Funktion mehrerer Variablen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie das Verhältnis von zwischen L und K an, bei dem Y maximal wird.
Berechnung mittels eliminierung einer Variablen. Es gilt L+K=C
[mm] Y=K^\alpha L^1^-^\alpha [/mm] |
Hallo zusammen,
habe das Verhältnis mittels Lagrange problemlos ausrechnen können, jedoch nicht mittels eliminierung einer Variablen.
Wenn ich eine Variable eliminieren will gehe ich so vor:
L wird substituiert: [mm] Y=K^\alpha (C-K)^{1-\alpha}
[/mm]
Wenn ich die erste Ableitung ausrechne und dies y'=0 setze (normales Differenzieren, da ja nur eine Variable) erhalte ich wiederum das gleiche Verhältnis wie bei der Lagrangemethode (mit TI 200 nachgerechnet).
Die eigentliche Frage ist jetzt:
Gibt es eine Möglichkeit dieses Verhältnis als Maximum zu beweisen OHNE die zweite Ableitung der Funktion machen zu müssen.
Diese ist seeeeeehr komplex!
Vielen Dank für euere Hilfe.
Gruss Archimedes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Fr 22.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Verrate folgendes:
1. Was darf [mm] \alpha [/mm] sein ? Ich vermute: [mm] \alpha \ne [/mm] 1 und [mm] \alpha [/mm] >0
2. Aus welchen Mengen stammen K und L, also was ist der Def.-bereich von Y
3. Deine Rechnungen ?
FRED
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Hallo Fred,
danke für die Antwort. [mm] \alpha [/mm] ist definiert für 0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] 1.
Aus welchen Mengen K und L stammen ist nicht angegeben. Aus der Aufgabenstellung lässt sich jedoch herauslesen, dass K+L=C für C eine Konstante ist.
Ich habe die Berechnungen bewusst nicht auf die Plattform gestellt weil ich der Meinung bin grundsätzlich einen Fehler gemacht zu haben.
Die zweite Ableitung der Funktion [mm] Y=K^{\alpha} (C-K)^{1-\alpha} [/mm] ist so komplex, dass es keinen Sinn mach das Maximum so zu beweisen.
Kann man das nicht anhand der Funktion? Ist ja eine Wachstumsfunktion oder? Je grösser K oder L wird jesto grösser wird Y?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Fr 22.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für die Antwort. [mm]\alpha[/mm] ist definiert für 0 [mm]\le[/mm] a
> [mm]\le[/mm] 1.
Betrachte zunächst die Fälle [mm] \alph=0 [/mm] und [mm] \alpha=1. [/mm] Dann: [mm] \alpha \in [/mm] (0,1).
>
> Aus welchen Mengen K und L stammen ist nicht angegeben.
Nat, toll !
> Aus
> der Aufgabenstellung lässt sich jedoch herauslesen, dass
> K+L=C für C eine Konstante ist.
Ja, soweit war ich auch schon !
>
> Ich habe die Berechnungen bewusst nicht auf die Plattform
> gestellt weil ich der Meinung bin grundsätzlich einen
> Fehler gemacht zu haben.
Du bist ja witzig. Wie sollen wir dann diesen Fehler finden ???
FRED
>
> Die zweite Ableitung der Funktion [mm]Y=K^{\alpha} (C-K)^{1-\alpha}[/mm]
> ist so komplex, dass es keinen Sinn mach das Maximum so zu
> beweisen.
>
> Kann man das nicht anhand der Funktion? Ist ja eine
> Wachstumsfunktion oder? Je grösser K oder L wird jesto
> grösser wird Y?
>
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Hallo Fred,
was meinst Du mit betrachten der Funktion unter der Bedingung [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \alpha=1.
[/mm]
Setze ich diese Punkte in die Gleichung so erhalte ich für erstere c-k und für die zweite k. Das bringt mir so nichts. Wenn ich diese Funktionen dann zwei mal ableite erhalte ich Null. Was ich weiss ist das die Funktion von c-k bis k definiert ist.
Zur Berechnung:
[mm] u=K^{\alpha} [/mm] u' [mm] =\alpha K^{\alpha-1}
[/mm]
[mm] v=(C-K)^{1-\alpha} [/mm] v'= [mm] -(1-\alpha)(C-K)^{-\alpha}
[/mm]
[mm] u'v+v'u=\alpha k^{\alpha-1}*(C-K)^{1-\alpha}-(1-\alpha)(C-K)^{-\alpha}k^{\alpha}
[/mm]
Dies Ableitung setze ich =0 und erhalte k=a*C.
Die zweite Ableitung ist wie gesagt zu Komplex um diese zu lösen. Es muss doch einen besseren Ansatz geben für den Beweis oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 22.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Fred,
>
> was meinst Du mit betrachten der Funktion unter der
> Bedingung [mm]\alpha=0[/mm] und [mm]\alpha=1.[/mm]
>
> Setze ich diese Punkte in die Gleichung so erhalte ich für
> erstere c-k und für die zweite k. Das bringt mir so
> nichts. Wenn ich diese Funktionen dann zwei mal ableite
> erhalte ich Null. Was ich weiss ist das die Funktion von
> c-k bis k definiert ist.
>
>
> Zur Berechnung:
>
> [mm]u=K^{\alpha}[/mm] u' [mm]=\alpha K^{\alpha-1}[/mm]
>
> [mm]v=(C-K)^{1-\alpha}[/mm] v'= [mm]-(1-\alpha)(C-K)^{-\alpha}[/mm]
>
> [mm]u'v+v'u=\alpha k^{\alpha-1}*(C-K)^{1-\alpha}-(1-\alpha)(C-K)^{-\alpha}k^{\alpha}[/mm]
>
>
> Dies Ableitung setze ich =0 und erhalte k=a*C.
>
> Die zweite Ableitung ist wie gesagt zu Komplex um diese zu
> lösen. Es muss doch einen besseren Ansatz geben für den
> Beweis oder nicht?
Na ja,
wenn man Potenzgesetze kennt, könnte man glatt auf die Idee kommen,
[mm] Y=K^\alpha*L^{1-\alpha} [/mm] umzuformen in
[mm] Y=L*(\bruch{K}{L})^\alpha
[/mm]
Witzigerweise kommt darin sogar das Verhältnis K:L vor.
Gruß Abakus
>
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Hallo Abakus,
ich versteht nicht ganz was Du damit meinst. Den Begriff kann ich so herleiten.
Was soll ich nun mit diesem anfangen? Die Ableitung inst ja noch komplizierter.
Ich muss vonn der Aufgabe wissen wie viel man in K respektive wie viel man in L investieren muss um eine maximalen output zu erhalten.
Z.B. für k=a*C .
Normalerweise braucht man für die verfizierung eines Maximums die zweiter Ableitung und setzt dort den erhaltenen Wert für y'=0 ein.
Nochmals: Gibt es eine andere Möglichkeit ohne die zweite Ableitung zu machen?
Gruss
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In der Aufgabenstellung ist klar ersichtlich das weder mit lagrange noch mit einer anderen Methode (ausser Elimination einer Variablen) gearbeitet werden darf.
Die Funktion ist in dieser Darstellung noch schwiereiger zu differezieren.
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:29 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
es ist ein Maximum, wenn die Funktion links davon steigt und rechts davon fällt. Nachdem Du gerade die *Steigung* ausgerechnet hast, sollte sich das rausfinden lassen. =)
ciao
Stefan
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Ich verstehe jetzt wirklich nicht mehr was genau ich machen muss. Ich habe mir schon sehr viele Möglickeiten skizziert und durchdacht.
Ich komme einfach auf kein Resultat welches ich ansatzweise verstehe.
Falls mir jemand weiterhelfen kann bin ich sehr dankbar.
Gruss
Archimedes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich verstehe jetzt wirklich nicht mehr was genau ich machen muss.
Du sollst mir sagen, oben Y(K) links von [mm] $\alpha [/mm] C$ steigt und rechts davon fällt. Wenn es das tut, dann ist [mm] $\alpha [/mm] C$ ein Hochpunkt.
Du hast gerade die Steigung von Y(K) berechnet, also wende sie an.
Wenn Du bei Deiner Ableitung noch ausklammerst, dann wird das auch viel übersichtlicher:
[mm] $Y'(K)=\alpha K^{\alpha-1}\cdot{}(C-K)^{1-\alpha}-(1-\alpha)(C-K)^{-\alpha}K^{\alpha} =K^{\alpha-1}(C-K)^{-\alpha}(\alpha [/mm] C -K)$
Ist [mm] $K^{\alpha-1}$ [/mm] positiv oder negativ?
Ist [mm] $(C-K)^{-\alpha}$ [/mm] positiv oder negativ?
Was ist mit [mm] $(\alpha [/mm] C-K)$?
Was folgt also für Y'?
ciao
Stefan
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Hallo Blech,
vielen Dank für die Antwort.
Ist $ [mm] K^{\alpha-1} [/mm] $ positiv oder negativ? Positiv
Ist $ [mm] (C-K)^{-\alpha} [/mm] $ positiv oder negativ? Positiv
Was ist mit $ [mm] (\alpha [/mm] C-K) $? ich versteht nicht ob dies
positiv oder negativ sein soll. Für [mm] \alpha=0 [/mm] ist es negativ, für [mm] \alpha [/mm] = 1 ist
es C-K --> L+K=C also ist C-K=L.
Was folgt also für Y'?
Was mache ich jetzt weiter mit diesen Erkenntnissen? Die Steigung kann sowohl positiv als auch negativ sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Betrachten wir mal den Teil:
[mm]\mathbb{Y}(K)=(\alpha C-K)[/mm]
Was passiert mit diesem in der Umgebung von [mm]K=\alpha C[/mm]?
Betrachte also mal für [mm] h\geq0 [/mm] :
[mm]\mathbb{Y}((\alpha C+h))=(\alpha C-(\alpha C+h))=\ldots\stackrel{?}{\stackrel{<}{>}}0[/mm]
und
[mm]\mathbb{Y}((\alpha C-h))=(\alpha C-(\alpha C-h))=\ldots\stackrel{?}{\stackrel{<}{>}}0[/mm]
Was passiert dann mit
[mm] $\mathbb{Y}(K)=(\alpha [/mm] C-K)$ an der Stelle [mm]K=\alpha C[/mm]?
Und was dann mit der Ableitung [mm] Y'(K)=\alpha K^{\alpha-1}\cdot{}(C-K)^{1-\alpha}-(1-\alpha)(C-K)^{-\alpha}K^{\alpha} =K^{\alpha-1}(C-K)^{-\alpha}(\alpha C -K) [/mm] aus der Antwort von Blech
Marius
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$ [mm] \mathbb{Y}(K)=(\alpha [/mm] C-K) $
Was passiert mit diesem in der Umgebung von $ [mm] K=\alpha [/mm] C $?
Es ergibt 0.
Betrachte also mal für $ [mm] h\geq0 [/mm] $ :
$ [mm] \mathbb{Y}((\alpha C+h))=(\alpha C-(\alpha C+h))=\ldots\stackrel{?}{\stackrel{<}{>}}0 [/mm] $
Y wird grösser als null, da h zunimmt.
und
$ [mm] \mathbb{Y}((\alpha C-h))=(\alpha C-(\alpha C-h))=\ldots\stackrel{?}{\stackrel{<}{>}}0 [/mm] $
y wird kleiner als Null, da h abnimmt.
Was passiert dann mit
$ [mm] \mathbb{Y}(K)=(\alpha [/mm] C-K) $ an der Stelle $ [mm] K=\alpha [/mm] C $?
Da dies der einzige Ausdruck in der Funktion ist bei welchem das vorzeichen nicht definiert ist kann dieser entweder positiv oder negativ werden.
Das gleiche geschieht dann mit der gesamten Ableitung.
Ich verstehe aber nicht ganz was du damit meinst.
Ich bin dir sehr dankbar für deine Hilfe. Wir hatten bis anhin eigentlich nur Aufgaben die ziemlich einfach lösbar waren. Ich glaube, dass diese Aufgabe irgendwie einfacher gelöst werden könnte. Ich denke nicht das von dies jemand aus unserer Klasse lösen könnte....
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]\mathbb{Y}(K)=(\alpha C-K)[/mm]
>
> Was passiert mit diesem in der Umgebung von [mm]K=\alpha C [/mm]?
>
>
> Es ergibt 0.
>
> Betrachte also mal für [mm]h\geq0[/mm] :
>
> [mm]\mathbb{Y}((\alpha C+h))=(\alpha C-(\alpha C+h))=\ldots\stackrel{?}{\stackrel{<}{>}}0[/mm]
>
> Y wird grösser als null, da h zunimmt.
Nein, [mm] $\mathbb{Y}((\alpha C+h))=(\alpha C-(\alpha C+h))=\ldots=-h<0$
[/mm]
Und analog:
[mm] $\mathbb{Y}((\alpha C+h))=(\alpha C-(\alpha C+h))=\ldots=h>0$
[/mm]
Und damit hast du einen Vorzeichenwechsel.
Und diesen hast du dann auch in der Ableitung
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Hallo Rex,
vielen Dank für die Antwort.
Ja das stimmt. Es gibt einen Vorzeichenwechsel.
Wie soll ich jetzt dies auf die zweite Ableitung schliessen können ohne das ich sie gemacht habe?
Wie soll ich jetzt behaupten können, dass für [mm] K=\alpha [/mm] C ein Maximum existiert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Fr 22.04.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
du musst nicht die 2 te ableitung ausrechnen!
mal dir mal irgendeine fkt mit nem max auf. du solltest 2 eigenschaften sehen. wenn das max bei [mm] x_0 [/mm] liegt.
1, die Funktion selbst ist für Werte [mm] x_0-d [/mm] und [mm] x_0+d [/mm] (d klein) kleiner als bei [mm] x_0 [/mm] das ist eine Möglichkeit ein max zu erkennen.
2, die funktion steigt links von [mm] x_0) [/mm] also [mm] f_(x_0-d)>0 [/mm] und fällt rechts von [mm] x_o [/mm] also [mm] f'(x_0+d)<0
[/mm]
wieder ein kennzeichen für max.
3. wegen 2. ist [mm] f'(x_0) [/mm] fallend (geht von >0 nach <0, also ist die ableitung von f' also f'' negativ.
das mit der 2.ten ableitung ist also ne Folge von 2. deshalb kannst du auch gleich 2. benutzen (oder 1.)
(das stur mit [mm] f''(x_0) [/mm] zu machen, zeigt dass du eigentlich nicht weisst warum aus f''<0 ein max folgt wenn f'=0 ist.
Vielleicht ergänzt du mal dein Profil, das scheint ja Unistoff zu sein und da solte man nicht einfach nach Schema f arbeiten!
gruss leduart
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Hallo Leduart,
vielen Dank für die super Antworten. Habe jetzt einiges begriffen. Nein, ich bin nich an der Uni. Bin an einer FH und Mathe ist nicht unser Schwerpunkt.
Also zu der zweiten Ableitung. Diese sagt doch die Art der Änderung der Krümmung aus. Je nach dem für >0 linksgerkümmt (also ein Minimum) und für <0 rechtsgekrümmt (also ein Maximum).
Die Betrachtungsweise wie Ihr sie jetzt hier gemacht habt hatten wir in der Theorie mal angeschaut und seither nach dem Schema f gearbeitet (nicht überall).
Ich verstehe jetzt was Du meinst. Ist es wichtig in dieser Aufgabenstellung auf diese Art und weise auf das Maximum zu verweisen?
Dann habe ich noch was. Du schreibst:
3. wegen 2. ist $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ fallend (geht von >0 nach <0, also ist die ableitung von f' also f'' negativ.
das mit der 2.ten ableitung ist also ne Folge von 2. deshalb kannst du auch gleich 2. benutzen (oder 1.)
Also ich bekomme für [mm] f'(x_0) [/mm] den Wert 0. Für die zweite Ableitung wäre der Wert fallend [mm] (f''(x_0)<0)?
[/mm]
Vielen Dank nochmals.
Archimedes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Sa 23.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Leduart,
>
> vielen Dank für die super Antworten. Habe jetzt einiges
> begriffen. Nein, ich bin nich an der Uni. Bin an einer FH
> und Mathe ist nicht unser Schwerpunkt.
>
> Also zu der zweiten Ableitung. Diese sagt doch die Art der
> Änderung der Krümmung aus. Je nach dem für >0
> linksgerkümmt (also ein Minimum) und für <0
> rechtsgekrümmt (also ein Maximum).
ja, aber nur unter der notwendigen Bedingung [mm] f'(x_{0})=0 [/mm] hast du an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] ein Maximum/Minimum.
>
> Die Betrachtungsweise wie Ihr sie jetzt hier gemacht habt
> hatten wir in der Theorie mal angeschaut und seither nach
> dem Schema f gearbeitet (nicht überall).
Meistens geht das auch, manchmal eben aber auch nicht.
>
> Ich verstehe jetzt was Du meinst. Ist es wichtig in dieser
> Aufgabenstellung auf diese Art und weise auf das Maximum zu
> verweisen?
Welche Möglichkeit der hinreichenden Bedingung für die  Extremstelle du nutzt, ist egal.
>
> Dann habe ich noch was. Du schreibst:
>
> 3. wegen 2. ist [mm]f'(x_0)[/mm] fallend (geht von >0 nach <0, also
> ist die ableitung von f' also f'' negativ.
> das mit der 2.ten ableitung ist also ne Folge von 2.
> deshalb kannst du auch gleich 2. benutzen (oder 1.)
>
> Also ich bekomme für [mm]f'(x_0)[/mm] den Wert 0. Für die zweite
> Ableitung wäre der Wert fallend [mm](f''(x_0)<0)?[/mm]
Das ist auch korrekt, für das Maximum an der stelle [mm] x_{0} [/mm] gilt:
[mm] f'(x_{0})=0 [/mm] (notwendige Bedingung)
und [mm] f''(x_{0})<0 [/mm] (eine Möglichkeit der hinreichenden Bedinung)
>
> Vielen Dank nochmals.
>
> Archimedes
>
Marius
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