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| Aufgabe | [mm] f_{k}(x)=k*x+sin(\bruch{x}{k})
[/mm]
[mm] g_{k}(x)=k*x^{2}+sin(\bruch{x}{k})
[/mm]
k>0
a) Welche Punkte haben die Graphen von [mm] f_{k} [/mm] und [mm] g_{k} [/mm] gemeinsam? Zeigen sie: Die Graphen von [mm] f_{k} [/mm] und [mm] g_{k} [/mm] können sich im Ursprung nicht orthogonal schneiden und können im Ursprung keine gemeinsame Tangente haben.
b) Für welche k haben die Graphen der Funktionschar [mm] f_{k} [/mm] Extrempunkte. Welcher Sonderfall ergibt sich für k=1? |
Hi Leute!
Also zu a)
Gemeinsame Punkte habe ich mit der Differenzfunktion ermittelt(Auf Nullstellen geprüft und dann den Funktionswert von [mm] f_{k} [/mm] an dieser Stelle bestimmt) so kam ich dann auf:
P1(0/0) [mm] P2(1/k+sin(\bruch{1}{k})
[/mm]
Ich hab nur keinen Plan wie ich das erste beweisen soll?! Wie macht man das?
Nun b) Erste Ableitungen von [mm] f_{k} [/mm] ist
[mm] f_{k}'(x)=k+\bruch{1}{k}*cos(\bruch{x}{k})
[/mm]
Nun ermittel ich erstmal die x-Koordinate
[mm] 0=k+\bruch{1}{k}*cos(\bruch{x}{k})
[/mm]
[mm] -k^{2}=cos(\bruch{x}{k}
[/mm]
[mm] x_{extrem}=k*arccos(-k^{2})
[/mm]
Dann habe ich mir gestellen wir das einfach um, und das wäre dann die Lösung...naja nur das Problem ist, dass ich nicht einfach nach k umstellen kann :/
Am Plotter sieht man dass das 0 < k < 1 der Fall ist! Aber wie zeige ich das und besonders den Sonderfall mit k=1.
Wäre toll wenn ihr mir da wenig helft^^!
LG Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Di 13.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> [mm]f_{k}(x)=k*x+sin(\bruch{x}{k})[/mm]
> [mm]g_{k}(x)=k*x^{2}+sin(\bruch{x}{k})[/mm]
>
> k>0
>
> a) Welche Punkte haben die Graphen von [mm]f_{k}[/mm] und [mm]g_{k}[/mm]
> gemeinsam? Zeigen sie: Die Graphen von [mm]f_{k}[/mm] und [mm]g_{k}[/mm]
> können sich im Ursprung nicht orthogonal schneiden und
> können im Ursprung keine gemeinsame Tangente haben.
>
> b) Für welche k haben die Graphen der Funktionschar [mm]f_{k}[/mm]
> Extrempunkte. Welcher Sonderfall ergibt sich für k=1?
> Hi Leute!
> Also zu a)
> Gemeinsame Punkte habe ich mit der Differenzfunktion
> ermittelt(Auf Nullstellen geprüft und dann den
> Funktionswert von [mm]f_{k}[/mm] an dieser Stelle bestimmt) so kam
> ich dann auf:
>
> P1(0/0) [mm]P2(1/k+sin(\bruch{1}{k})[/mm]
>
richtig.
> Ich hab nur keinen Plan wie ich das erste beweisen soll?!
> Wie macht man das?
Berechne die erste Ableitung von beiden Funktionsscharen in Punkt x=0, so findest Du die Steigungen von beiden Tangenten. [mm] m_{1} [/mm] = k + [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und [mm] m_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
Vergleiche nun die Steigungen. Die Tangenten sind gleich wenn die Steigungen gleich sind (unter Bedingung x=0 ist Schnittpunkt beider Funktionen).
Für die Orthogonalität prüfe die Bedingung [mm] m_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{m_{2} }. [/mm]
>
> Nun b) Erste Ableitungen von [mm]f_{k}[/mm] ist
> [mm]f_{k}'(x)=k+\bruch{1}{k}*cos(\bruch{x}{k})[/mm]
>
> Nun ermittel ich erstmal die x-Koordinate
> [mm]0=k+\bruch{1}{k}*cos(\bruch{x}{k})[/mm]
> [mm]-k^{2}=cos(\bruch{x}{k}[/mm]
> [mm]x_{extrem}=k*arccos(-k^{2})[/mm]
Bis hier richtig. Nun finde die 2.Ableitung und überprüfe für welche k ist die 2.Abletung an der Stelle x= [mm] k*arccos(-k^{2}) [/mm] gleich null. Für dieses k existiert kein Extremwert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Di 13.03.2007 | | Autor: | Teufel |
Hoi.
Du kannst damit Argumentieren, dass die arccos-Funktion nur für Argumente im Intervall [-1;1] definiert ist
(Wertebereich der Kosinusfunktion [mm] \hat= [/mm] Definitionsbereich der Umkehrfunktion!).
Wenn k>1 ist, dann würde aber im arccos etwas stehen, das kleiner als -1 ist.
Und k=1 könntest du ja einfach mal durchtesten, ob etwas einleuchtendes da steht!
Du guckst dir also die Funktion [mm] f_1=x+sin(x) [/mm] an. Ich würde sie 2mal ableiten, weil bei einem Sonderfall ja eigentlich etwas anderes passieren sollte! Mir würde nur in den Sinn kommen, dass dann Sattelpunkte anstatt Extrempunkte vorliegen, aber probier mal selber.
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"Bis hier richtig. Nun finde die 2.Ableitung und überprüfe für welche k ist die 2.Abletung an der Stelle x= $ [mm] k\cdot{}arccos(-k^{2}) [/mm] $ gleich null. Für dieses k existiert kein Extremwert."
Also ich hab die 2te Ableitung mit
[mm] f_{k}''(x)=-\bruch{1}{k^{2}}sin(\bruch{x}{k})
[/mm]
jetz setz ich den Funktionswert von der 2ten ableitung 0 und setz für [mm] x=k*arccos(-k^{2}) [/mm] ein...Dann steht bei mir
[mm] 0=-\bruch{1}{k^{2}}sin(\bruch{k*arccos(-k^{2})}{k})
[/mm]
[mm] 0=sin(\bruch{k*arccos(-k^{2})}{k})
[/mm]
[mm] arcsin(0)=arccos(-k^{2})
[/mm]
[mm] cos(arcsin(0))=-k^{2}
[/mm]
1= [mm] -k^{2}
[/mm]
[mm] -1=k^{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{-1}=k [/mm]
Was bedeutet das jetz für meinen Fall? Wir hatte noch keine imaginären Zahlen! Auch wenn das 1 sein würde woher weiss
man denn das, dass auch für k>1 oder k<-1 gilt? Also nur zwischen 0 und 1 für k extremwerte gibt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 13.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> "Bis hier richtig. Nun finde die 2.Ableitung und überprüfe
> für welche k ist die 2.Abletung an der Stelle x=
> [mm]k\cdot{}arccos(-k^{2})[/mm] gleich null. Für dieses k existiert
> kein Extremwert."
>
> Also ich hab die 2te Ableitung mit
> [mm]f_{k}''(x)=-\bruch{1}{k^{2}}sin(\bruch{x}{k})[/mm]
> jetz setz ich den Funktionswert von der 2ten ableitung 0
> und setz für [mm]x=k*arccos(-k^{2})[/mm] ein...Dann steht bei mir
>
> [mm]0=-\bruch{1}{k^{2}}sin(\bruch{k*arccos(-k^{2})}{k})[/mm]
> [mm]0=sin(\bruch{k*arccos(-k^{2})}{k})[/mm]
> [mm]arcsin(0)=arccos(-k^{2})[/mm]
Ab hier: arcsin(0) = [mm] n*\pi, [/mm] n - eine ganze Zahl.
arccos(-x) = [mm] \pi [/mm] - arccos(x)
So, für n=1, gilt [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi-arccos(k^{2})
[/mm]
[mm] arccos(k^{2}) [/mm] = 0
[mm] k^{2} [/mm] = 1
k = 1 für k > 0
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Hey...ich versteh deine Schritte nicht, weiss nur das du das wegen dem minus machs..
Wieso ist mein Weg denn falsch? Normal müsste der doch richtig..nur ich versteh das ergebnis aus wurzel aus -1 nicht wirklich! Und wieso das jetz auch für alles für >1 gilt ist mir immer noch unklar. Naja trotzdem danke.
P.S. Teufel danke für den Tip mit der Umkehrfunktion..das is mir klar jetzt. Nur irgendwie gibt es keinen Sonderfall für k=1!! Bleibt immer noch ein Wendepunkt irgendwie^^
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Daniel
k=1, [mm] x_{extr}=\pi
[/mm]
[mm] f''(x_{extr})=0 [/mm] d.h. kein Extremwert, sondern Sattelpkt!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 13.03.2007 | | Autor: | Blaub33r3 |
Bor ja hab ich vielleicht Tomaten auf den Augen...
Das Wochenende hat mich voll verplant gemacht...
Sowas is mir eigentlich klar...Natürlich ist es ein Sattelpunkt >_<
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Di 13.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hey...ich versteh deine Schritte nicht, weiss nur das du
> das wegen dem minus machs..
>
> Wieso ist mein Weg denn falsch? Normal müsste der doch
> richtig..nur ich versteh das ergebnis aus wurzel aus -1
Dein Weg war nicht falsch, eher unvollständig, deswegen hast Du imaginäre Werte gekriegst.
Du schreibst cos(asrsin(0)) = 1, weil asrcsin(0) = 0 und cos(0) =1 sind.
Da die trigonometrische Funktionen pereodisch sind, gilt auch arcsin(0) = [mm] \pi [/mm] und cos [mm] (\pi) [/mm] = -1
So hast Du die reele Zahl k=1 als Lösung. Die zweite Lösung k=-1 passt nicht, da in der Aufgabestellung steht k>0
> Und wieso das jetz auch für alles für >1
> gilt ist mir immer noch unklar. Naja trotzdem danke.
Dass es für alle >1 gelte habe ich gar nicht behauptet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Di 13.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Warum setzest du f''=0?
So findet man Wendepunkte. Um maxima zu ueberpruefen stzt man das x ein, und stellt fest ob f''<0 oder >0 ist!
2. hat Teufel dir schon gesagt, dass arccos nur fuer Argumente zw =1 und -1 existiert! also [mm] k\le [/mm] 1!
k=1 arcos(1)=0 [mm] arccos(-1)=\pm\pi!
[/mm]
setz das in f'' ein!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 13.03.2007 | | Autor: | Blaub33r3 |
Alles klar...
wieso ist bei dir arccos(-1)=+pi und -pi...?
Ansonsten ja is alles klar nun^^
Ich habe die 2te Ableitung extra 0 gesetzt, damit ich ausschließen konnte das, dass berechnete k an dieser Stelle eine Extremstelle ist! Finde ich aufjedenfall Plausibel
THX und Grüße Daniel
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