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| Aufgabe | Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] def. wir eine Funktion [mm] f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm]
durch [mm] f_n [/mm] (x) [mm] =\bruch{x}{1+ nx^2}.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Folge der [mm] f_n [/mm] auf [mm] \IR [/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert.
b) Bestimmen Sie die Ableitung von f.
c)Zeigen Sie, dass die Folge der Ableitungen [mm] f_n' [/mm] punktweiße auf [mm] \IR [/mm] gegen eine Grenzfunktion g konvergiert.
d) Zeigen Sie, dass g [mm] \not= [/mm] f' ist . |
Hallo,
Ich hab da mal wieder ein kleines Problem mit dieser Ausfgabe.
zur a)
Meine Vermutung f ist die Nullfunktion.
Nun benutze ich :
[mm] (f_n)_n [/mm] konvergiert glm. gegen f [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR} [/mm] =0
[mm] f_n'(x)= \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}
[/mm]
[mm] f_n'(x) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}
[/mm]
und [mm] f_n''(\wurzel{\bruch{1}{n}}) [/mm] = - [mm] \bruch{\wurzel{n}}{2} \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow ||f_n||_{\IR} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{\IR}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] =0
[mm] \Rightarrow [/mm] f = 0
b) f(x)= 0
[mm] \limes_{n\rightarrow a}= \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow a}= \bruch{0}{x-a}= [/mm] 0
[mm] (x\not=a [/mm] und x [mm] \to [/mm] a)
[mm] \Rightarrow [/mm] f'(x)=0
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n'(x)=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{1+ 2nx^2 + n^2x^4} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n^2-x^2/n}{1/n^2+ 2x^2/n+ x^4} [/mm]
= 0
also g=0
dann wäre aber in d) g=f'
und das kann ja nicht sein, also muss ich iregndwo einen Fehler haben, ich vermute eigentlich bei a) oder c),
obwohl ich mir bei eigentlich relativ sicher war, dass zumindest die vorgehensweise richtig ist.
bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich den grenzwert so berechnen kann.
Ich hoffe jemand kann mal drüber schauen.
Danke im voraus.
Gruß ConstantinJ
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Ich glaub ich habs:
Der Fehler liegt in c)
Hier muss ich eine Fallunterscheidung machen:
1.) x [mm] \not= [/mm] 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n' [/mm] (x) = 0
2.)x = 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n' [/mm] (0) = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) = [mm] \begin{cases} 0, & x \not= 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}
[/mm]
und dann ergibt sich ja in d) von selbst
g [mm] \not= [/mm] f'
Es wäre aber trotzdem nett, wenn jmd mal drüber schauen könnte, ob das jetzt so stimmt.
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Hiho,
> zur a)
> Meine Vermutung f ist die Nullfunktion.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun benutze ich :
> [mm](f_n)_n[/mm] konvergiert glm. gegen f [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR}[/mm] =0
Du meinst sicherlich [mm] $||f_n -f||_{\infty}$#
[/mm]
> [mm]f_n'(x)= \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}[/mm]
> [mm]f_n'(x)[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x =
> +- [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm]
Nutze \pm für [mm] \pm
[/mm]
> und [mm]f_n''(\wurzel{\bruch{1}{n}})[/mm] = - [mm]\bruch{\wurzel{n}}{2} \not=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow ||f_n||_{\IR}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm]
Warum sollte das folgen?
Also in dem Fall folgt das trivialerweise, weil die Funktion antisymmetrisch ist, aber das sieht eher so aus, als hättest du das Maximum von [mm] $f_n [/mm] - f$ bestimmt und das einfach eingesetzt.
Das führt aber nicht immer zum Ziel, weil [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty$ [/mm] ja gerade [mm] $\sup_{x\in\IR} |f_n(x) [/mm] - f(x)|$ ist, d.h. das Supremum vom Betrag, d.h. das Maximum [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)|$ von kann eben auch an einem Minimum von [mm] $f_n(x) [/mm] - f(x)$ angenommen werden!
Aber wie gesagt, in dem Fall hier egal.
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n -f||_{\IR}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{\IR}=[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm] =0
> [mm]\Rightarrow[/mm] f = 0
> b) f(x)= 0
> [mm]\limes_{n\rightarrow a}= \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow a}= \bruch{0}{x-a}=[/mm] 0
> [mm](x\not=a[/mm] und x [mm]\to[/mm] a)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f'(x)=0
Warum auch immer du da noch wild rumrechnest (und dabei bei deinem Grenzwert-Index nicht aufgepasst hast!), erschließt sich wohl nur dir.
Dass die Ableitung der Nullfunktion die Nullfunktion ist, ist, nunja, trivial.
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_n'(x)=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-nx^2}{1+ 2nx^2 + n^2x^4}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1/n^2-x^2/n}{1/n^2+ 2x^2/n+ x^4}[/mm]
> = 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schau dir deine Folge nochmal ganz genau an.
Deine Schlußfolgerung, dass da immer Null rauskommt, ist falsch.
> bei c) bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich den grenzwert so berechnen kann.
So gut wie immer geht das, in einem Fall aber leider nicht. Mehr Sorgfalt beim Aufschreiben, dann wärs dir auch aufgefallen 
Also nicht immer 2 Schritte überspringen, dann fällt dir Fall, wo es kaputt geht, auch auf.
edit: In deiner Mitteilung hast du dich ja selbst korrigiert. Dann passt alles.
MFG,
Gono
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vielen Dank erstmal
also bei der a)
um die Supremumsnorm zu bestimmen, müsste ich dann auch noch
- [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] einsetzen ?
und falls der funktinswert dann betragsgrößer wäre, wäre dies dann meine Supremumsnorm ?
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Hiho,
> also bei der a)
> um die Supremumsnorm zu bestimmen, müsste ich dann auch
> noch
> - [mm]\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm] einsetzen ?
> und falls der funktinswert dann betragsgrößer wäre,
> wäre dies dann meine Supremumsnorm ?
Ja. Und wenn mans ganz genau nimmt, musst du natürlich auch noch prüfen, dass am Rand des Definitionsbereichs nix großartiges passiert.
Deine bestimmten Extremwerte sind ja nur lokale Extrema.
MFG,
Gono.
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Wenn ich hier den Rand betrachten will,kann ich dann n festhalten und den Grenzwert von x gegen [mm] \pm \infty [/mm] berechnen?
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Hiho,
> Wenn ich hier den Rand betrachten will,kann ich dann n
> festhalten und den Grenzwert von x gegen [mm]\pm \infty[/mm]
> berechnen?
ja. Du willst ja zu jedem n [mm] $||f_n [/mm] - [mm] f||_\infty$ [/mm] berechnen, d.h. n ist beliebig, aber fest.
Ob du das aber wirklich "berechnen" musst, sei mal dahingestellt. Ich denke eine Bemerkung am Rand, dass in diesem Fall das Maximum/Minimum an einer lokalen Extremstelle angenommen wird, reicht da.
Du solltest dir nur klar machen, dass es eben nicht immer so sein muss.
MFG,
Gono.
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Ja ich hatte auch nur gefragt, da ich das bei einer anderen Aufgabe auch nicht berücksichtigt habe und da spielt es eine Rolle.
Das werd ich dann auch noch verbessern.
Und noch vielen Dank für deine Antworten,
hat mir echt weitergeholfen.
Gruß
ConstantinJ
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Do 19.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Nur nebenbei:
$ [mm] ||f_n ||_\infty= \sup_{x\in\IR} |f_n(x)| [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{n}}$
[/mm]
FRED
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