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| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktionenschar [mm] k_{u}(x)=u*e^{x}+e^{-u*x}, [/mm] u>0
Bestimmen Sie die Parameterwerte für u zu (I),(II),(III).
Entnehmen Sie der Zeichung Vermutungen über das Vehalten der Graphen von [mm] k_{u} [/mm] für große x, Symmetrie, Nullstellen und Extrempunkte. Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters u auf die Graphen.
Weisen Sie ihre Vermutungen bzgl. der Nullstellen, Extrempunkte und des Verhaltens für große Werte x algebraisch nach. |
Also, ich habe alles bearbeitet außer das mit dem algebraisch nachweisen (also, der letzte Teil) Ihr habt die Zeichung ja nicht vorliegen, aber die braucht man für das Nachweisen ja nicht. Also die Parameter sind I=5, II=1 und III=0,1.
Meine Vermutungen sind:
[mm] 1.\limes_{x\rightarrow\infty} k_{u}=\infty
[/mm]
2. Graph II ist symmetrisch zur Y-Achse
3.keine Nullstellen
4.Extrema: TPI (0/5), TPII (0/1), TPIII (0/0,1)
5. je kleiner der Paramater u, desto getsreckter ist der Graph und desto niedreiger liegt der TP (Näher zur X-Achse)
Um jetzt weiter zusammen muss ich ja erstmal die erste und zweite ABleitung in Abhängigkeit von u berechnen, das kann ich allerdings nicht. Kann mir jemand helfen?
LG ange-yeah
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> Gegeben ist eine Funktionenschar [mm]k_{u}(x)=u*e^{x}+e^{-u*x},[/mm]
> u>0
>
> Weisen Sie ihre Vermutungen bzgl. der Nullstellen,
> Extrempunkte und des Verhaltens für große Werte x
> algebraisch nach.
> Um jetzt weiter zusammen muss ich ja erstmal die erste und
> zweite ABleitung in Abhängigkeit von u berechnen, das kann
> ich allerdings nicht. Kann mir jemand helfen?
Hallo,
das u mußt Du so behandeln, als stünde dort eine ganz normale Zahl.
Leite doch zum Warmwerden mal [mm]k_{7}(x)=7*e^{x}+e^{-7*x}[/mm] ab, und wenn das klappt, versuche es mit [mm]k_{u}(x)=u*e^{x}+e^{-u*x}.[/mm]
Gruß v. Angela
>
> LG ange-yeah
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Gut, danke, das habe ich versucht. Sodass bei mir folgendes rauskommt!
[mm] k_{u}´(x)= (e^{x}+(u*e^{x}))+x*e^{u(x)}
[/mm]
Den ersten Teil hab ich mit der Produkt- und den zweiten mit der Kettenregel abgeleitet. Ist das soweit richtig? Wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Sa 27.02.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
u ist aber eine Zahl, die nicht von x abhängt, also brauchst du keine Produktregel.
Die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] ist genau [mm] e^{x}, [/mm] also brauchst du im ersten Teil nicht viel tun. Für den zweiten Summand ist die Kettenregel die richtige Methode, bedenke aber weiterhin, dass u nicht von x abhängt.
Gruß Sierra
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So, danke!
ich hab jetzt folgende Ableitung:
[mm] k_{u}=x*e^{x}+e^{u*x}
[/mm]
Wie siehts aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Sa 27.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> So, danke!
> ich hab jetzt folgende Ableitung:
> [mm]k_{u}=x*e^{x}+e^{u*x}[/mm]
> Wie siehts aus?
Fast, du hast nur die innere Ableitung im bauen teil vergessen.
[mm] k_{u}(x)=\green{ue^{x}}+\blue{e^{-u\cdot{}x}}
[/mm]
Hat die Ableitung:
[mm] k_{u}'(x)=\green{ue^{x}}+\red{(-u)}\blue{e^{-ux}}=\ldots
[/mm]
Marius
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Ahh ok danke, habs verstanden.
Als 2. Ableitung hab ich folgendes:
[mm] f_{u}´´(x)=2x*e^{x}+ue^{u-x}
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo,
1. Ableitung: [mm] u*e^{x}-u*e^{-u*x}
[/mm]
2. Ableitung: [mm] u*e^{x}-u*e^{-u*x}*(-u)=u*e^{x}+u^{2}*e^{-u*x}
[/mm]
der Faktor (-u) im 2. Summanden entsteht durch die Kettenregel, die Ableitung von -u*x
Steffi
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Oh man danke, irgendwie komme ich mit dieser Aufgabe nicht mehr auf den grünen Zweig...
Also für die Nullstellen muss ich die Ausgangsfunktion gleich null setzen:
[mm] k_{u}(x)=u*e^{x}+e^{-ux}=0
[/mm]
[mm] u*e^{x}=-e^{-ux}
[/mm]
Jetzt muss man doch den ln nehmen, oder? Irgendwie weiß ich aber nicht wie das nochma funktioniert.
Bei den Extremwerten genau das gleiche mit der 1.Ableitung:
[mm] k_{u}´(x)=u*e^{x}+u^{2}*e^{-u*x}=0
[/mm]
[mm] u^{2}*e^{-u*x}=-(u*e^{x})
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 So 28.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> [mm]k_{u}(x)=u*e^{x}+e^{-ux}=0[/mm]
> [mm]u*e^{x}=-e^{-ux}[/mm]
> Jetzt muss man doch den ln nehmen, oder? Irgendwie weiß
> ich aber nicht wie das nochma funktioniert.
Also: Für Zahlen s und t, die beide $>0$ sind, gilt $s=t$ genau dann, wenn [mm] $\ln(s)=\ln(t)$.
[/mm]
(Entsprechend gilt für Zahlen s und t, die beide $<0$ sind, dass $s=t$ genau dann, wenn $-s=-t$, was wiederum genau dann gilt, wenn [mm] $\ln(-s)=\ln(-t)$.)
[/mm]
Dann gucken wir uns mal die Zahlen auf beiden Seiten deiner Gleichung an: Sind sie $>0$, $<0$ oder $=0$? Die linke Seite ist $>0$ und die rechte Seite $<0$. Wenn ich das genauer begründen soll, frag nach.
Also sind obige [mm] $\ln$-Regeln [/mm] gar nicht anwendbar. Können wir trotzdem herausfinden, für welche x die Gleichung gilt? Naja, wenn die linke Seite immer $<0$, die rechte aber immer $>0$ ist, können die beiden Seiten nie gleich sein!
Also gibt es kein x, dass die Gleichung löst, und somit keine Nullstelle.
> Bei den Extremwerten genau das gleiche mit der
> 1.Ableitung:
> [mm]k_{u}´(x)=u*e^{x}+u^{2}*e^{-u*x}=0[/mm]
> [mm]u^{2}*e^{-u*x}=-(u*e^{x})[/mm]
Diese 1. Ableitung stimmt nicht. Die korrekte hat dir Steffi ja genannt.
Viele Grüße
Tobias
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