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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Es sind gegeben:
f(x) = [mm] x-\bruch{1}{2}*(e^x [/mm] -1)
und
[mm] g_k(x) [/mm] = kx + 2
Bestimmen sie k so, dass [mm] g_k(x) [/mm] Tangente an f(x) ist. |
Hallo,
ich hänge hier einfach total :(
Die zu erfüllenden Bedingungen sind
1) [mm] f'(x_0) [/mm] = k (= [mm] g_k'(x))
[/mm]
2) [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] g_k(x_0)
[/mm]
Wobei [mm] x_0 [/mm] der Wert ist bei dem [mm] g_k [/mm] f tangiert.
Daraus folgen 2 Gleichungen:
[mm] 1-\bruch{1}{2}*e^{x_0} [/mm] = k
[mm] x_0-\bruch{1}{2}*(e^{x_0} [/mm] -1)
Wenn ich jetzt versuche zu lösen komme ich immer auf ein ähnliches Problem ... entweder habe ich ln(2-2k) und k in einem Term oder x und [mm] e^x. [/mm] Dadurch kann ich einfach nicht auflösen.
Ich habe dann da stehen:
[mm] e^{x_0}(1-x_0) [/mm] = -3
oder
ln(2-2k) + k = k * ln(2-2k) +2
Gibt es hier vllt eine bessere / alternative Herangeghensweise?
Wenn mir jmd. weiterhelfen könne wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Di 30.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zerwas!
Forme Deine 1. Gleichung um nach [mm] $e^{x_0} [/mm] \ = \ 2*(1-k)$ und setze dies in die 2. Gleichung ein.
Damit hast Du nur noch eine Unbekannte und kannst diese Gleichung nach [mm] $x_0 [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Di 30.09.2008 | | Autor: | Zerwas |
Wenn ich die erste Gleichung nach [mm] e^{x_0} [/mm] umforme und in die zweite einsetze erhalte ich:
[mm] x_0 -\bruch{1}{2}*(2*(1-k)-1) [/mm] = k [mm] *x_0 [/mm] + 2
...
[mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{5}{2} - k}{1-k}
[/mm]
und jetzt?
Ih sehe gerade, dass ich bei mer ursprünglichen Frage etwas vergessen habe... natürlich müsste die zweite Gleichung
[mm] x_0-0,5*(e^{x_0}-1) [/mm] = [mm] kx_0 [/mm] +2
lauten.
Sry:-[
Gruß Zerwas
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Zuerst brauchst du natürlich die richtigen Gleichungen:
1.) [mm] f'(x_o)=g'(x_o)
[/mm]
2.) [mm] f(x_o)=g(x_o)
[/mm]
Du hast die Wahl, die erste Gleichung entweder nach
[mm] x_o [/mm] oder aber nach k aufzulösen und das Ergebnis
in die zweite Gleichung einzusetzen.
Das führt auf unterschiedliche Gleichungen, wähle
die aus, die dir besser behagt.
Die entstehende Gleichung ist aber jedenfalls nicht
durch einfaches Umformen zu lösen. Es wird eine
Näherungsmethode erforderlich sein.
Ich habe erhalten: k=-1.4853... , [mm] x_o=1.6035...
[/mm]
LG
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