www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - Funktionenfolgen
Funktionenfolgen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktionenfolgen: gleichmäßige Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Mi 18.07.2012
Autor: ConstantinJ

Aufgabe
Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] def. wir eine Funktion [mm] f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm]
durch [mm] f_n [/mm] (x) [mm] =\bruch{x}{1+ nx^2}. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Folge der [mm] f_n [/mm] auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert.
b) Bestimmen Sie die Ableitung von f.
c)Zeigen Sie, dass die Folge der Ableitungen [mm] f_n' [/mm] punktweiße auf [mm] \IR [/mm] gegen eine Grenzfunktion g konvergiert.
d) Zeigen Sie, dass g [mm] \not= [/mm] f' ist .

Hallo,
Ich hab da mal wieder ein kleines Problem mit dieser Ausfgabe.

zur a)
Meine Vermutung f ist die Nullfunktion.
Nun benutze ich :
[mm] (f_n)_n [/mm] konvergiert glm. gegen f [mm] \gdw [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR} [/mm] =0

[mm] f_n'(x)= \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2} [/mm]
[mm] f_n'(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm]
und [mm] f_n''(\wurzel{\bruch{1}{n}}) [/mm] = - [mm] \bruch{\wurzel{n}}{2} \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow ||f_n||_{\IR} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{\IR}= [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] =0
[mm] \Rightarrow [/mm]  f = 0


b) f(x)= 0
[mm] \limes_{n\rightarrow a}= \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}= [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow a}= \bruch{0}{x-a}= [/mm] 0
[mm] (x\not=a [/mm] und x [mm] \to [/mm] a)
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=0

c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n'(x)= [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}= [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{1+ 2nx^2 + n^2x^4} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n^2-x^2/n}{1/n^2+ 2x^2/n+ x^4} [/mm]
= 0
also g=0

dann wäre aber in d) g=f'
und das kann ja nicht sein, also muss ich iregndwo einen Fehler haben, ich vermute eigentlich bei a) oder c),
obwohl ich mir bei eigentlich relativ sicher war, dass zumindest die vorgehensweise richtig ist.
bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich den grenzwert so berechnen kann.

Ich hoffe jemand kann mal drüber schauen.
Danke im voraus.

Gruß ConstantinJ





        
Bezug
Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:33 Mi 18.07.2012
Autor: ConstantinJ

Ich glaub ich habs:

Der Fehler liegt in c)

Hier muss ich eine Fallunterscheidung machen:
1.) x [mm] \not= [/mm] 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n' [/mm] (x) = 0
2.)x = 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n' [/mm] (0) = 1

[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) = [mm] \begin{cases} 0, & x \not= 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases} [/mm]

und dann ergibt sich ja in d) von selbst
g [mm] \not= [/mm] f'


Es wäre aber trotzdem nett, wenn jmd mal drüber schauen könnte, ob das jetzt so stimmt.

Bezug
        
Bezug
Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Mi 18.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> zur a)
> Meine Vermutung f ist die Nullfunktion.

[ok]

> Nun benutze ich :
>  [mm](f_n)_n[/mm] konvergiert glm. gegen f [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR}[/mm] =0

Du meinst sicherlich [mm] $||f_n -f||_{\infty}$# [/mm]

> [mm]f_n'(x)= \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}[/mm]
>  [mm]f_n'(x)[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x =
> +- [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm]

Nutze \pm für [mm] \pm [/mm]

>  und [mm]f_n''(\wurzel{\bruch{1}{n}})[/mm] = - [mm]\bruch{\wurzel{n}}{2} \not=[/mm]  0
>  [mm]\Rightarrow ||f_n||_{\IR}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm]

Warum sollte das folgen?
Also in dem Fall folgt das trivialerweise, weil die Funktion antisymmetrisch ist, aber das sieht eher so aus, als hättest du das Maximum von [mm] $f_n [/mm] - f$ bestimmt und das einfach eingesetzt.
Das führt aber nicht immer zum Ziel, weil [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty$ [/mm] ja gerade [mm] $\sup_{x\in\IR} |f_n(x) [/mm] - f(x)|$ ist, d.h. das Supremum vom Betrag, d.h. das Maximum [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)|$ von  kann eben auch an einem Minimum von  [mm] $f_n(x) [/mm] - f(x)$ angenommen werden!

Aber wie gesagt, in dem Fall hier egal.

>  [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR}[/mm] =
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{\IR}=[/mm]
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm] =0
>  [mm]\Rightarrow[/mm]  f = 0

> b) f(x)= 0
>  [mm]\limes_{n\rightarrow a}= \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow a}= \bruch{0}{x-a}=[/mm] 0
>  [mm](x\not=a[/mm] und x [mm]\to[/mm] a)
>  [mm]\Rightarrow[/mm] f'(x)=0

Warum auch immer du da noch wild rumrechnest (und dabei bei deinem Grenzwert-Index nicht aufgepasst hast!), erschließt sich wohl nur dir.
Dass die Ableitung der Nullfunktion die Nullfunktion ist, ist, nunja, trivial.

> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n'(x)=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}=[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{1+ 2nx^2 + n^2x^4}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n^2-x^2/n}{1/n^2+ 2x^2/n+ x^4}[/mm]

[ok]

> = 0

[notok]

Schau dir deine Folge nochmal ganz genau an.
Deine Schlußfolgerung, dass da immer Null rauskommt, ist falsch.

>  bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich den grenzwert so berechnen kann.

So gut wie immer geht das, in einem Fall aber leider nicht. Mehr Sorgfalt beim Aufschreiben, dann wärs dir auch aufgefallen ;-)
Also nicht immer 2 Schritte überspringen, dann fällt dir Fall, wo es kaputt geht, auch auf.


edit: In deiner Mitteilung hast du dich ja selbst korrigiert. Dann passt alles.

MFG,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktionenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Mi 18.07.2012
Autor: ConstantinJ

vielen Dank erstmal

also bei der a)
um die Supremumsnorm zu bestimmen, müsste ich dann auch noch
- [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] einsetzen ?
und falls der funktinswert dann betragsgrößer wäre, wäre dies dann meine Supremumsnorm ?

Bezug
                        
Bezug
Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Mi 18.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> also bei der a)
> um die Supremumsnorm zu bestimmen, müsste ich dann auch
> noch
> - [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm] einsetzen ?
> und falls der funktinswert dann betragsgrößer wäre,
> wäre dies dann meine Supremumsnorm ?  

Ja. Und wenn mans ganz genau nimmt, musst du natürlich auch noch prüfen, dass am Rand des Definitionsbereichs nix großartiges passiert.
Deine bestimmten Extremwerte sind ja nur lokale Extrema.

MFG,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Funktionenfolgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Mi 18.07.2012
Autor: ConstantinJ

Wenn ich hier den Rand betrachten will,kann ich dann n festhalten und den Grenzwert von x gegen [mm] \pm \infty [/mm] berechnen?

Bezug
                                        
Bezug
Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mi 18.07.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wenn ich hier den Rand betrachten will,kann ich dann n
> festhalten und den Grenzwert von x gegen [mm]\pm \infty[/mm]
> berechnen?  

ja. Du willst ja zu jedem n [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty$ [/mm] berechnen, d.h. n ist beliebig, aber fest.
Ob du das aber wirklich "berechnen" musst, sei mal dahingestellt. Ich denke eine Bemerkung am Rand, dass in diesem Fall das Maximum/Minimum an einer lokalen Extremstelle angenommen wird, reicht da.
Du solltest dir nur klar machen, dass es eben nicht immer so sein muss.

MFG,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Funktionenfolgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Mi 18.07.2012
Autor: ConstantinJ


Ja ich hatte auch nur gefragt, da ich das bei einer anderen Aufgabe auch nicht berücksichtigt habe und da spielt es eine Rolle.
Das werd ich dann auch noch verbessern.

Und noch vielen Dank für deine Antworten,
hat mir echt weitergeholfen.

Gruß
ConstantinJ

Bezug
        
Bezug
Funktionenfolgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Do 19.07.2012
Autor: fred97

Nur nebenbei:

$ [mm] ||f_n ||_\infty= \sup_{x\in\IR} |f_n(x)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{n}}$ [/mm]

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]