Funktion implizit definiert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Durch [mm] z^3+2xy-4xz+2y-1=0 [/mm] wird die Funktion z=z(x,y) der Variablen x,y implizit definiert. Berechnen Sie z'(1,1) |
Hallo :)
Ich weiß noch nicht genau Aufgabe lösen soll.
Ich habe zwei Möglichkeiten gedacht:
1. Ich löse die Gleichung nach z = ?! auf. Die dort beschrieben Funktion ist dann z. Von dieser Bilde ich den Gradienten und setze hier den Punkt (1,1) ein.
Das Problem hierbei ist, dass ich die obige Funktion nicht auf die Form z= ?! bekomme, sondern lediglich [mm] z^3-z [/mm] :(
oder 2.
Ich bilde die partielle Ableitung nach z. In diese setze ich den Punkt (1,1) ein. Dieser Weg wäre der deutlich einfachere, jedoch glaube ich eher das der obere der richtige Weg wäre?
Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe weiterhelfen könnte
Viele Grüße :)
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Hallo LittleStudi,
> Durch [mm]z^3+2xy-4xz+2y-1=0[/mm] wird die Funktion z=z(x,y) der
> Variablen x,y implizit definiert. Berechnen Sie z'(1,1)
> Hallo :)
>
> Ich weiß noch nicht genau Aufgabe lösen soll.
>
> Ich habe zwei Möglichkeiten gedacht:
>
> 1. Ich löse die Gleichung nach z = ?! auf. Die dort
> beschrieben Funktion ist dann z. Von dieser Bilde ich den
> Gradienten und setze hier den Punkt (1,1) ein.
>
> Das Problem hierbei ist, dass ich die obige Funktion nicht
> auf die Form z= ?! bekomme, sondern lediglich [mm]z^3-z[/mm] :(
>
> oder 2.
>
> Ich bilde die partielle Ableitung nach z. In diese setze
> ich den Punkt (1,1) ein. Dieser Weg wäre der deutlich
> einfachere, jedoch glaube ich eher das der obere der
> richtige Weg wäre?
>
Wie aus der Aufgabe hervorgeht,
setze z=z(x,y) und differenziere dann nach x bzw. y.
>
> Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe
> weiterhelfen könnte
>
> Viele Grüße :)
Grus
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
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> > Durch [mm]z^3+2xy-4xz+2y-1=0[/mm] wird die Funktion z=z(x,y) der
> > Variablen x,y implizit definiert. Berechnen Sie z'(1,1)
> > Hallo :)
> >
> > Ich weiß noch nicht genau Aufgabe lösen soll.
> >
> > Ich habe zwei Möglichkeiten gedacht:
> >
> > 1. Ich löse die Gleichung nach z = ?! auf. Die dort
> > beschrieben Funktion ist dann z. Von dieser Bilde ich den
> > Gradienten und setze hier den Punkt (1,1) ein.
> >
> > Das Problem hierbei ist, dass ich die obige Funktion nicht
> > auf die Form z= ?! bekomme, sondern lediglich [mm]z^3-z[/mm] :(
> >
> > oder 2.
> >
> > Ich bilde die partielle Ableitung nach z. In diese setze
> > ich den Punkt (1,1) ein. Dieser Weg wäre der deutlich
> > einfachere, jedoch glaube ich eher das der obere der
> > richtige Weg wäre?
> >
>
>
> Wie aus der Aufgabe hervorgeht,
> setze z=z(x,y) und differenziere dann nach x bzw. y.
>
Muss ich sie dann etwa nicht vorher umformen auf einen Audruck z (x,y) = .... ?
>
> >
> > Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe
> > weiterhelfen könnte
> >
> > Viele Grüße :)
>
>
> Grus
> MathePower
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|
Hallo LittleStudi,
> > Hallo LittleStudi,
> >
> > > Durch [mm]z^3+2xy-4xz+2y-1=0[/mm] wird die Funktion z=z(x,y) der
> > > Variablen x,y implizit definiert. Berechnen Sie z'(1,1)
> > > Hallo :)
> > >
> > > Ich weiß noch nicht genau Aufgabe lösen soll.
> > >
> > > Ich habe zwei Möglichkeiten gedacht:
> > >
> > > 1. Ich löse die Gleichung nach z = ?! auf. Die dort
> > > beschrieben Funktion ist dann z. Von dieser Bilde ich den
> > > Gradienten und setze hier den Punkt (1,1) ein.
> > >
> > > Das Problem hierbei ist, dass ich die obige Funktion nicht
> > > auf die Form z= ?! bekomme, sondern lediglich [mm]z^3-z[/mm] :(
> > >
> > > oder 2.
> > >
> > > Ich bilde die partielle Ableitung nach z. In diese setze
> > > ich den Punkt (1,1) ein. Dieser Weg wäre der deutlich
> > > einfachere, jedoch glaube ich eher das der obere der
> > > richtige Weg wäre?
> > >
> >
> >
> > Wie aus der Aufgabe hervorgeht,
> > setze z=z(x,y) und differenziere dann nach x bzw. y.
> >
> Muss ich sie dann etwa nicht vorher umformen auf einen
> Audruck z (x,y) = .... ?
>
Nein, das ist nicht erforderlich.
> >
> > >
> > > Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe
> > > weiterhelfen könnte
> > >
> > > Viele Grüße :)
> >
> >
> > Grus
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
>
>
> > > Hallo LittleStudi,
> > >
> > > > Durch [mm]z^3+2xy-4xz+2y-1=0[/mm] wird die Funktion z=z(x,y) der
> > > > Variablen x,y implizit definiert. Berechnen Sie z'(1,1)
> > > > Hallo :)
> > > >
> > > > Ich weiß noch nicht genau Aufgabe lösen soll.
> > > >
> > > > Ich habe zwei Möglichkeiten gedacht:
> > > >
> > > > 1. Ich löse die Gleichung nach z = ?! auf. Die dort
> > > > beschrieben Funktion ist dann z. Von dieser Bilde ich den
> > > > Gradienten und setze hier den Punkt (1,1) ein.
> > > >
> > > > Das Problem hierbei ist, dass ich die obige Funktion nicht
> > > > auf die Form z= ?! bekomme, sondern lediglich [mm]z^3-z[/mm] :(
> > > >
> > > > oder 2.
> > > >
> > > > Ich bilde die partielle Ableitung nach z. In diese setze
> > > > ich den Punkt (1,1) ein. Dieser Weg wäre der deutlich
> > > > einfachere, jedoch glaube ich eher das der obere der
> > > > richtige Weg wäre?
> > > >
> > >
> > >
> > > Wie aus der Aufgabe hervorgeht,
> > > setze z=z(x,y) und differenziere dann nach x bzw.
> y.
> > >
> > Muss ich sie dann etwa nicht vorher umformen auf einen
> > Audruck z (x,y) = .... ?
> >
>
>
> Nein, das ist nicht erforderlich.
>
Aber was geschieht dann mit dem hoch 3? oder steht dann da [mm] z(x,y)^3 [/mm] ? Aber wie leite ich das ab?
>
> > >
> > > >
> > > > Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe
> > > > weiterhelfen könnte
> > > >
> > > > Viele Grüße :)
> > >
> > >
> > > Grus
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo LittleStudi,
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> > > >
> > > > Wie aus der Aufgabe hervorgeht,
> > > > setze z=z(x,y) und differenziere dann nach x bzw.
> > y.
> > > >
> > > Muss ich sie dann etwa nicht vorher umformen auf einen
> > > Audruck z (x,y) = .... ?
> > >
> >
> >
> > Nein, das ist nicht erforderlich.
> >
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> Aber was geschieht dann mit dem hoch 3? oder steht dann da
> [mm]z(x,y)^3[/mm] ? Aber wie leite ich das ab?
Das leitest Du dann mit der Kettenregel ab.
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> > > > >
> > > > > Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe
> > > > > weiterhelfen könnte
> > > > >
> > > > > Viele Grüße :)
> > > >
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> > > > Grus
> > > > MathePower
> > >
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> >
> > Gruss
> > MathePower
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Gruss
MathePower
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> Hallo LittleStudi,
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> > > > > Wie aus der Aufgabe hervorgeht,
> > > > > setze z=z(x,y) und differenziere dann nach x
> bzw.
> > > y.
> > > > >
> > > > Muss ich sie dann etwa nicht vorher umformen auf einen
> > > > Audruck z (x,y) = .... ?
> > > >
> > >
> > >
> > > Nein, das ist nicht erforderlich.
> > >
> >
> > Aber was geschieht dann mit dem hoch 3? oder steht dann da
> > [mm]z(x,y)^3[/mm] ? Aber wie leite ich das ab?
>
>
> Das leitest Du dann mit der
> Kettenregel ab.
>
Ich glaube ich steh auf dem Schlauch :(
ich habe doch gar keine Funktion z die ich ableiten kann, oder?
Ich habe ja nichts umgeformt oder was schreibe ich anstatt z(x,y) ? :/
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> > > > > > Es wäre schön, wenn mir jemand mit der Aufgabe
> > > > > > weiterhelfen könnte
> > > > > >
> > > > > > Viele Grüße :)
> > > > >
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> > > > > Grus
> > > > > MathePower
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> > > Gruss
> > > MathePower
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> Gruss
> MathePower
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Vielen Dank :)
Ich habe es nun auch mit diesem Satz versucht zu lösen, komme aber irgendwie nicht weiter.
Also die partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] (x,y,z) = [mm] \bruch{2y-4z}{3z^2-4x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial z}{\partial y} [/mm] (x,y,z) = [mm] \bruch{2x-2}{3z^2-4x}
[/mm]
Wenn ich hier nun den Punkt (1,1) einsetze erhalte ich jeweils
[mm] \bruch{2-4z}{3z^2-4}
[/mm]
[mm] \bruch{4}{3z^2-4}
[/mm]
Ist das etwa meine Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank :)
>
> Ich habe es nun auch mit diesem Satz versucht zu lösen,
> komme aber irgendwie nicht weiter.
>
> Also die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] (x,y,z) =
> [mm]\bruch{2y-4z}{3z^2-4x}[/mm]
Das stimmt nicht.
>
> [mm]\bruch{\partial z}{\partial y}[/mm] (x,y,z) =
> [mm]\bruch{2x-2}{3z^2-4x}[/mm]
Das stimmt auch nicht.
>
> Wenn ich hier nun den Punkt (1,1) einsetze erhalte ich
> jeweils
>
> [mm]\bruch{2-4z}{3z^2-4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{4}{3z^2-4}[/mm]
>
> Ist das etwa meine Lösung?
Hast Du Die Aufgabenstellung komplett wiedergegeben ? Ist da nicht die Rede von einer implizit def. Funktion z mit z(1,1)=1 ?
FRED
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Ja, habe die Aufgabenstellung genau wiedergegeben :( Dort ist z nur als implizite Funktion der Variablen x,y definiert.
Ich komme immer wieder auf die selbe partiellen Ableitungen...
ich muss doch jeweils nach x und nach y Ableiten und dieses dann durch die Ableitung nach z teilen, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, habe die Aufgabenstellung genau wiedergegeben :( Dort
> ist z nur als implizite Funktion der Variablen x,y
> definiert.
>
> Ich komme immer wieder auf die selbe partiellen
> Ableitungen...
> ich muss doch jeweils nach x und nach y Ableiten und
> dieses dann durch die Ableitung nach z teilen, oder?
Rechne hier vor !
FRED
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Die Funktion ist [mm] z^3+2xy-4xz+2y-1=0
[/mm]
partielle Ableitung nach x ist: 2y-4z der Rest fällt weg, da sie wie Konstanten behandelt werden, oder?
partielle Ableitung nach y ist: 2x+2
und nach z ist: [mm] 3z^2-4x
[/mm]
was mache ich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Aus
$ [mm] z^3+2xy-4xz+2y-1=0 [/mm] $
folgt:
[mm] $3z^2*z_x+2y-4z=0$
[/mm]
Edit: es ist natürlich
[mm] $3z^2*z_x+2y-4z-4x*z_x=0$
[/mm]
FRED
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Das verstehe ich nicht :(
Ist das die partielle Ableitung nach x? Aber warum leitet man zugleich auch [mm] z^3 [/mm] nach z ab? und woher kommt [mm] z_x?
[/mm]
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Hallo LittleStudi!
> Ist das die partielle Ableitung nach x?
Ja.
> Aber warum leitet man zugleich auch [mm]z^3[/mm] nach z ab?
Weil $z \ = \ z(x,y)$ auch von $x_$ und $y_$ abhängig ist.
> und woher kommt [mm]z_x?[/mm]
Das ist die innere Ableitung gemäß  Kettenregel.
Gruß vom
Roadrunner
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also ich versuche es dann mal für y:
[mm] 3z^2\cdot{}z_x-2x+2 [/mm] = 0 ? stimmt das?
die partiellen Ableitungen nach z stimmen aber oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> also ich versuche es dann mal für y:
>
> [mm]3z^2\cdot{}z_x-2x+2[/mm] = 0 ? stimmt das?
Nein.
Richtig:
[mm]3z^2\cdot{}z_x+2x+2[/mm] = 0
FRED
>
> die partiellen Ableitungen nach z stimmen aber oder?
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Achso, aber weshalb wird bei der partiellen Ableitung nur [mm] z^3 [/mm] mitbeachten und nicht auch -4xz?
Noch eine weitere Frage muss es eigentlich nocht [mm] 3z^2 [/mm] * [mm] z_y [/mm] heißen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, aber weshalb wird bei der partiellen Ableitung nur
> [mm]z^3[/mm] mitbeachten und nicht auch -4xz?
>
> Noch eine weitere Frage muss es eigentlich nocht [mm]3z^2[/mm] * [mm]z_y[/mm]
> heißen?
Ja, Da hab ich mich verschrieben ! Aber oben waren auch noch Fehler von mir drin. Deshalb nochmal von vorne:
Ableiten nach x liefert:
[mm] $3z^2*z_x+2y-4z-4x*z_x=0$
[/mm]
Ableiten nach x liefert:
[mm] $3z^2*z_y+2x-4xz_y+2=0$
[/mm]
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> > Achso, aber weshalb wird bei der partiellen Ableitung nur
> > [mm]z^3[/mm] mitbeachten und nicht auch -4xz?
> >
> > Noch eine weitere Frage muss es eigentlich nocht [mm]3z^2[/mm] * [mm]z_y[/mm]
> > heißen?
>
> Ja, Da hab ich mich verschrieben ! Aber oben waren auch
> noch Fehler von mir drin. Deshalb nochmal von vorne:
>
> Ableiten nach x liefert:
>
> [mm]3z^2*z_x+2y-4z-4x*z_x=0[/mm]
>
> Ableiten nach x liefert:
>
> [mm]3z^2*z_y+2x-4xz_y+2=0[/mm]
>
>
>
Okay, langsam wird es etwas klarer :)
Nun benötige ich für den Nenner noch meine partiellen Ableitungen nach z oder?
Waren diese richtig mit [mm] 3z^2-4x? [/mm]
Ich habe dann noch eine andere Frage, wenn ich diese Ableitungen nun habe und für x,y die 1 einsetze, wie bekomme ich dann ein Ergebnis heraus? Sowohl für [mm] z_x, z_y [/mm] als auch für z kann ich ja nichts einsetzen :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Achso, aber weshalb wird bei der partiellen Ableitung nur
> > > [mm]z^3[/mm] mitbeachten und nicht auch -4xz?
> > >
> > > Noch eine weitere Frage muss es eigentlich nocht [mm]3z^2[/mm] * [mm]z_y[/mm]
> > > heißen?
> >
> > Ja, Da hab ich mich verschrieben ! Aber oben waren auch
> > noch Fehler von mir drin. Deshalb nochmal von vorne:
> >
> > Ableiten nach x liefert:
> >
> > [mm]3z^2*z_x+2y-4z-4x*z_x=0[/mm]
> >
> > Ableiten nach x liefert:
> >
> > [mm]3z^2*z_y+2x-4xz_y+2=0[/mm]
> >
> >
> >
> Okay, langsam wird es etwas klarer :)
>
> Nun benötige ich für den Nenner noch meine partiellen
> Ableitungen nach z oder?
Nein, wieso das ?
Löse obige Gleichungen nach [mm] z_x [/mm] bzw [mm] z_y [/mm] auf.
>
> Waren diese richtig mit [mm]3z^2-4x?[/mm]
>
> Ich habe dann noch eine andere Frage, wenn ich diese
> Ableitungen nun habe und für x,y die 1 einsetze, wie
> bekomme ich dann ein Ergebnis heraus? Sowohl für [mm]z_x, z_y[/mm]
> als auch für z kann ich ja nichts einsetzen :(
Deswegen hab ich ja oben gefragt, ob Du die Aufgabenstellung komplett wiedergegeben hast.
Eine Lösung der Gleichung
[mm] $z^3+2xy-4xz+2y-1=0$
[/mm]
ist x=y=1. Dann kannst Du von z(1,1)=1 ausgehen.
FRED
FRED
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wenn ich das nun auflöse, erhalte ich:
[mm] z_x [/mm] = [mm] \bruch{-2y+4z}{3z^2-4x} [/mm]
[mm] z_y [/mm] = [mm] \bruch{-2x+2}{3z^2-4x}
[/mm]
wenn ich hier nun für x,y,und z 1 einsetzte bekomme ich dann mein z'(1,1) = [mm] (z_x,z_y) [/mm] heraus?
also z'(1,1) = (-2,0) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> wenn ich das nun auflöse, erhalte ich:
>
> [mm]z_x[/mm] = [mm]\bruch{-2y+4z}{3z^2-4x}[/mm]
>
> [mm]z_y[/mm] = [mm]\bruch{-2x+2}{3z^2-4x}[/mm]
>
> wenn ich hier nun für x,y,und z 1 einsetzte bekomme ich
> dann mein z'(1,1) = [mm](z_x,z_y)[/mm] heraus?
>
> also z'(1,1) = (-2,0) ?
Ja
FRED
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Prima, dann habe ich es nun verstanden :)
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe :)
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Satz von der impliziten Funktion