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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Chilla91 |
| Aufgabe | | Untersuchung der Nullstellen, Schnittpunkt mit der Y-Achse, Extrema, Wendestelle und das Verhalten am Rande. |
fk(x)=tx³-3tx+1
Hallo,
ich habe bei der obigen Funktion nun das Problem, dass ich nicht weiß wie ich sie anpacken soll. Wurde in der Schule einfach mal in den Raum gestellt.
Erstmal zu den Nullstellen
Man könnte ja daran, dass man als einziges absolutes Glied die 1 erkennen, dass die erste Nullstelle 1 ider -1 ist. Wie aber zurückrechnen etc? Polynomdivision geht bei mir auch nicht auf.
(tx³-3tx+1) : (x-1) = tx²+tx-2t
(tx³-tx²)
(tx²-3tx+1)
(tx²-tx)
(-2tx+1)
(-2tx-2t)... ?
So Extrema , - Ableitung bilden.
Als Hinweis wurde uns nur mitgeteilt das wir den "Parameter" k als absolute Zahl sehen sollen, damit die Ableitung nicht schief geht.
fk (x)=tx³-3tx+1
fk´(x)=3tx²-3t
not. Bedingung: fk´(x)=0
3tx²-3t=0 /t
3x²-3=0 /+3
3x² = 3 /3
x² =1 / [mm] \wurzel
[/mm]
x = 1 v x= -1
Hinr. Bedingung: f´(x)=0 , VZW
fk´(0)=3t(0)²-3t
fk´(0)=-3t
fk´(1,5)=3,75t
fk´(-1,5)=3,75t
VZW von (-) nach (+) daher ist x=1 eine Tiefstelle.
VZW von (+) nach (-) daher ist x=-1 eine Hochstelle.
Extremwerte:
f(-1)= t(-1)³-3t(-1)+1
=2t+1
f(1)= -2t+1
Extremkoordinaten:
TP= (1 |-2t+1)
HP= (-1|2t+1
Rechnung und Ergebnis korrekt?
Wendepunkt:
fk´´(x)=0
f´´(x)=6tx
6tx = 0 / :t
6x=0 / :6
x=0
f(0)=1
WP(0|1)
Rechnung und Ergebnis korrekt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg
Jan Brechmann
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Hallo,
Extremstellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] sind korrekt, bedenke unbedingt den Zusatz [mm] t\not=0, [/mm] bei der Art der Extremstellen über f''(x)=6tx solltest du noch die Fälle untersuchen t<0 und t>0, du stellst etwas fest, dein Wendepunkt (0;1) ist wieder korrekt, nun zu den Nullstellen, 1 und -1 sind keine Nullstellen der Funktion, das solltest du noch einmal überprüfen, Steffi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:20 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Chilla91 |
Hallo Steffi,
meinst du:
f´´(1)=6(1)(1) t>0
=6
f´´(-1)=6(1)(-1) t<0
=-6
VZW
Vielleicht entspricht 0 also irgendeiner Wendestelle?
Nochmal zu den Nullstellen, ich komme einfach nicht weiter, kannst du mir nicht den ersten Schritt geben? Also eigentlich wäre ich mir zumindest sicher gewesen, dass 1 oder -1 eine Nullstelle ist, da es wie gesagt die einzige Möglichkeit bei dem absoluten Glied ist. Oder verhält sich das bei Funktionsscharen anders?
Wenn ich durch t teile habe ich ja im absoluten Glied 1/t, außerdem wäre das eh Schwachsinn, da die Funktion da immer noch dritten Grades ist.
Polynomdivision bei Funktionsscharen überhaupt noch möglich? Bzw. habe ich in diesem Schritt einfach nur einen Fehler gemacht?
Mfg
Jan
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Hallo, die 2. Ableitung lautet ja f''(x)=6tx, deine Kandidaten für die Extremstellen sind ja an den Stellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1, [/mm] diese setzt du in die 2. Ableitung ein, um zu überprüfen ob Minimum oder Maximum, jetzt machen wir eine Fallunterscheidung:
1. Fall: t<0 also mit negativen Vorzeichen
f''(-1)=-6t>0 also Minimum, bedenke das Vorzeichen von t
f''(1)=6t<0 also Maximum
2. Fall: t>0
f''(-1)=-6t<0 also Maximum, bedenke wieder Vorzeichen von t
f''(1)=6t>0 also Minimum
ich habe dir mal zwei Funktionen gezeichnet, die blaue Funktion mit t=1, die rote Funktion mit t=-2
[Dateianhang nicht öffentlich]
der Wendepunkt ist immer an der Stelle x=0
ich lasse die Frage mal auf teilweise beantwortet, -1 und 1 sind keine Nullstellen, habe aber im Moment nur die Idee Cardano-Formel,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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