Funktion differenzierbar < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 So 09.02.2014 | | Autor: | yonca |
Hallo zusammen,
ich habe eine allgemeine Frage bezüglich der Differenzierbarkeit von Funktionen. Und zwar lautet meine Frage: wie kann man bei einer gegebenen Funktion am schnellsten und einfachsten erkennen, ob sie an einer bestimmten Stelle differenzierbar ist oder nicht, ohne den Funktionsgraphen zu zeichnen? Also, kann ich anhand der Formel für die Funktion oder deren Ableitung immer eindeutig erkennen, ob an einer bestimmten Stelle eine eindeutige Tangente existiert?
Leider habe ich diesbezüglich einige Lücken und wäre dankbar,wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße,
Yonca
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Hi,
reden wir hier von Funktionen [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] ? Also Funktionen einer Dimension? Ich nehme an, dass das so sei.
Zum einen könntest du doch den Grenzwert [mm] \lim_{h\to0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h} [/mm] berechnen. Wenn dieser existiert, dann ist f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] diffbar.
Außerdem gilt ja auch: Die Komposition diffbarer Funktionen ist wieder diffbar. Damit vereinfacht sich auch so manches.
Weiterhin kannst du doch einfach mal die Ableitung bilden und schauen, ob sie an der Stelle [mm] x_0 [/mm] überhaupt existiert.
Bsp: Bekanntlich ist f(x)=|x| bei x=0 nicht diffbar.
[mm] f(x)=\sqrt{x^2} [/mm] und damit [mm] f'(x)=\frac{1}{2}2x*\frac{1}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}
[/mm]
Und damit erkennt man, dass es bei x=0 hier kracht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 09.02.2014 | | Autor: | yonca |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
> Hi,
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> reden wir hier von Funktionen [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] ? Also
> Funktionen einer Dimension? Ich nehme an, dass das so sei.
Ja, das meinte ich :)
>
> Außerdem gilt ja auch: Die Komposition diffbarer
> Funktionen ist wieder diffbar. Damit vereinfacht sich auch
> so manches.
Dazu frage ich mich nun folgendes: Angenommen man hat die Funktion [mm] y(x)=\sqrt{\bruch{8-x^5}{x^4}}
[/mm]
Das wäre doch die Komposition aus folgenden Funktionen: [mm] g(x)=\sqrt{x} [/mm] und [mm] p(s)=\bruch{8-s^5}{s^4}. [/mm] Also: y=g [mm] \circ [/mm] p Dabei wäre doch die Wurzelfunktion g auf [mm] ]0,\infty[ [/mm] differenzierbar und die Funktion p auf dem Intervall [mm] ]-\infty,0[ [/mm] und [mm] ]0,\infty[ [/mm] . Ist das richtig so?
Dann würde ich ja nun annehmen, dass die Funktion y(x) auf [mm] ]0,\infty[ [/mm] differenzierbar ist. Aber das stimmt ja nicht, denn ich weiß, dass die Funktion y in [mm] \wurzel[5]{8} [/mm] nicht differenzierbar ist. Wie passt das zusammen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast selbs für die Wurzelfkt x=0 ausgeschlossen, also ist auch die Komposition an der inneren Nullstelle [mm] 8-x^5 [/mm] =0 nicht differenzierbar.
gruß leduart
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Hi,
beachte auch den Definitonsbereich von deiner Funktion. Der ist hier durchaus interessant....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> reden wir hier von Funktionen [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] ? Also
> Funktionen einer Dimension? Ich nehme an, dass das so sei.
>
> Zum einen könntest du doch den Grenzwert
> [mm]\lim_{h\to0}\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{h}[/mm] berechnen. Wenn
> dieser existiert, dann ist f an der Stelle [mm]x_0[/mm] diffbar.
Hallo Richie,
das stimmt zwar, aber obiger Grenzwert liefert, im Fall der Existenz,
[mm] $-f'(x_0)$
[/mm]
Du meinst sicher [mm] \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
[/mm]
FRED
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> Außerdem gilt ja auch: Die Komposition diffbarer
> Funktionen ist wieder diffbar. Damit vereinfacht sich auch
> so manches.
>
> Weiterhin kannst du doch einfach mal die Ableitung bilden
> und schauen, ob sie an der Stelle [mm]x_0[/mm] überhaupt
> existiert.
>
> Bsp: Bekanntlich ist f(x)=|x| bei x=0 nicht diffbar.
>
> [mm]f(x)=\sqrt{x^2}[/mm] und damit
> [mm]f'(x)=\frac{1}{2}2x*\frac{1}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|}[/mm]
>
> Und damit erkennt man, dass es bei x=0 hier kracht.
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