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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 27.01.2008 | | Autor: | Excel |
| Aufgabe | Hab ein Problem bei einer Aufgabe. Ich weiss nicht einmal wie ich damit anfangen soll.
Bitte helft mir.
Vielen Dank im Vorraus |
Aufgabe:
Funktion: [mm] f:\IR\to\IR [/mm] ; x [mm] \to(x-2)*e^{2-\bruch{x}{2}}
[/mm]
Ermitteln Sie durch Rechnung diejenige Punkte P(k/0) der x-Achse, von denen aus man zwei, eine bzw. keine Tangente an das Schaubild von f legen kann.
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> Hab ein Problem bei einer Aufgabe. Ich weiss nicht einmal
> wie ich damit anfangen soll.
> Bitte helft mir.
> Vielen Dank im Vorraus
> Aufgabe:
> Funktion: [mm]f:\IR\to\IR[/mm] ; x [mm]\to(x-2)*e^{2-\bruch{x}{2}}[/mm]
>
> Ermitteln Sie durch Rechnung diejenige Punkte P(k/0) der
> x-Achse, von denen aus man zwei, eine bzw. keine Tangente
> an das Schaubild von f legen kann.
Sei [mm] $B\big(x_k|f(x_k)\big)$ [/mm] der Berührpunkt einer Tangente, sagen wir [mm] $t_k$, [/mm] die auch durch den Punkt $P(k|0)$ geht. Die Geradengleichung dieser Tangente [mm] $t_k$ [/mm] an den Graphen von $f$ lautet daher
[mm]t_k:\; y=f'(x_k)\cdot (x-x_k)+f(x_k)[/mm]
Damit der Punkt $P(k|0)$ auf [mm] $t_k$ [/mm] liegt, müssen seine Koordinaten für $x$ bzw. $ y$, in die Geradengleichung von [mm] $t_k$ [/mm] eingesetzt, eine wahre Gleichung ergeben. Das heisst, es muss gelten:
[mm]0=f'(x_k)\cdot (k-x_k)+f(x_k)[/mm]
Nun würde ich an Deiner Stelle in diese Gleichung die Funktionsterme von $f'(x)$ und $f(x)$ (an der Stelle [mm] $x_k$) [/mm] einsetzen und schauen, was ich über die Zahl der dann resultierenden Gleichung für [mm] $x_k$ [/mm] in Abhängigkeit vom Parameter $k$ sagen kann. (Bem: Ich hab's selbst noch nicht versucht  )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 27.01.2008 | | Autor: | Excel |
Danke für die Schritte. Aber ich weiss immernoch nicht was ich jetzt bei der Formel
0= [mm] f´(x_{k})*(k-x_{k})+f(x)
[/mm]
für k und für [mm] x_{k} [/mm] einsetzten soll??
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> Danke für die Schritte. Aber ich weiss immernoch nicht was
> ich jetzt bei der Formel
> 0= [mm]f´(x_{k})*(k-x_{k})+f(x)[/mm]
> für k und für [mm]x_{k}[/mm] einsetzten soll??
Ich habe doch ausdrücklich geschrieben, dass Du erst einmal für [mm] $f'(x_k)$ [/mm] und [mm] $f(x_k)$ [/mm] die entsprechenden Terme in [mm] $x_k$ [/mm] einsetzen und dann dies als folgendes Problem auffassen sollst: Gegeben eine Gleichung für [mm] $x_k$; [/mm] Gesucht ist die Anzahl Lösungen dieser Gleichung in Abhängigkeit des Parameters $k$.
Wenn ich mich nicht gerade verrechnet habe, erhältst Du so folgende Gleichung (wie gesagt: eine Gleichung für [mm] $x_k$ [/mm] mit Parameter $k$):
[mm]0=\frac{4-x}{2}e^{2-x_k/2}\cdot (k-x_k)+(x_k-2)\cdot e^{2-x_k/2}[/mm]
Da man den Faktor [mm] $e^{2-x_k/2}$ [/mm] auf der rechten Seite ausklammern kann und weil er nicht $=0$ sein kann, erhält man die folgende äquivalente Gleichung
[mm]0=\frac{4-x_k}{2}\cdot (k-x_k)+(x_k-2)[/mm]
Diese Gleichung ist quadratisch in [mm] $x_k$. [/mm] Diskutiere also die Anzahl Lösungen dieser quadratischen Gleichung für [mm] $x_k$ [/mm] in Abhängigkeit vom Parameter $k$. (Tipp: Bringe diese Gleichung auf die allgemeine Form $a [mm] x_k^2+bx_k+c=0$ [/mm] und untersuche dann, für welche $k$ die zugehörige, von $k$ abhängige Diskriminante [mm] $D(k)=b^2-4ac$ [/mm] negativ, null oder positiv ist.)
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