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Funktion "kleinster Eigenwert": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Fr 18.05.2012
Autor: kevin-m.

Aufgabe
Sei $X$ eine symmetrische Matrix aus dem [mm] $\mathbb R^{n \times n}$. [/mm] Es bezeichne [mm] $\rho_{min}(X)$ [/mm] den kleinsten Eigenwert der Matrix $X$.

Aufgabe 1: Zeigen, Sie, dass die Abbildung $f: [mm] S^{n \times n} \to \mathbb [/mm] R$,  
[mm] $f(X)=\rho_{min}(X)$ [/mm]
eine konkave Abbildung ist. Dabei ist [mm] $S^{n \times n} [/mm] $ die Menge aller symmetrischen Matrizen aus dem [mm] $\mathbb R^{n \times n}$. [/mm]

Aufgabe 2: Ist $f$ differenzierbar?

Hallo,

Aufgabe 1 habe ich wie folgt gelöst:

Zu zeigen ist $$ f(tX+(1-t)Y) [mm] \geq t\cdot [/mm] f(X)+(1-t)f(Y)$ für $X,Y [mm] \in $S^{n \times n} [/mm] $$

Beweis:
[mm] $$t\cdot [/mm] f(X)+(1-t)f(Y) = t [mm] \rho_{min}(X)+(1-t)\rho_{min}(Y)=t \rho_{min}(X)+ \rho_{min}(Y)+t \rho_{min}(-Y) [/mm] $$
[mm] $$\leq [/mm] t [mm] \rho_{min}(X-Y) [/mm] + [mm] \rho_{min}(Y) [/mm] = [mm] \rho_{min}(tX-tY)+\rho_{min}(Y)\leq \rho_{min}(tX-tY+Y) [/mm] = f(tX+(1-t)Y)$$
Also ist $f$ konkav.
Anmerkung: Die im Beweis verwendete Ungleichung $ [mm] \rho_{min}(A) [/mm] +  [mm] \rho_{min}(B) \leq \rho_{min}(A+B)$ [/mm] darf als bekannt vorausgesetzt werden.

Ist der Beweis zur Aufgabe 1 korrekt?

Nun zur Aufgabe 2:
Ich müsste ja per Definition zeigen, dass der Grenzwert
$$
[mm] \lim_{X \to Y}\frac{f(X)-f(Y)}{X-Y} [/mm]
$$
nicht existiert. Das Problem ist, dass $X-Y$ im Nenner auftaucht, obwohl  $X-Y$ nicht invertierbar sein könnte.
Wie kann ich dieses Problem beheben bzw. die Differenzierbarkeit von $f$ auf andere Art und Weise zeigen?

Vielen Dank im Voraus!

Freundliche Grüße,
Kevin

        
Bezug
Funktion "kleinster Eigenwert": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Fr 18.05.2012
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm]X[/mm] eine symmetrische Matrix aus dem [mm]\mathbb R^{n \times n}[/mm].
> Es bezeichne [mm]\rho_{min}(X)[/mm] den kleinsten Eigenwert der
> Matrix [mm]X[/mm].
>  
> Aufgabe 1: Zeigen, Sie, dass die Abbildung [mm]f: S^{n \times n} \to \mathbb R[/mm],
>  
> [mm]f(X)=\rho_{min}(X)[/mm]
>   eine konkave Abbildung ist. Dabei ist [mm]S^{n \times n}[/mm] die
> Menge aller symmetrischen Matrizen aus dem [mm]\mathbb R^{n \times n}[/mm].
>  
> Aufgabe 2: Ist [mm]f[/mm] differenzierbar?
>  Hallo,
>  
> Aufgabe 1 habe ich wie folgt gelöst:
>  
> Zu zeigen ist [mm]f(tX+(1-t)Y) \geq t\cdot f(X)+(1-t)f(Y)$ für $X,Y \in $S^{n \times n}[/mm]
>  
> Beweis:
>  [mm]t\cdot f(X)+(1-t)f(Y) = t \rho_{min}(X)+(1-t)\rho_{min}(Y)=t \rho_{min}(X)+ \rho_{min}(Y)+t \rho_{min}(-Y)[/mm]
>  
> [mm]\leq t \rho_{min}(X-Y) + \rho_{min}(Y) = \rho_{min}(tX-tY)+\rho_{min}(Y)\leq \rho_{min}(tX-tY+Y) = f(tX+(1-t)Y)[/mm]
>  
> Also ist [mm]f[/mm] konkav.
>  Anmerkung: Die im Beweis verwendete Ungleichung
> [mm]\rho_{min}(A) + \rho_{min}(B) \leq \rho_{min}(A+B)[/mm] darf
> als bekannt vorausgesetzt werden.
>  
> Ist der Beweis zur Aufgabe 1 korrekt?

Sieht gut aus.

>  
> Nun zur Aufgabe 2:
>  Ich müsste ja per Definition zeigen, dass der Grenzwert
>
>  [mm]\lim_{X \to Y}\frac{f(X)-f(Y)}{X-Y}[/mm]
>
>  nicht existiert.

Das ist Unsinn: so ist die Differentierbarkeit i.A. nicht definiert. Lediglich für Funktionen von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] geht das.

Schau mal die Definition der Differentierbarkeit von Funktionen von [mm] $\IR^n$ [/mm] nach [mm] $\IR^m$ [/mm] nach.

  Viele Grüße
    Rainer




Bezug
                
Bezug
Funktion "kleinster Eigenwert": Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:47 Fr 18.05.2012
Autor: kevin-m.

Hallo,

danke für die Korrektur. Ich habe nun die Definition der Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen nachgeschlagen.

Da meine Funktion von $ [mm] \mathbb R^n$ [/mm] nach $ [mm] \mathbb [/mm] R$ abbildet, schreibe ich die Def. für diesen Fall :

Eine Funktion $f: [mm] \mathbb R^n \to \mathbb [/mm] R $ heißt differenzierbar an der Stelle [mm] $x_0$, [/mm] wenn es eine lineare Abbildung $L: [mm] \mathbb R^n \to \mathbb [/mm] R $ gibt, so dass folgendes gilt:

$$
[mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(x_0)h}{\left \| h \right \|}=0 [/mm]
$$

Also muss ich zeigen:

$$
[mm] \lim_{H\to 0}\frac{\rho_{min}(X_0+H)-\rho_{min}(X_0)-L(X_0)H}{\left \| H \right \|_2}=0 [/mm]
$$

wobei ich für Matrizen immer Großbuchstaben verwende und als Norm die euklidische Norm wähle.

Ich weiß jetzt nicht, wie ich da weiter machen soll. Irgendwie weiter umformen oder kann man so eine lineare Abbildung $L$ explizit angeben?

Vielen Dank!

Gruß,
Kevin


Bezug
                        
Bezug
Funktion "kleinster Eigenwert": Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 So 20.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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