endeffekt die selben; wobei einige Computerprogramme/Taschenrechner ja dann auch nur ausgeben x=0 und x=3.
Von daher hat Seppel daraus auch nicht den großen Elefanten gemacht.
Edit: Ach das war gemeint
MfG!
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Mo 05.06.2006 | | Autor: | dau2 |
Aus "Übungsaufgabe" unter Punkt 4.
Aha, kannte das so nicht...
Aber da er ja später geschrieben hat das die Fkt. einen Terassenpunkt hat ergibt sich das ja indirekt daraus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:31 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Disap |
> Aus "Übungsaufgabe" unter Punkt 4.
>
> Aha, kannte das so nicht...
> Aber da er ja später geschrieben hat das die Fkt. einen
> Terassenpunkt hat ergibt sich das ja indirekt daraus?
Ja, wenn man eine dreifache Nullstelle hat, liegt immer ein Sattelpunkt vor. Das lässt sich natürlich auch beweisen.
Und später kann/muss man es noch einmal zeigen, indem man zeigt, dass der Wendepunkt die Steigung null hat, aber an dieser Stellte kein Extrempunkt vorliegt.
du bist ja auf dem richtigen Wege, also lass dich durch die Schreibweise nicht verunsichern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 05.06.2006 | | Autor: | dau2 |
okay :)
Dann habe ich noch diese Text Passage in der Frage gefunden:
Hier ist es so das die Stelle keine Extremstelle ist. Habe es nochmal mit dem Kriterium überprüft wo gilt :
Wenn ^n ist gerade dann muss bei den Vorigen Ableitungen 0 rauskommen und die gerade ableitung muss $ [mm] \not= [/mm] $ 0 ergeben. Macht man dies bei der 3. Ableitung kommt $ [mm] \not= [/mm] $ 0 raus obwohl auch bei der 4. $ [mm] \not= [/mm] $ 0 rauskommt.
Die Stelle 0 ist also in dem Fall keine Extremstelle.
Das ist zwar nicht 100% unverständlich(Mathematisch) ausgedrückt aber verstehen tue ich es trotzdem nicht...also es ist kein Extrempunkt wenn?
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Kristof |
> okay :)
>
> Dann habe ich noch diese Text Passage in der Frage
> gefunden:
>
> Hier ist es so das die Stelle keine Extremstelle ist. Habe
> es nochmal mit dem Kriterium überprüft wo gilt :
>
> Wenn ^n ist gerade dann muss bei den Vorigen Ableitungen 0
> rauskommen und die gerade ableitung muss [mm]\not=[/mm] 0 ergeben.
> Macht man dies bei der 3. Ableitung kommt [mm]\not=[/mm] 0 raus
> obwohl auch bei der 4. [mm]\not=[/mm] 0 rauskommt.
> Die Stelle 0 ist also in dem Fall keine Extremstelle.
>
>
> Das ist zwar nicht 100% unverständlich(Mathematisch)
> ausgedrückt aber verstehen tue ich es trotzdem nicht...also
> es ist kein Extrempunkt wenn?
>
Also es ist erstmal schon kein Extrempunkt das die Extremstelle beim Einsetzten in f'' nicht [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Denn um eine Extremstelle zu sein müsste es ungleich 0 sein um dann bei < 0 z.B. auf einen Hochpunkt schließen zu können.
Man kann aber noch ein Kriterium nehmen und zwar war das (ich kann es nicht mehr genau wiedergeben aber sagte unser lehrer mal)
Mann überprüft das Ergebnis z.B. mit der 4. Ableitung.
Wenn die z.B. größer oder kleiner als 0 ist muss die 3. Ableitung 0 an [mm] x_E [/mm] sein damit dort ein Extrempunkt liegen kann.
Verstanden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Kristof |
Schon komisch,
Aber ich verstehe das jetzt nicht mehr :(
Hab ich echt soviel falsch gemacht?
Wenn's geht nochmal alles hier schreiben, da ich echt dringen meine Fehler finden muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Schon komisch,
> Aber ich verstehe das jetzt nicht mehr :(
> Hab ich echt soviel falsch gemacht?
Also Seppel hat dir doch schon geschrieben, was du seines Erachtens falsch gemacht hast. Wenn Seppel sonst meinte, es wäre richtig, dann ist es das wohl auch (ich persönlich habe mir das nicht durchgelesen)
Also wo genau bestehen bei dir Zweifel? Bei den Sachen mit [mm] x^n [/mm] als Ableitung usw?
Schöne Grüße
Disap
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 05.06.2006 | | Autor: | hase-hh |
ist beantwortet
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Mo 05.06.2006 | | Autor: | dau2 |
Klar, wenn mein Max/Min vorliegt isst es halt kein Extrempunkt. Die 4. Ableitung hatten wir bisher nicht, wird wohl auch nicht mehr kommen
Danke, genau die Info die ich brauchte.
dau2
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mo 05.06.2006 | | Autor: | hase-hh |
... ist beantwortet, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Mo 05.06.2006 | | Autor: | dau2 |
Ja, danke der Nachfrage.
dau2
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