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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Man betrachte die Funktionenfolge fn : R->R definiert durch:
fn(x)= [mm] n^{2}x(1-x)^{n}
[/mm]
Man bestimme die Menge M aller x aus R wo fn(x) konvergiert. Ist fn auf M auch gleichmäßig konvergent? Wenn nicht, dann bestimme alle I [mm] \subseteq [/mm] M sodass fn eingeschränkt auf I gleichmäßig konvergiert. |
guten morgen zusammen
lerne gerade für die ana 1 klausur und bin bei diesem beispiel hängen geblieben.
ich hab hald so die vermutung das der konvergenzbereich [0,2) sein müsste. aber ich weiß nicht wie man da gut argumentiert bwz den konvergenzbereich rechnerisch festlegt.
es reicht ja vermutlich nicht aus das der ausdruck in der klammer für [mm] |(1-x)^{n}| [/mm] < 1 schneller gegen 0 geht als das [mm] n^{2} [/mm] wäcjhst oder?
könnte mir bitte jemand helfen?
danke im voraus
grüße
felix
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Hiho,
> ich hab hald so die vermutung das der konvergenzbereich [0,2) sein müsste.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> es reicht ja vermutlich nicht aus das der ausdruck in der
> klammer für [mm]|(1-x)^{n}|[/mm] < 1 schneller gegen 0 geht als das
> [mm]n^{2}[/mm] wäcjhst oder?
naja doch, darauf läufts hinaus.
> könnte mir bitte jemand helfen?
Nimm deine Vermutung und zeig doch explizit, dass [mm] $f_n \to [/mm] 0$ für $x [mm] \in [/mm] [0,2)$ und sonst keine Konvergenz vorliegt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fe11x |
ja genau das ist mein problem.
wie zeige ich das es genau für diesen bereich konvergiert?
und für welchen konvergiert es absolut? bestimmt nicht für den gleichen oder?
wahrschenlich für [0,a] mit a<2. vermute ich jetzt mal.
aber auch hier weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.
ich glaube man muss hier mit minima und maxima arbeiten, aber ich weiß nicht wie ich das machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Der Fall x=0 dürfte klar sein.
Sei also x [mm] \ne [/mm] 0
Für |1-x| [mm] \ge [/mm] 1 ist
$ [mm] (n^{2}x(1-x)^{n}) [/mm] $ divergent.
Für |1-x| < 1 ist
$ [mm] (n^{2}x(1-x)^{n}) [/mm] $ eine Nullfolge (bearbeite mal die Reihe [mm] \sum n^{2}x(1-x)^{n} [/mm] mit dem Wurzelkriterium)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fe11x |
gut, das es für alle x [mm] \ge [/mm] 2, sowie für alle x < 0 divergiert hab ich schon gewusst. kann ich daraus folgern das es für alle x dazwischen konvergiert?
den tipp mit dem wurzelkriterium versteh ich jetzt nicht ganz.
gibt mir das den konvergenzbereich? ich arbeite ja mit einer folge wieso kann ich da jetzt eine reihe betrachten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Pass mal Obacht:
Beh.: ist q [mm] \in \IR [/mm] und |q|<1, so ist [mm] (n^2q^n) [/mm] eine Nullfolge.
Beweis: betrachte [mm] \sum n^2q^n. [/mm] Jetzt zeigst Du, dass diese Reihe konvergiert. Dann folgt: [mm] (n^2q^n) [/mm] ist eine Nullfolge.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 18.02.2012 | | Autor: | fe11x |
okay verstehe. danke für die hilfe.
jetzt muss ich nur noch zeigen auf welchem intervall es gleichmäßig konvergiert.
ich dachte mir ja es sei [0,a] mit a < 2.
denn wenn ich [0,2) nehme, wird bei der gleichmäßigen konvergenz ja das supremum über alle x gebildet und da ist das supremum ja 2 und hier würde die reihe divergieren. also kann sie auf diesem intervall nicht gleichmäßig konvergieren.
wenn ich jedoch [0,a] betrachte, wäre a das supremum, jedoch wäre das supremum nun <2 und daher auch in der menge. beim supremum wäre nun der ausdruck |(1-a)| < 1 und daher würde es dann für dieses intervall gleichmäßig konvergieren, da es für das supremum aller x konvergiert?
reicht das?
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Hiho,
> reicht das?
als Idee ja.
Und nun mathematisch formal aufschreiben.
Na dann los.
MFG,
Gono
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