Funktionenschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:59 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Durch [mm] f_{t}(x)=x³-(4t-t³)x², t\ge0 [/mm] ist eine Funktionenschar gegeben.
(...)
c)Für welchen Wert von t liegt der Wendepunkt am tiefsten. |
Guten Morgen,
ich hab die Aufgabe jetzt bestimmt schon 4mal komplett neu gerechnet, aber ich komme nie auf ein Ergebnis. Vielleicht könnt ihr mal drüber gucken wo sich da Fehler eingeschlichen haben!? Danke schön
Rechnung:
[mm] f_{t}''(x)= [/mm] 6x-8t+2t³
[mm] x=\bruch{4}{3}t-\bruch{1}{3}t³
[/mm]
dann hab ich das in [mm] f_{t}(x) [/mm] eingesetzt um die y-Koordinate des Wendepunkts zu erhalten
[mm] f_{t}(\bruch{4}{3}t-\bruch{1}{3}t³)= (\bruch{4}{3}t-\bruch{1}{3}t³)³-(4t-t³)(\bruch{4}{3}t-\bruch{1}{3}t³)²
[/mm]
ausmultipliziert und zusammengefasst kam ich dann auf:
[mm] f(t)=\bruch{2}{27}t^9-\bruch{8}{9}t^7+3\bruch{5}{9}t^5-4\bruch{20}{27}t^3
[/mm]
wenn das Zwischenergebnis stimmt, soll diese Gleichung ja minimal sein, also hab ich die erste Ableitung gebildet und wollte Extrema suchen
[mm] f'(t)=\bruch{2}{3}t^8-6\bruch{2}{9}t^6+17\bruch{7}{9}t^4-14\bruch{2}{9}t²=0
[/mm]
dann t² ausklammern
aber mit dem Ergebnis kam ich leider nicht weiter. ich hab dann die Funktion f(t) mal durch nen Funktionsplotter laufen lassen, aber da gabs keine Extrema :(
Folglich muss mein Fehler irgendwo am Anfang liegen.
Danke schön schonmal für eure Mühe
Liebe Grüße,
Kati
|
|
| |
|
Hallo!
Ich hab das mal durchgerechnet, deine Rechnung stimmt! Wenn ich dann die Ableitung deiner letzten Funktion betrachte und nach t auflöse, komme ich auf
[mm] t\in\left[0;\pm\frac{2}{\wurzel{3}};\pm2\right] [/mm] wobei du noch an die Vorgabe t>0 denken mußt.
Und wenn du deine Funktion f(x) mal für verschiedene t plottest, bekommst du das hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die braunen Graphen sind f(x) für t=0...4 in 0,1er-Schritten. Grün ist t=2 und t=0, und blau ist [mm] t=\frac{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
Und du siehst, dasß paßt auch irgendwo. Für t=2 solltest du schaun, ob das überhaupt ein Wendepunkt ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Mensch,da bin ich ja schonmal beruhigt,dass meine Rechnung wenigstens gestimmt hat :)
aber wie kommst du von der 1.Ableitung auf t?
wenn ich t² ausklammere, muss ich ja Polynomdivision machen um die Nullstellen zu berechnen, aber ich hab keine erste Nullstelle erraten können.
Danke für deine schnelle Hilfe!!!
|
|
|
| |
|
Man könnte folgendermaßen vorgehen:
Nach dem ausklammern von [mm] t^{2} [/mm] muss ja nur noch das Rest-Polynom 0 werden:
[mm] \bruch{2}{3}*t^{6}-\bruch{56}{9}*t^{4}+\bruch{25}{3}*t^{2}-\bruch{80}{9} [/mm] = 0.
Wenn man jetzt mal 9 rechnet, erhält man
[mm] 6*t^{6}-56*t^{4}+75*t^{2}-80 [/mm] = 0.
Und Nullstellen bei Polynomen, die nur ganzzahlige Faktoren vor den x-en stehen haben, sind oft Teiler des Absolutgliedes (also hier der -80).
Die 80 hat folgende Primfaktorzerlegung:
80 = 2*2*2*2*5.
Teiler von 80 wären somit:
1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, ...
Auf jeden Fall sollte man die 2 ausprobieren, und das ist ja dann auch eine Nullstelle.
Ich gebe aber zu, dass es sich bei dieser Aufgabe eindeutig mehr empfiehlt, das obige Polynom in den Taschenrechner einzugeben und eine (oder zwei  ) ganzzahlige Nullstellen (z.B. 2), die der Taschenrechner ausspuckt, zur Polynomdivision zu benutzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Super, vielen lieben Dank! Ich bin gar nicht auf die Idee gekommen das mit 9 zu multiplizieren *schäm* und hab dann wirklich Probleme gehabt da ne Nullstelle zu erraten.
PS: Mein Taschenrechner ist leider nicht so modern,dass er mir das ausrechnet
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Entschuldigung,ich wollt nur kurz sagen,dass du dich wohl vertippt hast. Wenn man den Term mit 9 multipliziert, komme ich auf: [mm] 6t^6-56t^4+160t^2-128=0 [/mm] und da stimmt dann auch 2 als Nullstelle (bei deinem Term nich)
da muss man ja ganz schön oft Polynomdivision machen, bis man alle Nullstellen hat. Gibt es irgendeinen Weg das abzukürzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
ok, ich glaub ich habs jetzt. Ich hab mehrmals Polynomdivision gemacht und komme auf t=2 oder [mm] t=\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] (die beiden anderen Möglichkeiten kann ich wegen t>0 ja ausschließen). Die beiden hab ich dann in die zweite Ableitung eingesetzt. Bei t=2 ist f''(t)=0, also kein Extrempunkt. Bei [mm] t=\wurzel{\bruch{4}{3}} [/mm] ist f''(t)>0 , also liegt hier der gesuchte Tiefpunkt vor! Ich hoffe das stimmt so???
Nachtrag: Stimmt, konnte das ja grad an dem tollen geposteten Graphen nachschaun :)
Danke schön
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast Recht [mm] 6t^{6}-56t^{4}+160t^{2}-128=0 [/mm] die Nullstellen sind [mm] t_1=2 [/mm] und [mm] t_2=-2 [/mm] (entfällt laut Aufgabenstelleung), um die Polynomdivision kommst du leider nicht umhin [mm] t_3=\bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] und [mm] t_4=-\bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] (entfällt)
Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo!
naja, einen kleinen Trick gibts schon noch. Man kann hier s=t² substituieren, und dann ist das nur noch ein Polynom 3. Grades. Da muß man eine einzige NST erraten, eine Polynomdivision machen, und dann kann man die PQ-Formel benutzen.
Negative Werte von s verwirft man, aus den positiven zieht man die Wurzel, und schreibt ein [mm] \pm [/mm] davor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Stimmt, Substitution hätte sich angeboten! Beim nächsten Mal mach ichs gleich so :) Danke schön
|
|
|
| |
|
Du hast recht. Ich dachte, dass die Zahlen vor deinen Brüchen Faktoren sind, und hatte nicht daran gedacht dass du damit gemischte Brüche darstellen wolltest. Deswegen kam's zur Fehlkalkulation
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Di 29.04.2008 | | Autor: | kati93 |
Ach so :)
Stimmt, das sieht ein bisschen komisch aus! Wie stellt man den gemischte Brüche "richtig" dar?
|
|
|
| |
|
Du hast sie richtig dargestellt, nur hatte ich beim Abschreiben nicht daran gedacht dass du sie meinen könntest.
|
|
|
|
