www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Stetigkeit" - Funktion, Stetigkeit
Funktion, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktion, Stetigkeit: Rechenansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 Sa 21.04.2012
Autor: Grischa

Aufgabe
Die Funktion [mm]g : \IR \to \IR[/mm] sei gegeben durch:

[mm]g(x)=\begin{cases} cos(\frac{1}{x}), & \text{falls }x \not= 0 \\ 0, & \text{falls }x = 0 \\ \end{cases}[/mm]

Untersuchen Sie, für welche [mm]x \in \IR[/mm] diese Funktionen stetig sind. (Insbesondere ist also zu untersuchen, ob diese Funktionen im Punkt [mm]x_{0} = 0[/mm] stetig sind.



Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Erstmal einmal aufzeichnen und sich einen groben Überblick ist durch den Cos ja fast unmöglich.

Und auch die Stetigkeit in 0 nachzuweisen, bereitet mir Probleme.

Ich brauche ja eine Folge [mm]x_{n} \to 0[/mm] . Bei Stetigkeit würde also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) = g(x_0)[/mm] .  Aber [mm]g(0) = 1[/mm] ...

Bitte um Denkansätze. Viele Grüße.

        
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Sa 21.04.2012
Autor: Grischa


> Aber [mm]g(0) = 1[/mm] ...

Das ist quatsch, ist durch die Fallunterscheidung ja 0 ...



Bezug
        
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09


> Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Erstmal
> einmal aufzeichnen und sich einen groben Überblick ist
> durch den Cos ja fast unmöglich.

Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst, läuft [mm] $\bruch1x$ [/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der Funktionsgraph zwischen 1 und -1.


> Und auch die Stetigkeit in 0 nachzuweisen, bereitet mir
> Probleme.
>  
> Ich brauche ja eine Folge [mm]x_{n} \to 0[/mm] . Bei Stetigkeit
> würde also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_n) = g(x_0)[/mm] .  
> Aber [mm]g(0) = 0[/mm] ...

Betrachte mal [mm] $x_n=\bruch1{n*2\pi}$. [/mm]


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 11:04 Sa 21.04.2012
Autor: Richie1401


> > Mir fehlt leider der Ansatz bei dieser Aufgabe. Erstmal
> > einmal aufzeichnen und sich einen groben Überblick ist
> > durch den Cos ja fast unmöglich.
>  Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> Funktionsgraph zwischen 1 und -1.

Das müsste doch schon genügen.
Funktion ist stetig, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\0}f(x)=f(x_0) [/mm] ist.
Folglich die Frage: Existiert überhaupt der Grenzwert.

>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Bezug
                        
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 11:11 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09


>  >  Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> > läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> > Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
>  Das müsste doch schon genügen.
>  Funktion ist stetig, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0}f(x)=f(x_0)[/mm] ist.
>  Folglich die Frage: Existiert überhaupt der Grenzwert.

Im Prinzip hast du natürlich recht. Nur ist es schwierig, formal mit eher der Anschauungsebene entnommenen Begriffen wie "oszillieren" umzugehen. Da ist es deutlich einfacher, EINE konkrete Folge [mm] $x_n$ [/mm] zu betrachten.

Bezug
                
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Sa 21.04.2012
Autor: Grischa



>  Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,
> läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> Funktionsgraph zwischen 1 und -1.

[mm]\bruch{1}{x}[/mm] läuft doch gegen 0?!


>  Betrachte mal [mm]x_n=\bruch1{n*2\pi}[/mm].
>  

Sprich? Den Grenzwert bestimmen?

Ich glaube ich habe das Grundproblem noch nicht ganz durschaut. Also die Funktion spielt sich doch bedingt durch den cos nur um Invervall [0,1] ab. Ich soll also jetzt herausfinden für welche [mm]x \in \IR[/mm]die Funktion in diesem Intervall stetig ist.

Bisher haben wir das meistens erst einmal visualisiert und uns dann herangetastet.

Um die Stetigkeit zu beweisen, suche ich mir also irgend eine beliebige Folge, die konvergiert und beweise mit dieser Folge die Stetigkeit. (richtig?)

In diesem Fall also [mm]x_{n} = \bruch{1}{n \cdot 2\pi}[/mm] ???






Bezug
                        
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09


> >  Wenn du dich z.B. von rechts der Stelle 0 annäherst,

> > läuft [mm]\bruch1x[/mm] gegen unendlich. Somit osziliiert der
> > Funktionsgraph zwischen 1 und -1.
>  
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] läuft doch gegen 0?!

Nein, $x$ läuft von rechts gegen 0. Dann läuft [mm] $\bruch1x$ [/mm] gegen unendlich.

> >  Betrachte mal [mm]x_n=\bruch1{n*2\pi}[/mm].

>  >  
>
> Sprich? Den Grenzwert bestimmen?

Zeige [mm] \lim_{n\to\infty}x_n=0. [/mm]

Wenn $g$ stetig in $0$ ist, muss auch [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=g(0)=0$ [/mm] gelten.

Untersuche also [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)$. [/mm]

> Ich glaube ich habe das Grundproblem noch nicht ganz
> durschaut. Also die Funktion spielt sich doch bedingt durch
> den cos nur um Invervall [0,1] ab.

Die Funktionswerte von g liegen alle im Intervall [-1,1]. Definitionsbereich von g ist ganz [mm] $\IR$. [/mm]

> Ich soll also jetzt
> herausfinden für welche [mm]x \in \IR[/mm]die Funktion in diesem
> Intervall stetig ist.

(Du sollst herausfinden, für welche [mm] $x\in\IR$ [/mm] g an der Stelle $x$ stetig ist.)

> Um die Stetigkeit zu beweisen, suche ich mir also irgend
> eine beliebige Folge, die konvergiert und beweise mit
> dieser Folge die Stetigkeit. (richtig?)

Genau. Wobei "beliebig" im Falle des Nachweises der Stetigkeit im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] heißt, dass du keine Annahmen an die Folge stellst (außer dass sie gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert).

Willst du die Stetigkeit im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] wiederlegen, genügt die Betrachtung einer konkreten von dir gewählten Folge.

> In diesem Fall also [mm]x_{n} = \bruch{1}{n \cdot 2\pi}[/mm] ???

Das wäre so eine konkrete Folge. Wenn für sie nicht [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)\to [/mm] g(0)=0$ gilt, kann g im Punkte 0 nicht stetig sein. Anderenfalls müsstest du die Untersuchung auf Stetigkeit im Punkte 0 fortführen.

Bezug
                        
Bezug
Funktion, Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Sa 21.04.2012
Autor: tobit09

Zur Stetigkeit von g an den Stellen [mm] $x\not=0$: [/mm]


Variante 1:

Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=g(x)$. [/mm]

Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x\not=0$ [/mm] ist [mm] $x_n\not=0$ [/mm] für alle genügend großen n.

Daher gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=\lim_{n\to\infty}\cos(\bruch1{x_n})=\ldots$. [/mm]


Variante 2:

Zeige, dass die Abbildung

     [mm] $f\colon\IR\setminus\{0\}\to\IR,\quad f(x)=\cos(\bruch1x)$ [/mm]

stetig ist.

Sei nun [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$. [/mm] Da g und f in einer Umgebung (nämlich z.B. [mm] (0,\infty) [/mm] für x>0 und [mm] (-\infty,0) [/mm] für x<0) von x übereinstimmen, folgt aus der Stetigkeit von f im Punkte x die Stetigkeit von g im Punkte x.

(Kennt diesen Zusammenhang, dass es für die Stetigkeit einer Abbildung im Punkte x nur darauf ankommt, wie sie in einer Umgebung von x aussieht?)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]