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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 24.01.2007 | | Autor: | ani |
| Aufgabe | a)Untersuche die Funktionsschar
f(x)= x(t-lnx)
b)Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte
c)Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte haben?
d) Welchen Flächeninhalt haben die Flächen, die die Funktionen der Schar mit der 1. Achse einschließen?
Hinweis: Zeige, dass Ft(x)= [mm] -\bruch{1}{4}x^2(2lnx [/mm] -2t-1)
2. a) Untersuche die Funktionsschar zu ft(x)= [mm] (e^x -t)^2
[/mm]
b) Können verscjiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte Haben? |
Ich konnte noch nie Funktionsscharen
für Hilfe bin ich sehr dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mi 24.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a)Untersuche die Funktionsschar
> f(x)= x(t-lnx)
Das t behandele mal als eine "normale zahl".
Also [mm] f'(x)=(t-ln(x))+x(\bruch{1}{x})=(t-1)ln(x)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(t-1)}{x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=-\bruch{(t-1)}{x²}
[/mm]
Und jetzt mal zu den Achsenschnittstellen.
NST:
f(x)=0
[mm] \gdw [/mm] x(t-ln(x))=0
[mm] \Rightarow x_{0_{1}}=0 [/mm] und [mm] ln(x_{0_{2}}=t\Rightarrow x_{0_{2}}=e^{t}
[/mm]
Ach ja und f(0)=0, wie oben berechnet. Extrem- und Wendepunkte überlasse ich jetzt dir.
> b)Auf welcher Kurve liegen alle Extrempunkte
Dazu brauchst du erstmal die genauen (von t abhängigen) Koordinaten der Extrempunkte.
> c)Können verschiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte
> haben?
Wenn du mal bei den Nullstellen schaust, solltest du es erkennen.
> d) Welchen Flächeninhalt haben die Flächen, die die
> Funktionen der Schar mit der 1. Achse einschließen?
> Hinweis: Zeige, dass Ft(x)= [mm]-\bruch{1}{4}x^2(2lnx[/mm] -2t-1)
Zu zeigen, dass [mm] F'_{t}(x)=f_{t}(x) [/mm] ist sollte kein Problem sein.
Bleibt folgendes Integral zu berechnen.
[mm] \integral_{x_{0_{1}}}^{x_{0_{2}}}{x(t-lnx)dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{e^{t}}{x(t-lnx)dx}
[/mm]
=...
>
> 2. a) Untersuche die Funktionsschar zu ft(x)= [mm](e^x -t)^2[/mm]
>
> b) Können verscjiedene Graphen der Schar gemeinsame Punkte
> Haben?
Funktioniert wie oben. Finde ich einen Punkt, der von t unabhängige Koordinaten hat? Dazu schau mal die Nullstellen, den y-Achsenabschnitt, die Extrempunkte und die Wendepunkte an, diese sind "klassische" Kandidaten dafür.
> Ich konnte noch nie Funktionsscharen
Falsche Einstellung: Ich konnte das am Anfang auch nicht, aber das kommt, wenn man es ein wenig gemacht hat.
> für Hilfe bin ich sehr dankbar
Marius
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