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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion f: [mm] Gl(n,\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}: [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] det A für H [mm] \in \mathbb{R}^{n\times n} [/mm] gegeben ist durch
f'(A)H=detA [mm] tr(A^{-1}H).
[/mm]
Hinweis:
a) Schreiben Sie [mm] det(A+H)=det(A)det(I+A^{-1}H), [/mm] wobei I [mm] \in [/mm] Gl(n, [mm] \mathbb{R}) [/mm] die Identität ist.
b) Approximieren Sie die Funktion H [mm] \mapsto [/mm] det(I+H) durch eine lineare Abbildung.
c) Im Falle n=2, bzw. n=3 können Sie obige Formel auch explizit nachrechnen. |
Hallo,
ich bin leider mit dieser Aufgabe vollkommen überfordert und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Ich verstehe schonmal die Aufgabenstellung nicht ganz. Ich habe also eine Funktion die eine [mm] n\times [/mm] n Matrix mit reellen Einträgen auf ihre Determinante abbildet.
Was bedeutet nun aber das tr in der Ableitung? Das habe ich noch nie vorher gesehen.
Viele Grüße
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Fr 04.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion f:
> [mm]Gl(n,\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}:[/mm] A [mm]\mapsto[/mm] det A
> für H [mm]\in \mathbb{R}^{n\times n}[/mm] gegeben ist durch
>
> f'(A)H=detA [mm]tr(A^{-1}H).[/mm]
>
> Hinweis:
>
> a) Schreiben Sie [mm]det(A+H)=det(A)det(I+A^{-1}H),[/mm] wobei I [mm]\in[/mm]
> Gl(n, [mm]\mathbb{R})[/mm] die Identität ist.
> b) Approximieren Sie die Funktion H [mm]\mapsto[/mm] det(I+H) durch
> eine lineare Abbildung.
> c) Im Falle n=2, bzw. n=3 können Sie obige Formel auch
> explizit nachrechnen.
> Hallo,
>
> ich bin leider mit dieser Aufgabe vollkommen überfordert
> und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
>
> Ich verstehe schonmal die Aufgabenstellung nicht ganz. Ich
> habe also eine Funktion die eine [mm]n\times[/mm] n Matrix mit
> reellen Einträgen auf ihre Determinante abbildet.
>
> Was bedeutet nun aber das tr in der Ableitung? Das habe ich
> noch nie vorher gesehen.
tr = trace = spur
Ist B eine matrix, so ist tr(B) die Spur von B
FRED
>
> Viele Grüße
> congo
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