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| Aufgabe | Für jede reelle Zahl a mit [mm] a\ge1 [/mm] ist eine Funktion [mm] f_a [/mm] gegeben durch [mm] y=f_a(x)=a+sin(ax), x\in\IR.
[/mm]
a) Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit die Funktion [mm] f_a [/mm] Nullstellen besitzt?
b) Bestimmen Sie für die Funktion [mm] f_a [/mm] alle möglichen Extremstellen! Weisen nur für die kleinste positive Extremstelle [mm] x_E [/mm] die Art des Extremums nach! Berechnen Sie für diese Stelle [mm] x_E [/mm] den Funktionswert [mm] f_a(X_E)! [/mm] Die Punkte [mm] E(x_E; f_a(X_E)) [/mm] liegen auf einer Kurve. Geben Sie deren Gleichung an! |
Einen wunderschönen Gruß an den matheraum am Sonnabend Nachmittag
für a) gibt es nur die Möglichkeit a=1 zu wählen,
für b)
[mm] f_a(x)=a+sin(ax)
[/mm]
[mm] f_a'(x)=a*cos(ax)
[/mm]
jetzt habe ich mir überlegt
a=1, es gibt folgende Nullstellen: [mm] x_1=0, x_2=\pi, x_3=2\pi
[/mm]
a=2, es gibt folgende Nullstellen: [mm] x_1=0, x_2=\bruch{\pi}{2}, x_3=\pi, x_4=\bruch{3\pi}{2}, x_5=2\pi
[/mm]
kann ich jetzt allgemein formulieren: [mm] \bruch{k*\pi}{a}, k\in\IZ?
[/mm]
Die kleinste positive Extremstelle müßte ein Minimum sein, setze ich k=0 ein, erhalte ich die Stelle x=0, Null ist keine positive Zahl, setze ich k=1 ein erhalte ich die Stelle [mm] \bruch{\pi}{a}
[/mm]
f(x)=a+sin(ax)
f'(x)=a*cos(ax)
[mm] f''(x)=-a^{2}sin(ax)
[/mm]
[mm] f''(\bruch{\pi}{a})=-a^{2}sin(a\bruch{\pi}{a})
[/mm]
[mm] f''(\bruch{\pi}{a})=-a^{2}sin(\pi) [/mm] jetzt stellt sich mir die Frage [mm] sin(\pi)=0, [/mm] es gilt doch aber für ein Minimum f''(x)>0?
[mm] f(\bruch{\pi}{a})=a+sin(a\bruch{\pi}{a})=a+sin(\pi)=a
[/mm]
Für den letzten Teil der Aufgabe b) habe ich leider noch keine Idee.
Klaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klaus!
> für a) gibt es nur die Möglichkeit a=1 zu wählen,
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was ist denn z.B. mit $a \ = \ 0$ oder $a \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] ? Dafür existieren doch auch Nullstellen.
Du musst halt berücksichtigen, dass für die [mm] $\sin$-Funktion [/mm] gilt:
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin(z) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$
Also darf ich die Funktion nicht um mehr als ... nach oben oder unten verschieben (was durch das $+ \ a$ geschieht)?
> für b)
> [mm]f_a(x)=a+sin(ax)[/mm]
> [mm]f_a'(x)=a*cos(ax)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt habe ich mir überlegt
> a=1, es gibt folgende Nullstellen: [mm]x_1=0, x_2=\pi, x_3=2\pi[/mm]
>
> a=2, es gibt folgende Nullstellen: [mm]x_1=0, x_2=\bruch{\pi}{2}, x_3=\pi, x_4=\bruch{3\pi}{2}, x_5=2\pi[/mm]
Meinst Du jetzt die Nullstellen der Funktion oder der 1. Ableitung?
Der [mm] $\cos$ [/mm] hat doch folgende Nullstellen: [mm] $(2k+1)*\bruch{\pi}{2}$ [/mm] .
Damit ergeben sich als mögliche Extremwerte der Funktionenschar:
$a*x \ = \ [mm] (2k+1)*\bruch{\pi}{2}$ $\gdw$ $x_{E,k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2k+1)*\pi}{2*a}$
[/mm]
> Für den letzten Teil der Aufgabe b) habe ich leider noch keine Idee.
Um diese sogenannte  Ortskurve der Extremstellen zu bestimmen, muss Du die Gleichung der Extremstellenkandidaten [mm] $x_E [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(2k+1)*\pi}{2*a}$ [/mm] nach $a \ = \ ...$ umstellen und in die Funktionsvorschrift [mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a+\sin(a*x)$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
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Hallo und ein Dankeschön Loddar,
für die Aufgabe a) gilt doch laut Aufgabenstellung [mm] a\ge1, [/mm] somit entfallen doch a=0 und a=-0,5?
für die Aufgabe b) ist mir jetzt klar die Funktion hat Extremstellen, wenn die 1. Ableitung Nullstellen hat.
Klaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Klaus!
> für die Aufgabe a) gilt doch laut Aufgabenstellung [mm]a\ge1,[/mm]
> somit entfallen doch a=0 und a=-0,5?
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Wer lesen kann, ...
Da hast Du natürlich Recht.
Gruß
Loddar
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