Funktion nicht differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:29 Mi 12.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Die Abbildung f:[-1,1] [mm] \to \IR [/mm] sei definiert durch:
[mm] f(x)=:\begin{cases} 1/6x^3 , & \mbox{für } \mbox{ -1 kleiner gleich x kleiner 0 } \\ ln( \wurzel[]{1+x^2}), & \mbox{für } \mbox{ 0 kleiner gleich x kleiner gleich 1} \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie , daß die Funktion f stetig in [-1,1] ist.
b) Zeigen Sie , daß die Funktion f auf (-1,1 ) differenzierbar ist und berechnen Sie ihre Ableitung.
c) Zeigen Sie , daß die Funktion f auf (-1,1 ) nicht zweimal differenzierbar ist.
d) Bestimmen Sie inf {f([-1,1])} |
Hallo,
auf den ersten Blick dachte ich, dass ich die Aufgabe ohne fremde Hilfe lösen kann. Da habe ich mich aber geirrt:
Ich habe folgende Fragen:
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zu a) Mit " f stetig in [-1,1] " ist doch das Intervall von -1...1 einschließlich der Werte -1 und +1 gemeint. Augenscheinlich ist die Funktion stückenweise stetig. Aber wie ich das allgemeingültig zeigen soll weiß ich nicht.
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zu b) Die Ableitungen (1/2)* [mm] x^2 [/mm] und [mm] \bruch{x}{1+x^2} [/mm] zu berechnen ist auch nicht das Problem. Aber allgemein zu zeigen, dass die Funktion differenzierbar ist, bringe ich nicht.
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zu c) Wieso ist denn die Funktion nicht zweimal differenzierbar???
Wenn ich mich nicht verrechnet habe lauten die Abltungen: x und [mm] \bruch{x^3-2x^2+x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
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zu d) Um das Minimum zu bestimmen muß ich doch nur die 1. Ableitung jeweils Null setzen, Nachweis mit 2. Ableitung usw.....
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Wer kann mir bei der Aufgabe weiterhelfen??
Ich bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Besten Dank im Voraus
Gruß didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
> zu a) Mit " f stetig in [-1,1] " ist doch das Intervall
> von -1...1 einschließlich der Werte -1 und +1 gemeint.
> Augenscheinlich ist die Funktion stückenweise stetig. Aber
> wie ich das allgemeingültig zeigen soll weiß ich nicht.
Der "kritische Punkt" ist hier ja die Schnittstelle, die "Nahtstelle" zwischen den beiden Teilfunktionen; sprich die Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
Für den Nachweis der Stetigkeit müssen also der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert existieren sowie mit dem eigentlichen Funktionswert [mm] $f(x_0) [/mm] \ = \ f(0) \ = \ ...$ übereinstimmen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ f(0)$
> zu b) Die Ableitungen (1/2)* [mm]x^2[/mm] und [mm]\bruch{x}{1+x^2}[/mm]
> zu berechnen ist auch nicht das Problem. Aber allgemein zu
> zeigen, dass die Funktion differenzierbar ist, bringe ich
> nicht.
Auch hier ist der kritische Punkt wieder [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ . Für Differenzierbarkeit muss überall der Differenzenquotient existieren:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
> zu c) Wieso ist denn die Funktion nicht zweimal
> differenzierbar???
> Wenn ich mich nicht verrechnet habe lauten die Abltungen: x
> und [mm]\bruch{x^3-2x^2+x}{(1+x^2)^2}[/mm]
Beim 2. Teil hast Du Dich verrechnet. Ich habe erhalten: $f''(x) \ = \ [mm] \bruch{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2} [/mm] \ [mm] \text{ (für }0 [/mm] \ < \ x \ < \ 1 \ [mm] \rext{)}$.
[/mm]
Stimmen denn hier linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ überein?
> _________________________________________________________
> zu d) Um das Minimum zu bestimmen muß ich doch nur die 1.
> Ableitung jeweils Null setzen, Nachweis mit 2. Ableitung
> usw.....
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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