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| Aufgabe | Geg. ist f: (-1,1) -> [mm] \IR [/mm] mit|f(0)| [mm] \le [/mm] 1/2 und |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] 1/3 |(x-y)| für alle x,y aus (-1,1).
a) Man zeige: f((-1,1)) [mm] \subseteq [/mm] (-1,1).
b) Unter Benutzung von a) zeige man, dass durch [mm] x_0=0, x_{n+1} [/mm] = [mm] f(x_n), n\ge [/mm] 0 eine Cauchyfolge def. ist. |
So, dann fange ich mal mit meinen vielen Fragen an....:-(
Ich habe eine Funktion im o.g. Intervall gegeben. Aber was sagt mir das? Ist die Funktion nur in diesem Intervall definiert?
Was ist mein x, was mein y? x=-1?, y=1?
Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, was ich hier machen muss!?!?!
b) Cauchyfolge: Zahlenfolge, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 einen Index [mm] n_0 [/mm] gibt, von dem ab alle Abstände [mm] (a_n-a_m) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] sind.
Leider hiflt mir dieser Satz auch nicht weiter.
Vielen Dank vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Do 24.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Geg. ist f: (-1,1) -> [mm]\IR[/mm] mit If(0)I [mm]\le[/mm] 1/2 und
> If(x)-f(y)I [mm]\le[/mm] Ix-y) für alle x,y aus (-1,1).
> Anmerkung: I I habe ich für Betrag eingegeben, weil ich
> die Zeichen nicht gefunden habe.
Da kannst du einfach einen senkrechten Strich | schreiben: $|$.
> a) Man zeige: f(I-1,1I) [mm]\subseteq[/mm] (-1,1).
Soll das heißen: $f((-1,1)) [mm] \subseteq [/mm] (-1,1) $ ?
> b) Unter Benutzung von a) zeige man, dass durch [mm]x_0=0, x_{n+1} = f(x_n), n\ge0[/mm] eine Cauchyfolge def. ist.
> So, dann fange ich mal mit meinen vielen Fragen an....:-(
>
> Ich habe eine Funktion im o.g. Intervall gegeben. Aber was
> sagt mir das? Ist die Funktion nur in diesem Intervall
> definiert?
Ja. Über Punkte außerhalb des offenen Intervalls $(-1,1)$ wird nichts gesagt.
> Was ist mein x, was mein y? x=-1?, y=1?
In der Aufgabe steht: für alle x,y aus (-1,1). Das heißt, die Voraussetzung gilt, egal welche Werte aus (-1,1) du für x und y einsetzt.
> Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, was ich hier
> machen muss!?!?!
Die Aufgabe kann so nicht stimmen: mit der Voraussetzung
[mm] f: (-1,1)\to \IR [/mm] mit [mm]|f(0)|\le\bruch{1}{2}[/mm] und [mm] |f(x)-f(y)|\le |x-y|[/mm] für alle [mm] $x,y\in(-1,1)$.
[/mm]
nehme ich als Beispiel $f(x) = x + [mm] \bruch{1}{2}$. [/mm] Für diese Funktion ist aber
[mm] f((-1,1)) = (-1/2,3/2) [/mm]
Steht da nicht doch
[mm] |f(x)-f(y)|\le \red{\bruch{1}{2}}|x-y|[/mm] ?
> b) Cauchyfolge: Zahlenfolge, wenn zu jedem [mm]\varepsilon > 0 [/mm]
> einen Index [mm]n_0[/mm] gibt, von dem ab alle Abstände [mm](a_n-a_m) < \varepsilon[/mm] sind.
Du hast doch die Beziehung [mm] $x_{n+1} [/mm] = [mm] f(x_n)$. [/mm] Also ist
[mm] |x_m - x_n| = | f(x_{m-1}) -f(x_{n-1}| [/mm]
und auf die rechte Seite kannst du die Ungleichung aus Teil a) anwenden.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo!
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> > Geg. ist f: (-1,1) -> [mm]\IR[/mm] mit If(0)I [mm]\le[/mm] 1/2 und
> > If(x)-f(y)I [mm]\le[/mm] Ix-y) für alle x,y aus (-1,1).
> > Anmerkung: I I habe ich für Betrag eingegeben, weil
> ich
> > die Zeichen nicht gefunden habe.
>
> Da kannst du einfach einen senkrechten Strich | schreiben:
> [mm]|[/mm].
>
> > a) Man zeige: f(I-1,1I) [mm]\subseteq[/mm] (-1,1).
>
> Soll das heißen: [mm]f((-1,1)) \subseteq (-1,1)[/mm] ?
>
> > b) Unter Benutzung von a) zeige man, dass durch [mm]x_0=0, x_{n+1} = f(x_n), n\ge0[/mm]
> eine Cauchyfolge def. ist.
>
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> > So, dann fange ich mal mit meinen vielen Fragen an....:-(
> >
> > Ich habe eine Funktion im o.g. Intervall gegeben. Aber was
> > sagt mir das? Ist die Funktion nur in diesem Intervall
> > definiert?
>
> Ja. Über Punkte außerhalb des offenen Intervalls [mm](-1,1)[/mm]
> wird nichts gesagt.
Es tut mir leid, aber es ist ein abgeschlossenes Intervall vorausgesetzt.
>
> > Was ist mein x, was mein y? x=-1?, y=1?
>
> In der Aufgabe steht: für alle x,y aus (-1,1). Das heißt,
> die Voraussetzung gilt, egal welche Werte aus (-1,1) du
> für x und y einsetzt.
Ok, das habe ich soweit verstanden.
>
> > Ich weiß ehrlich gesagt überhaupt nicht, was ich hier
> > machen muss!?!?!
>
> Die Aufgabe kann so nicht stimmen: mit der Voraussetzung
>
> [mm]f: (-1,1)\to \IR[/mm] mit [mm]|f(0)|\le\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]|f(x)-f(y)|\le |x-y|[/mm] für alle [mm]x,y\in(-1,1)[/mm].
>
> nehme ich als Beispiel [mm]f(x) = x + \bruch{1}{2}[/mm]. Für diese
> Funktion ist aber
>
> [mm]f((-1,1)) = (-1/2,3/2)[/mm]
>
> Steht da nicht doch
>
> [mm]|f(x)-f(y)|\le \red{\bruch{1}{2}}|x-y|[/mm] ?
Sorry!!! Es muss hier heißen:
[mm]|f(x)-f(y)|\le \red{\bruch{1}{3}}|x-y|[/mm] ?
Ich habe [mm] \bruch{1}{3} [/mm] vergessen:-(
>
> > b) Cauchyfolge: Zahlenfolge, wenn zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm]
>
> > einen Index [mm]n_0[/mm] gibt, von dem ab alle Abstände [mm](a_n-a_m) < \varepsilon[/mm]
> sind.
>
> Du hast doch die Beziehung [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm]. Also ist
>
> [mm]|x_m - x_n| = | f(x_{m-1}) -f(x_{n-1}|[/mm]
>
> und auf die rechte Seite kannst du die Ungleichung aus Teil
> a) anwenden.
> Woher habe ich diese Beziehung? Wie komme ich darauf?
Leider verstehe ich von dieser Aufgabe so gut wie nichts...:-(
> Viele Grüße
> Rainer
>
Danke!
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> > > b) Cauchyfolge: Zahlenfolge, wenn zu jedem [mm]\varepsilon > 0[/mm]
>
> >
> > > einen Index [mm]n_0[/mm] gibt, von dem ab alle Abstände [mm](a_n-a_m) < \varepsilon[/mm]
> > sind.
> >
> > Du hast doch die Beziehung [mm]x_{n+1} = f(x_n)[/mm]. Also ist
> >
> > [mm]|x_m - x_n| = | f(x_{m-1}) -f(x_{n-1}|[/mm]
> >
> > und auf die rechte Seite kannst du die Ungleichung aus Teil
> > a) anwenden.
> Woher habe ich diese Beziehung?
Hallo,
aus dem Aufgabentext.
> Wie komme ich darauf?
> Leider verstehe ich von dieser Aufgabe so gut wie
> nichts...:-(
Wenn wir Dir helfen sollen, dann mußt Du etwas konkreter werden.
Gruß v. Angela
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Ich will mal die Lösung (geg. Musterlösung) notieren:
Für x [mm] \in [/mm] geschlossenes Intervall (-1,1) folgt:
|f(x)| [mm] \le [/mm] |f(x)-f(0)|+|f(0)| [mm] \le \bruch{1}{2}|x-0|+\bruch{1}{2} \le [/mm] 1.
Diese Aussage kann ich leider nicht verstehen bzw. nachvollziehen....
Wie komme ich auf diese Gleichung bzw. was will ich damit sagen? Was hat das mit (-1,1) zu tun?
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> Ich will mal die Lösung (geg. Musterlösung) notieren:
>
> Für x [mm]\in[/mm] geschlossenes Intervall (-1,1) folgt:
> |f(x)| [mm]\le[/mm] |f(x)-f(0)|+|f(0)| [mm]\le \bruch{1}{2}|x-0|+\bruch{1}{2} \le[/mm]
> 1.
>
> Diese Aussage kann ich leider nicht verstehen bzw.
> nachvollziehen....
> Wie komme ich auf diese Gleichung bzw. was will ich damit
> sagen? Was hat das mit (-1,1) zu tun?
Hallo,
lt. Aufgabenstellung sollst Du zeigen, daß für [mm] x\in [/mm] (-1,1) die Funktionswert [mm] f(x)\in [/mm] (-1,1) ist, also [mm] |f(x)|\le [/mm] 1.
Auf dieses Ziel wird nun in der Musterlösung zielstrebig zugesteuert.
Die Chefs nehmen sich ein [mm] x\in [/mm] (-1,1).
Es ist |f(x)|=|f(x)-f(0)+f(0)|, da steckt kein Zauber hinter.
Als nächstes kommt die Dreiecksungleichung.
Nach Voraussetzung ist
|f(x)-f(0)|+|f(0)| [mm][mm] \le \bruch{1}{3}|x-0|+\bruch{1}{2} [/mm] , und das ist natürlich kleiner als [mm] \bruch{1}{2}|x-0|+\bruch{1}{2}, [/mm] und weil [mm] x\in [/mm] (-1,1), bekommst Du, daß das kleiner als 1 ist, was man ja haben wollte.
Also kein mieser Trick dabei.
Gruß v. Angela
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> lt. Aufgabenstellung sollst Du zeigen, daß für [mm]x\in[/mm]
> (-1,1) die Funktionswert [mm]f(x)\in[/mm] (-1,1) ist, also
> [mm]|f(x)|\le[/mm] 1.
Wieso nehme ich die 1 bzw. will ich das zeigen? Der Schritt ist mir leider nicht klar.
>
> Auf dieses Ziel wird nun in der Musterlösung zielstrebig
> zugesteuert.
>
> Die Chefs nehmen sich ein [mm]x\in[/mm] (-1,1).
Wieso nehme ich mir hier nicht die -1?
>
> Es ist |f(x)|=|f(x)-f(0)+f(0)|, da steckt kein Zauber
> hinter.
Das ist mir klar, aber wofür brauche ich das?
>
> Als nächstes kommt die Dreiecksungleichung.
Wie komme ich darauf, dass ich die Dreiecksungleichung brauche?
>
> Nach Voraussetzung ist
>
Aber hier verstehe ich leider nichts mehr....:-(
> |f(x)-f(0)|+|f(0)| [mm][mm]\le \bruch{1}{3}|x-0|+\bruch{1}{2}[/mm] , und das ist natürlich kleiner als [mm]\bruch{1}{2}|x-0|+\bruch{1}{2},[/mm] und weil [mm]x\in[/mm] (-1,1), bekommst Du, daß das kleiner als 1 ist, was man ja haben wollte.
Also kein mieser Trick dabei.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
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> > lt. Aufgabenstellung sollst Du zeigen, daß für [mm]x\in[/mm]
> > (-1,1) die Funktionswert [mm]f(x)\in[/mm] (-1,1) ist, also
> > [mm]|f(x)|\le[/mm] 1.
> Wieso nehme ich die 1 bzw. will ich das zeigen? Der Schritt
> ist mir leider nicht klar.
Das steht in der Aufgabe: "Man zeige: $f((-1,1)) [mm] \subseteq [/mm] (-1,1)$."
Anders ausgedrückt: Zeige, dass für jedes x mit $-1<x<+1$ gilt: $-1<f(x)<+1$.
Und dies kannst du zusammenfassen zu $|f(x)|<1$.
> >
> > Auf dieses Ziel wird nun in der Musterlösung zielstrebig
> > zugesteuert.
> >
> > Die Chefs nehmen sich ein [mm]x\in[/mm] (-1,1).
>
> Wieso nehme ich mir hier nicht die -1?
Weil in der Aufgabe steht, dass f auf dem offenen Interval $(-1,+1)$ definiert ist.
Da gehört die -1 nicht dazu.
> >
> > Es ist |f(x)|=|f(x)-f(0)+f(0)|, da steckt kein Zauber
> > hinter.
> Das ist mir klar, aber wofür brauche ich das?
> >
> > Als nächstes kommt die Dreiecksungleichung.
> Wie komme ich darauf, dass ich die Dreiecksungleichung
> brauche?
Gute Frage. Erste Antwort: es ist immer einen Versuch wert, die Dreiecksungleichung auszuprobieren.
Hier liegt es deswegen nahe, weil es um Ungleichungen der Form
$|f(x)-f(y)| < [mm] \text{irgendwas}$
[/mm]
geht, und du außerdem eine Aussage über den speziellen Funktionswert $f(0)$ hast:
[mm] $|f(0)|\le \bruch{1}{2}$.
[/mm]
> >
> > Nach Voraussetzung ist
> >
> Aber hier verstehe ich leider nichts mehr....:-(
> > [mm]|f(x)-f(0)|+|f(0)| \le \bruch{1}{3}|x-0|+\bruch{1}{2}[/mm] , und das ist natürlich kleiner als [mm]\bruch{1}{2}|x-0|+\bruch{1}{2},[/mm] und weil [mm]x\in (-1,1)[/mm], bekommst Du, daß das kleiner als 1 ist, was man ja haben wollte.
Wenn man den Spezialfall $y=0$ betrachtet:
[mm] |f(x)-f(0)|\le \bruch{1}{3} |x-0| = \bruch{1}{3} |x| [/mm]
und die beiden Ungleichungen addiert:
[mm] |f(x)-f(0)| + |f(0) | \le \bruch{1}{3} |x| +\bruch{1}{2} [/mm]
dann kann man die linke Seite über die Dreiecksungleichung abschätzen:
[mm] |f(x) -f(0) + f(0)| \le |f(x)-f(0)| + |f(0) | \le \bruch{1}{3} |x| +\bruch{1}{2} [/mm]
Zusammengefasst:
[mm] |f(x)| \le \bruch{1}{3} |x| +\bruch{1}{2} [/mm]
Da aber $-1<x<+1$ ist, ist $|x| < 1 [mm] \implies \bruch{1}{3} [/mm] |x| < [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $,
und daher
[mm] |f(x)| \le \bruch{1}{3} |x| +\bruch{1}{2} < \bruch{1}{3} +\bruch{1}{2} < 1 [/mm],
also $|f(x)|<1$, was du zeigen solltest.
Viele Grüße
Rainer
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Erstmals danke an aller Helfer, die dazu beigetragen haben, dass ich die a) verstanden habe.... Vielen DANK!!!!
Jetzt würde ich gerne mit der b) fortfahren....
b) Aus der Aufgabenstellung ist ersichtlich, dass es sich um eine rekursiv def. Folge handelt.
Solche Folgen würde ich mit Hilfe der vollst. Induktion lösen.
Allerdings habe ich keine Vorstellung, was man unter eine Cauchy Folge versteht.... Def. habe ich zwar (siehe voheriger Verlauf), allerdings kann ich damit leider nichts anfangen bzw. ist mir nicht klar, was ich damit machen muss.
Da ich mit der Definition: " * [mm] \forall \varepsilon [/mm] > [mm] 0\quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\quad \forall [/mm] n, m [mm] \in \mathbb{N}\quad [/mm] m,n > [mm] n_{\varepsilon} [/mm] : [mm] d(a_n, a_m) \le \varepsilon [/mm] "
leider wenig anfangen kann, habe ich mir den Weg über die Konvergenz überlegt.
Ich weiß (aus der VL), dass jede monotone u. beschränkte Folge eine Cauchy Folge ist. Komme ich so auch zum Ziel?
Nur weiß ich hier nicht, welche Folge ich dann zum Bew. der Konvergenz verwenden muss.
Besten DANK!!!
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> Allerdings habe ich keine Vorstellung, was man unter eine
> Cauchy Folge versteht.... Def. habe ich zwar (siehe
> voheriger Verlauf), allerdings kann ich damit leider nichts
> anfangen bzw. ist mir nicht klar, was ich damit machen
> muss.
> Da ich mit der Definition: " * [mm]\forall \varepsilon[/mm] >
> [mm]0\quad \exists n_{\varepsilon} \in \mathbb{N}\quad \forall[/mm]
> n, m [mm]\in \mathbb{N}\quad[/mm] m,n > [mm]n_{\varepsilon}[/mm] : [mm]d(a_n, a_m) \le \varepsilon[/mm]
> "
> leider wenig anfangen kann,
Hallo,
es wäre schon wichtig zu wissen, was eine Cauchyfolge ist:
zu jedem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] gibt es eine "Schwelle" [mm] n_{\varepsilon}, [/mm] so daß beliebige, darauffolgende Folgenglieder nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] auseinanderliegen.
> habe ich mir den Weg über die
> Konvergenz überlegt.
> Ich weiß (aus der VL), dass jede monotone u. beschränkte
> Folge eine Cauchy Folge ist. Komme ich so auch zum Ziel?
Ich denke nicht.
Die Beschränktheit der Folge zu zeigen, ist kein Problem, aber mit der Monotonie wirst Du Schwierigkeiten haben.
Oder ist es Dir gelungen?
Es hatte Dir Rainer ja schon einen Hinweis gegeben, wie man anfangen könnte.
Sicher wäre es auch noch sinnvoll, sich zu überlegen, daß der Betrag sämtlicher Folgenglieder kleiner als 1 ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Do 01.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht nicht mein bester Tipp:
Verfahre genauso wie
![[]](/images/popup.gif) hier
FRED
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