Funktionenschar bestimmen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Fr 16.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
| Aufgabe | Das Schaubild einer geraden Funktion hat in W(1|4) einen Wendepunkt.
Welche ganzrationale Funktion von möglichst niedrigem Grad erfüllt diese Bedingung?
[mm] f_{a}(x) [/mm] sei der Funktionsterm, der sich ergibt, wenn man alle auftretenden Koeffizienten durch den Koaffizienten a der höchsten Potenz von x ausdrückt. [mm] K_{a} [/mm] sein das Schaubild von [mm] f_{a}. [/mm] |
Hallo an alle,
diese Aufgabe kommt aus dem Lambacher Schweizer 11 Baden-Württemberg, Seite 205 Nummer 9a). Ich habe schon alles probiert, doch ich finde einfach keinen Ansatz.
Kann mir jemand helfen? Vorallem mit der Formulierung "alle auftretenden Koeffizienten durch den Koeffizienten a der...." kann ich nichts anfangen. Wir haben so etwas noch nie im Unterricht gemacht.
Vielen Danke fürs Lesen,
The-Nik
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Fr 16.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Eine ganzrationale Funktion von möglichst niedrigem Grad mit einem Wendepunkt ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Da diese Funktion gerade sein soll, hat sie die Form
$f(x) [mm] =ax^4+bx^2+c$
[/mm]
Nun ist f(1) =4 und f''(1) =0
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Fr 16.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Gut, das hat mir schon sehr geholfen.
Doch die Formulierung "wenn man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten a der höchsten Potenz von x ausdrück.."
Heißt das, das alle Koeffizienten a sind und dieses a das a bei [mm] f_{a} [/mm] ist?
Dann würde die Funktion letztendlich so lauten:
[mm] f_{a}(x)=ax^{4}+ax^{2}+a
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo The-Nik!
> Heißt das, das alle Koeffizienten a sind und dieses a das
> a bei [mm]f_{a}[/mm] ist?
> Dann würde die Funktion letztendlich so lauten:
>
> [mm]f_{a}(x)=ax^{4}+ax^{2}+a[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein. Es muss heißen:
[mm] $$f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*x^4+b*x^2+c$$
[/mm]
Nun sollst Du $b_$ und $c_$ in Abhängigkeit von $a_$ bestimmen.
Klartext: die gegebenen Angaben reichen nicht aus, um alle 3 unbekannten Koeffizienten zu bestimmen.
Nun ist gefordert, als letzte Unbekannte (= Scharparameter) das $a_$ zu behalten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Fr 16.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Okay, aber die Aufgabenformulierungen lautet genau so.
Und mit diesen Bedingungen kann man also das b und c nicht herausbekommen?
Wie soll ich dann, wie in der nächsten Aufgabe verlangt, die Extremstellen dieser Funktion [mm] f_{a} [/mm] bestimmen. Das geht ja nur wenn ich b und c habe.
Und selbst dann weiß ich nicht so genau wie man das bei Funktionsscharen macht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Fr 16.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c
[/mm]
Und du weisst, dass f(1)=4 (Punktbedingung) und f''(1)=0 (Wendestelle)
Also hast du folgendes GLS
[mm] \vmat{a+b+c=4\\12a+2b=0}
[/mm]
Da du jetzt aber nur zwei Gleichungen hast, aber drei Parameter a,b, und c musst du dieses LGS mit einem Parameter lösen, z.b. [mm] c=\lambda
[/mm]
Dann ergäbe ich
[mm] \vmat{a+b+c=4\\12a+2b=0\\c=\lambda}
[/mm]
[mm] \vmat{a+b=4-\lambda\\6a+b=0\\c=\lambda}
[/mm]
[mm] \vmat{a+b=4-\lambda\\5a=\lambda-4\\c=\lambda}
[/mm]
[mm] \vmat{a+b=4-\lambda\\a=\bruch{\lambda-4}{5}\\c=\lambda}
[/mm]
[mm] \vmat{b=4-\lambda-\bruch{\lambda-4}{5}\\a=\bruch{\lambda-4}{5}\\c=\lambda}
[/mm]
Wenn du das jetzt in f(x) einsetzt, ergibt sich eine Funktionenschar [mm] f_{\lambda}(x)
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo M.Rex!
Aufgrund der obigen Bedingung aus der Aufgabenstellung würde ich jedoch $a_$ als Parameter wählen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Fr 16.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Hallo Helfer,
Ja, ich muss ja später einen Parameter a haben. Also habe ich den Ansatz von M.Rex (danke dafür) mal durchgerechnet:
[mm] \vmat{ a+b+c=4 \\ 12a+2b=0 \\ a=a}
[/mm]
[mm] \vmat{ a+b+c=4 \\ 6a+b=0 \\ a=a}
[/mm]
[mm] \vmat{ 4-b-a=c \\ -6a=b \\ a=a}
[/mm]
[mm] \vmat{ c=4+5a \\ b=-6a \\ a=a}
[/mm]
So folgt dann daraus die Funktion:
[mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] ax^{4}-6ax^{2}+5a+4
[/mm]
Ist das jetzt so richtig?
Gruss,
The-Nik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 16.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Bin noch neu hier und habe auf den falschen Knopf gedrückt, deshalb nocheinmal:
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Hallo Helfer,
Ja, ich muss ja später einen Parameter a haben. Also habe ich den Ansatz von M.Rex (danke dafür) mal durchgerechnet:
[mm] \vmat{ a+b+c=4 \\ 12a+2b=0 \\ a=a}
[/mm]
[mm] \vmat{ a+b+c=4 \\ 6a+b=0 \\ a=a}
[/mm]
[mm] \vmat{ 4-b-a=c \\ -6a=b \\ a=a}
[/mm]
[mm] \vmat{ c=4+5a \\ b=-6a \\ a=a}
[/mm]
So folgt dann daraus die Funktion:
[mm] f_{a}(x) [/mm] = [mm] ax^{4}-6ax^{2}+5a+4
[/mm]
Ist das jetzt so richtig?
Gruss,
The-Nik
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Hallo,
> Ja, ich muss ja später einen Parameter a haben. Also habe
> ich den Ansatz von M.Rex (danke dafür) mal
> durchgerechnet:
>
> [mm]\vmat{ a+b+c=4 \\ 12a+2b=0 \\ a=a}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ a+b+c=4 \\ 6a+b=0 \\ a=a}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 4-b-a=c \\ -6a=b \\ a=a}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ c=4+5a \\ b=-6a \\ a=a}[/mm]
>
> So folgt dann daraus die Funktion:
>
> [mm]f_{a}(x)[/mm] = [mm]ax^{4}-6ax^{2}+5a+4[/mm]
>
> Ist das jetzt so richtig?
Wunderbar ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 16.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Super, vielen Dank für eure Hilfe.
Als nächstes muss ich die Extremstellen dieser Funktion bestimmen.
Also:
[mm] f_{a}(x)=ax^{4}-6ax^{2}+5a+4
[/mm]
[mm] f'_{a}(x)=4ax^{3}-12ax^{1}
[/mm]
[mm] f''_{a}(x)=12ax^{2}-12a
[/mm]
-------------------------------------------------------------
Für Extremstellen (Hoch- Tiefpunkte):
f'_{a}(x)=0 und [mm] f''_{a}(x)\not=0
[/mm]
[mm] 4ax^{3}-12ax^{1} [/mm] = 0
[mm] x(4ax^{2}-12a) [/mm] = 0 => [mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] 4ax^{2}-12a [/mm] = 0
[mm] 4ax^{2} [/mm] = 12a
[mm] x^{2} [/mm] = [mm] \bruch{12a}{4a}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] = 3
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
-------------------------------------------------------------
f''_{a}(0)=0
12a-12a = 0
->kein HP o. TP
-------------------------------------------------------------
[mm] f''_{a}(\wurzel{3}) [/mm] = 0
[mm] 12a\wurzel{3}^{2}-12a [/mm] = 0
[mm] 12a\wurzel{3}^{2} [/mm] = 12a
[mm] \wurzel{3}^{2} [/mm] = 0
3 = 0
-> TP
-------------------------------------------------------------
=> [mm] T_{1}(\wurzel{3}|f_{a}(\wurzel{3}))
[/mm]
=> [mm] T_{1}(\wurzel{3}|-4a+4)
[/mm]
-------------------------------------------------------------
Stimmt das soweit. Ich habe das noch nie bei Funktionenscharen gemacht. Aber irgendwie haben sich immer fast alle a wegekürzt ;)
Gruss,
The-Nik
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Hallo!
> Als nächstes muss ich die Extremstellen dieser Funktion
> bestimmen.
> Also:
>
> [mm]f_{a}(x)=ax^{4}-6ax^{2}+5a+4[/mm]
>
> [mm]f'_{a}(x)=4ax^{3}-12ax^{1}[/mm]
>
> [mm]f''_{a}(x)=12ax^{2}-12a[/mm]
Alles
> -------------------------------------------------------------
> Für Extremstellen (Hoch- Tiefpunkte):
> f'_{a}(x)=0 und [mm]f''_{a}(x)\not=0[/mm]
>
> [mm]4ax^{3}-12ax^{1}[/mm] = 0
> [mm]x(4ax^{2}-12a)[/mm] = 0 => [mm]x_{1}=0[/mm]
> [mm]4ax^{2}-12a[/mm] = 0
> [mm]4ax^{2}[/mm] = 12a
> [mm]x^{2}[/mm] = [mm]\bruch{12a}{4a}[/mm]
> [mm]x^{2}[/mm] = 3
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{3}[/mm]
Hierzu zweierlei:
1. Eine quadratische Gleichung hat oft zwei Lösungen. So ist es auch hier!
Wenn du [mm] $x^{2} [/mm] = 3$ hast, gibt es die Lösungen [mm] $x_{2} [/mm] = [mm] \sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $x_{3} [/mm] = [mm] -\sqrt{3}$.
[/mm]
2. Du hast in deinen Umformungen durch a geteilt. Das ist eigentlich kein Problem, du solltest aber vorher klarstellen, dass a = 0 kein Wert des Parameters a ist, den du in deine Überlegungen miteinbeziehen musst.
Hier lässt sich das folgendermaßen begründen: Im Falle a = 0 hätte die Funktion [mm] f_{a}(x) [/mm] nämlich gar keinen Wendepunkt in (1|4): Dies ist deswegen so, weil für a = 0 auch die dritte Ableitung [mm] f_{a}'''(x) [/mm] an der Stelle 1 zu Null wird.
> -------------------------------------------------------------
> f''_{a}(0)=0
> 12a-12a = 0
> ->kein HP o. TP
Das stimmt nicht. Ich weiß auch gar nicht, warum du die zweite Ableitung mit Null gleichsetzt!
Wenn du überprüfen willst, was für eine Art Extrempunkt an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] vorliegt, machst du doch Folgendes:
Berechne zunächst [mm] f''(x_{0}) [/mm] und vereinfache soweit wie möglich. Gilt
a) [mm] $f''(x_{0}) [/mm] > 0$, liegt bei [mm] x_{0} [/mm] ein Minimum vor.
b) [mm] $f''(x_{0}) [/mm] < 0$, liegt bei [mm] x_{0} [/mm] ein Maximum vor.
c) [mm] $f''(x_{0}) [/mm] = 0$, lässt sich keine Aussage machen, ob es sich überhaupt um einen Extrempunkt handelt (es könnte aber einer sein!)
Es gilt
[mm] $f_{a}''(0) [/mm] = -12*a$.
Das bedeutet: Wenn a > 0, ...
Wenn a < 0, ...
Wenn a = 0: Brauchst du nicht zu machen, weil a = 0 wie oben in 2. begründet nicht sein kann.
> -------------------------------------------------------------
> [mm]f''_{a}(\wurzel{3})[/mm] = 0
> [mm]12a\wurzel{3}^{2}-12a[/mm] = 0
> [mm]12a\wurzel{3}^{2}[/mm] = 12a
> [mm]\wurzel{3}^{2}[/mm] = 0
> 3 = 0
> -> TP
Du gehst hier ebenfalls falsch vor. Lies dir dazu meine oben gemachte Bemerkung durch.
> -------------------------------------------------------------
> => [mm]T_{1}(\wurzel{3}|f_{a}(\wurzel{3}))[/mm]
> => [mm]T_{1}(\wurzel{3}|-4a+4)[/mm]
Der Punkt stimmt, den musst du also nicht noch einmal ausrechnen.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Sa 17.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Hallo,
erstmal danke für dein Feedback. Ich habe jetzt alles soweit verstanden.
> 1. Eine quadratische Gleichung hat oft zwei Lösungen. So ist es auch hier!
> Wenn du $ [mm] x^{2} [/mm] = 3 $ hast, gibt es die Lösungen $ [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \sqrt{3} [/mm] $ und $ [mm] x_{3} [/mm] = [mm] -\sqrt{3} [/mm] $.
Da hast du Recht. Habe ich übersehen. Das heißt das ich noch einen zweiten Extremwert bei [mm] T_{2}(-\wurzel{3}|-4a+4) [/mm] habe.
> Ich weiß auch gar nicht, warum du die zweite Ableitung mit Null gleichsetzt!
Ist doch logisch. Wenn die zweite Ableitung Null ist kann es weder ein TP noch ein HP sein. Dann muss ich nicht mehr schauen ob es größer null oder kleiner null ist. So haben wir es jedenfalls gelernt.
Aber wenn dieser Parameter a vorhanden ist hast du Recht. Dann kommt es darauf an, was für einen Wert ich für a habe.
Aber dass sich durch a ändern kann ob es ein HP oder TP ist, ist mir neu.
Folglich muss ich bei der Begründung, wann es ein HP oder TP ist, den Parameter a mit einbeziehen:
[mm] f_{a}''(0) [/mm] = -12a
- für a < 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] > 0 => TP
- für a > 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] < 0 => HP
- für a = 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] = 0 => nichts von beiden. Da aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser Fall nicht möglich.
Das gleiche gilt dann für:
[mm] f_{a}''(\wurzel{3}) [/mm] = [mm] 12a\wurzel{3}^{2}-12a [/mm] = 24a
- für a < 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] < 0 => HP
- für a > 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] > 0 => TP
- für a = 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] = 0 => nichts von beiden. Da aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser Fall nicht möglich.
und für:
[mm] f_{a}''(-\wurzel{3}) [/mm] = [mm] 12a\*-\wurzel{3}^{2}-12a [/mm] = -48a
- für a < 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] > 0 => TP
- für a > 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] < 0 => HP
- für a = 0 => [mm] f_{a}''(0) [/mm] = 0 => nichts von beiden. Da aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser Fall nicht möglich.
Gruss,
The-Nik
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Hallo,
> Hallo,
> erstmal danke für dein Feedback. Ich habe jetzt alles
> soweit verstanden.
>
> > 1. Eine quadratische Gleichung hat oft zwei Lösungen. So
> ist es auch hier!
> > Wenn du [mm]x^{2} = 3[/mm] hast, gibt es die Lösungen [mm]x_{2} = \sqrt{3}[/mm]
> und [mm]x_{3} = -\sqrt{3} [/mm].
>
> Da hast du Recht. Habe ich übersehen. Das heißt das ich
> noch einen zweiten Extremwert bei [mm]T_{2}(-\wurzel{3}|-4a+4)[/mm]
> habe.
Genau. Du hast nun also drei Extrempunkte:
$(0|4+5a),$
[mm] $(-\sqrt{3}|-4a+4)$
[/mm]
[mm] $(\sqrt{3}|-4a+4)$.
[/mm]
> > Ich weiß auch gar nicht, warum du die zweite Ableitung mit
> Null gleichsetzt!
>
> Ist doch logisch. Wenn die zweite Ableitung Null ist kann
> es weder ein TP noch ein HP sein. Dann muss ich nicht mehr
> schauen ob es größer null oder kleiner null ist. So haben
> wir es jedenfalls gelernt.
Das verwirrt doch nur, weil der Fall $f'' = 0$ selten eintritt.
Rechne nur f''(Extremstelle) aus und prüfe dann, ob > 0 oder < 0.
> Folglich muss ich bei der Begründung, wann es ein HP oder
> TP ist, den Parameter a mit einbeziehen:
>
> [mm]f_{a}''(0)[/mm] = -12a
> - für a < 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] > 0 => TP
> - für a > 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] < 0 => HP
> - für a = 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] = 0 => nichts von beiden. Da
> aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit
> dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser
> Fall nicht möglich.
Alles
> Das gleiche gilt dann für:
>
> [mm]f_{a}''(\wurzel{3})[/mm] = [mm]12a\wurzel{3}^{2}-12a[/mm] = 24a
> - für a < 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] < 0 => HP
> - für a > 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] > 0 => TP
> - für a = 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] = 0 => nichts von beiden. Da
> aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit
> dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser
> Fall nicht möglich.
Auch alles
> und für:
>
> [mm]f_{a}''(-\wurzel{3})[/mm] = [mm]12a\*-\wurzel{3}^{2}-12a[/mm] = -48a
> - für a < 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] > 0 => TP
> - für a > 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] < 0 => HP
> - für a = 0 => [mm]f_{a}''(0)[/mm] = 0 => nichts von beiden. Da
> aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit
> dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser
> Fall nicht möglich.
Das stimmt leider nicht.
Ich komme auf $f''(-sqrt(3)) = 24a$, wie oben beim zweiten Extrempunkt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Sa 17.04.2010 | | Autor: | The-Nik |
Hallo Stefan,
> Das stimmt leider nicht.
> Ich komme auf $ [mm] f''(-\sqrt(3)) [/mm] = 24a $, wie oben beim zweiten Extrempunkt.
Da hast du Recht. Ich habe die Klammer um [mm] -\wurzel{3} [/mm] vergessen. Mit Klammern kommt dann 24a heraus.
Also würde das so lauten:
$ [mm] f_{a}''(-\wurzel{3}) [/mm] $ = $ [mm] 12a*(-\wurzel{3})^{2}-12a [/mm] $ = 24a
- für a < 0 => $ [mm] f_{a}''(0) [/mm] $ < 0 => HP
- für a > 0 => $ [mm] f_{a}''(0) [/mm] $ > 0 => TP
- für a = 0 => $ [mm] f_{a}''(0) [/mm] $ = 0 => nichts von beiden. Da aber a nicht null sein darf, weil sonst die Bedingung mit dem Wendepunkt nicht mehr erfüllt sein kann ist dieser Fall nicht möglich.
Das bedeutet dann dass sich die beiden Extrempunkte gleich verhalten, was auch für eine W-Form typisch ist.
Danke euch allen,
The-Nik
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Hallo Nik,
zur Bestätigung: Nun ist alles richtig.
Grüße,
Stefan
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