Funktionen Grenzwerte < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 18.04.2006 | | Autor: | Kylie04 |
| Aufgabe | | Man soll den Grenzwert von $f(x)= [mm] \wurzel{2-x}$ [/mm] für x gegen -2 vermuten und dann beweisen. |
Als Vermutung habe ich den Grenwert 2.
Um das zu beweisen haben wir eine Definition gelernt (irgendetwas mit [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\eta$) [/mm] . Aber genau verstanden habe ich es nicht. Geht das genauso wie mit den Folgen?
Der Beweis geht etwa so:
Es sei [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ vorgegeben Es ist $ f(x) [mm] \in U_{\varepsilon} [/mm] (2) [mm] \gdw 2-\varepsilon [/mm] < [mm] \wurzel{2-x}<\varepsilon+2 [/mm] $ . Das löst man dann nach x auf und erhält [mm] $-2-\varepsilon*(4+\varepsilon)
Dann wählt man ein [mm] $\eta =\varepsilon*(4-\varepsilon)$ [/mm] dann folgt aus
[mm] $-2-\eta
Kann mir jemand dabei helfen? Ich verstehe wie man das umformt usw aber nicht diese Definition. Danke schonmal für die Hilfe.
|
|
| |
|
Hallo Kylie04!!!!
... und einen schönen Tag!!!
Ich bin zwar nocht nicht so ganz in der 12.Klassse, Klasse 10 , aber ich werde mal versuchen zu helfen![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") .
Also, wenn ich mir die Funktion
[mm]f(x):=y=\wurzel{2-x}[/mm]
angucke, dann bin ich recht sicher, dass sie auf jeden Fall in [mm] \IR [/mm] keine Grenzwerte hat.
Meine Vermutung ist, die Funktion lautet vielleicht in Wirklichkeit:
[mm]f(x):=y=\left \bruch{\ \blue{1}}{\wurzel{2-x}} \right [/mm]
Diese Funktion hätte tatsächlich für [mm]x=2[/mm] einen Grenzwert.
Dies kann man so begründen:
Wenn [mm]x[/mm] gegen [mm]2[/mm] strebt, so wird der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante immer kleiner. Sie geht gegen [mm]0[/mm], muss jedoch in [mm] \IR [/mm] immer größer oder gleich Null sein.([mm]D \ge0[/mm])
Wird die Diskriminante immer kleiner, so wird auch der gesammte Ausdruck
[mm]\wurzel{2-x}[/mm]
immer kleiner. Begründung: Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend.
Geht nun der gesammte Nenner des Bruches innfolge dessen gegen
[mm]0[/mm], so wird der Funktionswert [mm]y[/mm] immer größer.
Zum Beispiel ist für [mm]x=1,98[/mm] bereits [mm]y=707107[/mm].
Für [mm]x=2[/mm] ensteht dann der undefinierte Ausdruck:
[mm]f(2):=y=\left \bruch{1}{\wurzel{2-2}} \right =\left \bruch{1}{\wurzel{0}} \right =\left \bruch{1}0} \right[/mm]
Das ist der Genzwert selber.
Wir der Graph der Funktion gezeichnet, so kann der Funktionswert für [mm]x=2[/mm] auch nicht abgelesen werden; nur man sich dem Agument [mm]2[/mm] der Funktion bilibig annähern. Dabei werden die Funktionswerte [mm]y[/mm] aber auch bilibig groß!
Aber so ganz entspricht diese Argumentation wohl nicht dem Beweis, den du bracust, irgendwas ist da noch mit limes... und sowas halt![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
Naja dieser ![[]](/images/popup.gif) Link
sollte dir auch noch helfen, deinen Beweis erbringen zu können.
Ich hoffe auf jeden Fall, dass ich dir trotzdem etwas helfen konnte!!
Mit den besten Grüßen
Goldener Schnitt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Kylie04 |
Hallo Goldener Schnitt,
danke für deine ausführliche Antwort.
Du weißt ja ziemlich viel, da glaube ich fast gar nicht, dass du in der 10. Klasse bist  .
Die Funktion heißt aber wirklich so wie ich sie hingeschrieben habe und der
Grenzwert für $x [mm] \to [/mm] -2 $ von $ [mm] \wurzel{2-(-2)} [/mm] $ ist 2 denn ich habe die -2 da einfach eingesetzt . Vielleicht hast du -2 einfach mit 2 verwechselt. Aber das ist ja nicht so schlimm, inzwischen habe ich es besser verstanden.
Ciao und danke
Kylie04
|
|
|
|
