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Funktionenfole; gleichm. Konv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 So 16.02.2020
Autor: nosche

Aufgabe
Untersuche auf gleichmäßige Konvergenz für x [mm] \in \IR [/mm]
[mm] f_n(x)=\bruch {1}{1+nx^2+n^2x^4} [/mm]

Hallo Wissende,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=-1 oder x>=1} \\ ?0?, & \mbox{für } |x| \mbox{ <1 und x!=0} \end{cases} [/mm]
mit dem letzten Teil hab ich Probleme. Ein Plot der Funktion (Anhang)für n=1,2,3,4 legt nahe, dass dort [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x)=f(x)=0 [/mm] ist.
Zu zeigen wäre: [mm] |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)|< \varepsilon [/mm]
[mm] \vmat{\bruch {1}{1+nx^2+n^2x^4}} [/mm] = [mm] \bruch {1}{1+nx^2+n^2x^4}=\bruch {1}{1+nx^2(1+nx^2)} [/mm]
ich scheitere daran, nachzuweisen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{x\rightarrow 0}x^2=\infty [/mm] für alle |x|<1 und x!=0

hoffend nosche
[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Funktionenfole; gleichm. Konv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 So 16.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(n)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } \mbox{ x=0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ <=-1 oder x>=1} \\ ?0?, & \mbox{für } |x| \mbox{ <1 und x!=0} \end{cases}[/mm]

Ja, es ist $f(x) = [mm] \delta_0(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1 & x=0 \\ 0 & \text{ sonst } \end{cases}$ [/mm]

>  Zu zeigen wäre: [mm]|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-0|=|f_n(x)|< \varepsilon[/mm]

Für jedes feste $x$!

> ich scheitere daran, nachzuweisen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*\limes_{x\rightarrow 0}x^2=\infty[/mm]
> für alle |x|<1 und x!=0

Wo kommt das [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}$ [/mm] her? Das hat da nix zu suchen.
Es ist zu zeigen, für [mm] $x\not=0$, [/mm] dass gilt: [mm] $\lim_{n\to\infty} f_n(x) [/mm] = 0$
Wie du siehst, kein [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}$ [/mm]
Dafür brauchst du also nur [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*x^2=\infty[/mm] für [mm] $x\not=0$. [/mm]

Das das gilt, ist dir hoffentlich klar.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Funktionenfole; gleichm. Konv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 So 16.02.2020
Autor: nosche


> Für jedes feste [mm]x[/mm]!

>  Wo kommt das [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] her? Das hat da nix
> zu suchen.
> Dafür brauchst du also nur
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*x^2=\infty[/mm] für [mm]x\not=0[/mm].
>  

Danke Gono
Da hatte ich wohl einen riesigen Denkfehler

> Das das gilt, ist dir hoffentlich klar.

Oh weh, nein (Trivialitäten sind für mich ein anderes Wort für "der reine Horror")
Ich würde das "hoffentlich kar" so begründen:
x ist fest, und damit konstant, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n = [mm] \infty. [/mm] Und [mm] \infty*Konstante=\infty [/mm]

bitte mach, dass das stimmt
nosche



Bezug
                        
Bezug
Funktionenfole; gleichm. Konv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 So 16.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  x ist fest, und damit konstant,

[ok]

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n = [mm]\infty.[/mm] Und
> [mm]\infty*Konstante=\infty[/mm]

Fast.
Das gilt natürlich nur, falls die Konstante positiv ist, was hier aber wegen $x [mm] \not=0$ [/mm] der Fall ist.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Funktionenfole; gleichm. Konv.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 So 16.02.2020
Autor: nosche


> Hiho,

hallo Gono,
danke für den letzten Schliff

> Fast.
>  Das gilt natürlich nur, falls die Konstante positiv ist,
> was hier aber wegen [mm]x \not=0[/mm] der Fall ist.
>  

vg
nosche

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