Funktionenfolge - glm. Konv. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] :[0,1] [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \to x^n [/mm] für jedes n [mm] \in \IN [/mm] konvergiert ja punktweise, soweit klar.
Sie konvergiert aber nicht gleichmäßig - rein vom Verlauf her auch klar. Aber:
[mm] ||f_n [/mm] -f [mm] \| [/mm] auf dem Intervall [0,1] = sup [mm] \{|f_n (x)-f(x)| | x \in [0,1] \} [/mm] - auch noch klar
[mm] \ge sup\{x^n | x \in [0,1[\} [/mm]
wie kommt man auf diese Abschätzung?
Danke
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sup über viele Punkte ist immer [mm] \ge [/mm] dem sup über nur einzelne oder eine von den Punkten. du kannst statt 0 jeden Wert von f(x) einsetzen und es stimmt noch immer.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
DANKE für Deine Antwort. Aber ich glaube, ich habe gerade ein große Brett vor dem Kopf.
> das sup über viele Punkte ist immer [mm]\ge[/mm] dem sup über nur
> einzelne oder eine von den Punkten.
Ich verstehe es nämlich immer noch nicht. Wäre beispielsweise auch [mm] sup\{f_n (x) | x\in [0,1[ \} \ge sup\{x^n | x \in [0,1[\}?
[/mm]
Und auf mein konkretes Beispiel bezogen, warum hat man bei der Abschätzung das Intervall auf rechtsoffen geändert - weil eben im Punkt 1 sup von [mm] x^n [/mm] = 1 wäre? Aber selbst das verstehe ich gerade nicht, denn die Abschätzung wird dann noch
= sup[0,1[ = 1 gesetzt für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Danke für weitere Erklärung.
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Mi 10.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[0,1] ist doch ne grössere Menge als [0,1[ nur auf [0,1[ ist f(x)=0
deine 2. Frage ist statt gleich kann man natürlich auch [mm] \ge [/mm] schreiben, aber deine 2 Ausdrücke sind doch gleich, du hast nur für fn den konkreten Ausdruck eingesetz.
Ganz seh ich die Schwierigkeit nicht.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo leduart,
OK! Jetzt ist das Brett gefallen. Keine Ahnung was ich da gedacht habe. Jetzt ist es klar! DANKE.
Gruß,
Anna
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