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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Sa 15.12.2007 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Beantworten Sie für untenstehende Funktionen die folgenden Fragen:
1. Ist die Abbildung wohldefinert?
2. Ist die Abbildung linear?
3. Ist die Abbildung stetig?
iii. [mm] S:L^1(\IR) \to L^2(\IR) [/mm] mit [mm] S(f)(x)=\wurzel{\parallel f\parallel_{L^1} If(x)I} [/mm] sign(f(x))
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Ich kann leider nicht mehr so viel mit der Signumfunktion anfangen. Außerdem verstehe ich nicht wie man die vorraussetzungen verwenden kann.
Stimmt es, dass [mm] L^2\subset L^1 [/mm] gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Sa 15.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beantworten Sie für untenstehende Funktionen die folgenden
> Fragen:
> 1. Ist die Abbildung wohldefinert?
> 2. Ist die Abbildung linear?
> 3. Ist die Abbildung stetig?
>
> iii. [mm]S:L^1(\IR) \to L^2(\IR)[/mm] mit [mm]S(f)(x)=\wurzel{\parallel f\parallel_{L^1} If(x)I}[/mm]
> sign(f(x))
>
>
> Ich kann leider nicht mehr so viel mit der Signumfunktion
> anfangen. Außerdem verstehe ich nicht wie man die
> vorraussetzungen verwenden kann.
Ich denke, für die Wohldefiniertheit musst du zeigen, dass das Bild S(f) quadratintegrabel ist, also für beliebige [mm]f\in L^1(\IR)[/mm] gilt: [mm]S(f)\in L^2 (\IR)[/mm]. Dazu benutzt die Definition der Norm [mm]\|\cdot\|_2[/mm].
Linearität kannst du einfach nachrechnen.
> Stimmt es, dass [mm]L^2\subset L^1[/mm] gilt?
Ja.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 16.12.2007 | | Autor: | jumape |
Mir fehlt glaube ich so ein bisc<hen der Durchblick, jedenfalls kann ich die Linearität nicht so einfach nachrechnen.
Wenn ich nämlich S(f+g)(x) betrachte erhalte ich:
[mm] S(f+g)(x)=\wurzel{\parallel f+g \parallel_{L^1}I(f+g)(x)I} [/mm] sign((f+g)(x))
[mm] \le\wurzel{(\parallel f \parallel +\parallel g\parallel) (If(x)I + Ig(x)I)} [/mm]
wegen der Dreiecksungleichung, damit habe ich aber die Linearität schon gebrochen, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 16.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mir fehlt glaube ich so ein bisc<hen der Durchblick,
> jedenfalls kann ich die Linearität nicht so einfach
> nachrechnen.
> Wenn ich nämlich S(f+g)(x) betrachte erhalte ich:
> [mm]S(f+g)(x)=\wurzel{\parallel f+g \parallel_{L^1}I(f+g)(x)I}[/mm]
> sign((f+g)(x))
> [mm]\le\wurzel{(\parallel f \parallel +\parallel g\parallel) (If(x)I + Ig(x)I)}[/mm]
>
> wegen der Dreiecksungleichung, damit habe ich aber die
> Linearität schon gebrochen, oder nicht?
Mit einer Ungleichung sagst du gar nichts über die Linearität aus. Du musst
[mm] S(f+g)(x)=\wurzel{\parallel f+g \parallel_{L^1}|(f+g)(x)|}\mathrm{sgn}((f+g)(x))[/mm]
mit
[mm] S(f)(x) + S(g)(x) = \wurzel{\parallel f \parallel_{L^1}|f(x)|} \mathrm{sgn}(f(x)) + \wurzel{\parallel g \parallel_{L^1}|g(x)|} \mathrm{sgn}(g(x))[/mm]
vergleichen. Ist es gleich, dann ist deine Abbildung S linear.
Kann das für alle f und g überhaupt der Fall sein? Sieht nicht so aus. Am besten du gibst ein Gegenbeispiel an.
Tipp: wähle [mm]g=c\cdot f[/mm] für reelles c und beachte [mm]\mathrm{sgn}(x*y) = \mathrm{sgn}(x)*\mathrm{sgn}(y)[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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