Funktion Bildmenge < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
| Aufgabe | Hallo guten Tag ich habe gerade probleme bei dieser Aufgabe:
g(x) = [mm] \bruch{x - 1/x}{2}
[/mm]
p(x) = [mm] e^x [/mm]
[mm] D_p [/mm] = R
Dq = (0,unendlich)
a) Geben Sie die Bildmengen Bp und Bq an. (b) Zeigen Sie: q ist streng monoton wachsend. (d) Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen p?1 und q?1 und skizzieren Sie deren Graphen
a) [mm] B_q [/mm] = { y = q(x) | x Element [mm] D_q [/mm] }
Wäre das so in Ordnung? |
nicht gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 So 02.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo guten Tag ich habe gerade probleme bei dieser
> Aufgabe:
>
> g(x) = [mm]\bruch{x - 1/x}{2}[/mm]
>
> p(x) = [mm]e^x[/mm]
>
> [mm]D_p[/mm] = R
>
> Dq = (0,unendlich)
>
> a) Geben Sie die Bildmengen Bp und Bq an. (b) Zeigen Sie: q
> ist streng monoton wachsend. (d) Bestimmen Sie die
> Umkehrfunktionen p?1 und q?1 und skizzieren Sie deren
> Graphen
>
> a) [mm]B_q[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { y = q(x) | x Element [mm]D_q[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Wäre das so in Ordnung?
Na ja, Du hast nur die Definition der Bildmenge wiederholt, sonst nichts !
Gib die Bildmenge von q konkret an.
FRED
>
> nicht gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Wäre die Bildmenge nicht die Reelen Zahlen R ?
Aber ausgenommen ist die 0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 So 02.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wäre die Bildmenge nicht die Reelen Zahlen R ?
Von [mm] g(x)=\frac{1-\frac{1}{x}}{2}
[/mm]
>
> Aber ausgenommen ist die 0 ?
Nein, denn die simple Termumformung [mm] g(x)=\frac{1-\frac{1}{x}}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x} [/mm] sollte auch zeigen, welche Zahl in der Bildmenge [mm] B_{g} [/mm] nicht vorkommt.
Die Definitionsmenge von g dagegen ist [mm] D_{g}=\IR\setminus\{0\}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Hallo leute könnt ihr mir irgendwie erklären wie genau überhaupt meine denkweise sein soll ,auf die Bildmenge zu kommen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 02.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo leute könnt ihr mir irgendwie erklären wie genau
> überhaupt meine denkweise sein soll ,auf die Bildmenge zu
> kommen ?
Du musst dur überlegen, welche Werte die Funktion f(x) uberhaupt annhemen kann.
Beispielsweise hat eine quadratische Funktion genau einen Scheitelpunkte, dieser ist - je nach Öffnungsrichtung der Parabel - der hpch- oder Tiefpunkt. Die y-Koordiante ist also definitiv eine Grenze des Wertebereichs.
Eine Expoententialfunktion wird niemals Null, der Wertebereich ist hier also [mm] W=\IR^{+}\setminus\{0\}
[/mm]
Eine Funktion der Form [mm] \frac{1}{x^{n}} [/mm] wird ebenfalls niemal Null annehmen, ob die Funktion dann negative Werte annehmen kann, hängt dann vom Grad der Funktion im Nenner ab.
Die Sinus- und Cosinusfunktion nehmen nur Werte zwischen -1 und 1 an, sofern man die Amplitude nicht verändert.
Du solltest dir definitiv mal die verschiedenen Funktionstypen anschauen, dazu schau mal unter ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net vorbei, dort hast du die verschiedenen Funktionstypen erklärt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Die Funktion q(x) kann nicht den Wert 0 annehmen , aber sie kann negative Werte annehmen .
Mehr fällt mir gerade nicht ein.
Bisschen müsst ihr mir bitte helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 02.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Die Funktion q(x) kann nicht den Wert 0 annehmen , aber sie
> kann negative Werte annehmen .
Nein:
[mm] q(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}=0 [/mm] wenn x=1 ist.
Aber es gibt einen anderen Wert, den die Funktion q(x) niemals annimmt, dein Grundgedanke, dass [mm] \frac{1}{2x}\ne0 [/mm] ist durchaus vernünftig und zielführend. Wenn also [mm] \frac{1}{2x}\ne0 [/mm] gilt, welchen Wert wird dann [mm] q(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x} [/mm] niemals annehmen werden.
>
>
> Mehr fällt mir gerade nicht ein.
>
> Bisschen müsst ihr mir bitte helfen.
Das tun wir doch.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Die funktion g(x) wird niemals den Wert 0,5 annehmen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 So 02.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Die funktion g(x) wird niemals den Wert 0,5 annehmen ?
So ist es.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo bei
q hast du D falsch es ist R/{0} oder [mm] (-\infty,0)\cup (0.\infty.
[/mm]
Der Bildbereich ist ganz r, wenn du das zeigen willst nimm eine beliebiges r aus [mm] \IR [/mm] und setze r=q(x) löse nach x auf und zeige, dass e zu jedem r mindestens ein x gibt
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Experten soll ich im Bildbereich nur das schreiben das alle x elemt R enthalten sind außer 1/2 ?
Reicht das schon oder wie ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 So 02.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum soll 1/2 nicht in B liegen? gibt es kein x mit 1/2=(x-1/x)/2 oder reden wir über eine andere Funktion wenn die fkt (1-1/x))2 ist hast du recht. mit [mm] B=\IR\backslash\{0{,}5\}
[/mm]
schreib doch die fkt um die es geht, jeweils in deine posts, sonst sucht man durch alle posts durch. ich hatte dein q(x) aus den 1.post angesehen.
Gruß leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
q(x) = [mm] \bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}
[/mm]
Das die Funktion:
trifft diese Funktion auch nicht den Wert 1/2 ?
Das ist mir nicht so klar.
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> q(x) = [mm]\bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}[/mm]
>
> Das die Funktion:
>
> trifft diese Funktion auch nicht den Wert 1/2 ?
>
> Das ist mir nicht so klar.
Hallo,
da wäre es doch eine gute Idee, einfach mal nachzurechnen, oder?
Schau halt, ob [mm] \bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}=\bruch{1}{2} [/mm] eine Lösung hat.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
> > q(x) = [mm]\bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}[/mm]
> >
> > Das die Funktion:
> >
> > trifft diese Funktion auch nicht den Wert 1/2 ?
> >
> > Das ist mir nicht so klar.
>
> Hallo,
>
> da wäre es doch eine gute Idee, einfach mal nachzurechnen,
> oder?
>
> Schau halt, ob [mm]\bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> eine Lösung hat.
>
> LG Angela
> >
Welchen Wert soll ich für x einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > q(x) = [mm]\bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}[/mm]
> > >
> > > Das die Funktion:
> > >
> > > trifft diese Funktion auch nicht den Wert 1/2 ?
> > >
> > > Das ist mir nicht so klar.
> >
> > Hallo,
> >
> > da wäre es doch eine gute Idee, einfach mal nachzurechnen,
> > oder?
> >
> > Schau halt, ob [mm]\bruch{x - \bruch{1}{x}}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> > eine Lösung hat.
> >
> > LG Angela
> > >
> Welchen Wert soll ich für x einsetzen?
durchlaufe [mm] $\IR$. [/mm] (Wenn Du überabzählbar viel Zeit hast...)
Okay, eine ernsthafte(re) Antwort:
Versuche, die Gleichung nach [mm] $x\,$ [/mm] aufzulösen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Es hat eine Lösung, also ist der Wert drin.
Oh man was soll ich jetzt machen. ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es hat eine Lösung, also ist der Wert drin.
vorrechnen wäre toll, ich mach' Dir das mal vor:
[mm] $\frac{x-1/x}{2}=1/2$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $x-1/x=1$
[mm] $\iff$ $x^2-1-x=0$
[/mm]
[mm] $\iff$ $x^2-x-1=0\,.$
[/mm]
 pq-Formel liefert die beiden (reellen) Lösungen
[mm] $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{1/4+1}\,.$
[/mm]
> Oh man was soll ich jetzt machen. ?
Es ist sinnvoll, sich mal die Graphen von Funktionen plotten zu lassen.
Aber hier: Du hast
$f(x)=(x-1/x)/2$ auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$
[/mm]
und suchst [mm] $f(\IR \setminus \{0\}) \subseteq \IR\,.$
[/mm]
Es ist dann doch naheliegend, auch ohne Plot/Graphenskizzierung, sich mal
die Frage zu stellen:
Für welche [mm] $\red{y} \red{\in} \red{\IR}$ [/mm] gibt es MINDESTENS ein $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit
[mm] $f(x)=y\,$?
[/mm]
Sei also $y [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann suchen wir wenigstens ein reelles $x [mm] \not=0$
[/mm]
mit
[mm] $(x-1/x)/2=y\,.$
[/mm]
Wegen
$(x-1/x)/2=y$
[mm] $\iff$ [/mm] $x-1/x=2y$
[mm] $\iff$ $x^2+(-2y)*x+(-1)=0$
[/mm]
gelangen wir somit zur Frage, für welche $y [mm] \in \IR$ [/mm] die letzte quadratische Gleichung
in [mm] $x\,$
[/mm]
keine Lösung $x [mm] \not=0$ [/mm] hat (solche [mm] $y\,$ [/mm] können nicht von [mm] $f\,$ [/mm] angenommen werden)
oder
mindestens(!) eine Lösung in $x [mm] \not=0$ [/mm] hat (genau solche werden von [mm] $f\,$ [/mm] angenommen).
Das kann man aus der pq-Formel zwar auch ablesen, aber sauberer argumentiert
man mit der sogenannten Diskriminante!
(Edit: Wobei man, um auch auf $x [mm] \not=0$ [/mm] zu kommen, dann wohl doch auch
nochmal die pq-Formel bemühen muss...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
> Hallo,
>
> > Es hat eine Lösung, also ist der Wert drin.
>
> vorrechnen wäre toll, ich mach' Dir das mal vor:
>
> [mm]\frac{x-1/x}{2}=1/2[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]x-1/x=1[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-1-x=0[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-x-1=0\,.[/mm]
>
> pq-Formel liefert die beiden (reellen)
> Lösungen
>
> [mm]x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{1/4+1}\,.[/mm]
>
> > Oh man was soll ich jetzt machen. ?
>
> Es ist sinnvoll, sich mal die Graphen von Funktionen
> plotten zu lassen.
>
> Aber hier: Du hast
>
> [mm]f(x)=(x-1/x)/2[/mm] auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm]
>
> und suchst [mm]f(\IR \setminus \{0\}) \subseteq \IR\,.[/mm]
>
> Es ist dann doch naheliegend, auch ohne
> Plot/Graphenskizzierung, sich mal
> die Frage zu stellen:
> Für welche [mm]\red{y} \red{\in} \red{\IR}[/mm] gibt es MINDESTENS
> ein [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=y\,[/mm]?
>
> Sei also [mm]y \in \IR[/mm] beliebig, aber fest. Dann suchen wir
> wenigstens ein reelles [mm]x \not=0[/mm]
> mit
>
> [mm](x-1/x)/2=y\,.[/mm]
>
> Wegen
>
> [mm](x-1/x)/2=y[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]x-1/x=2y[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
>
> gelangen wir somit zur Frage, für welche [mm]y \in \IR[/mm] die
> letzte quadratische Gleichung
> in [mm]x\,[/mm]
>
> keine Lösung [mm]x \not=0[/mm] hat (solche [mm]y\,[/mm] können nicht von
> [mm]f\,[/mm] angenommen werden)
>
> oder
>
> mindestens(!) eine Lösung in [mm]x \not=0[/mm] hat (genau solche
> werden von [mm]f\,[/mm] angenommen).
>
> Das kann man aus der pq-Formel zwar auch ablesen, aber
> sauberer argumentiert
> man mit der sogenannten Diskriminante!
>
> Gruß,
> Marcel
N
Soll ich jetzt die Gleichung nach y oder x auflösen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
> > Hallo,
> >
> > > Es hat eine Lösung, also ist der Wert drin.
> >
> > vorrechnen wäre toll, ich mach' Dir das mal vor:
> >
> > [mm]\frac{x-1/x}{2}=1/2[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm]x-1/x=1[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-1-x=0[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-x-1=0\,.[/mm]
> >
> > pq-Formel liefert die beiden (reellen)
> > Lösungen
> >
> > [mm]x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{1/4+1}\,.[/mm]
> >
> > > Oh man was soll ich jetzt machen. ?
> >
> > Es ist sinnvoll, sich mal die Graphen von Funktionen
> > plotten zu lassen.
> >
> > Aber hier: Du hast
> >
> > [mm]f(x)=(x-1/x)/2[/mm] auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm]
> >
> > und suchst [mm]f(\IR \setminus \{0\}) \subseteq \IR\,.[/mm]
> >
> > Es ist dann doch naheliegend, auch ohne
> > Plot/Graphenskizzierung, sich mal
> > die Frage zu stellen:
> > Für welche [mm]\red{y} \red{\in} \red{\IR}[/mm] gibt es
> MINDESTENS
> > ein [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm] mit
> >
> > [mm]f(x)=y\,[/mm]?
> >
> > Sei also [mm]y \in \IR[/mm] beliebig, aber fest. Dann suchen wir
> > wenigstens ein reelles [mm]x \not=0[/mm]
> > mit
> >
> > [mm](x-1/x)/2=y\,.[/mm]
> >
> > Wegen
> >
> > [mm](x-1/x)/2=y[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm]x-1/x=2y[/mm]
> >
> > [mm]\iff[/mm] [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
> >
> > gelangen wir somit zur Frage, für welche [mm]y \in \IR[/mm] die
> > letzte quadratische Gleichung
> > in [mm]x\,[/mm]
> >
> > keine Lösung [mm]x \not=0[/mm] hat (solche [mm]y\,[/mm] können nicht von
> > [mm]f\,[/mm] angenommen werden)
> >
> > oder
> >
> > mindestens(!) eine Lösung in [mm]x \not=0[/mm] hat (genau solche
> > werden von [mm]f\,[/mm] angenommen).
> >
> > Das kann man aus der pq-Formel zwar auch ablesen, aber
> > sauberer argumentiert
> > man mit der sogenannten Diskriminante!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
> N
O
>
> Soll ich jetzt die Gleichung nach y oder x auflösen ?
Du sollst die Frage beantworten:
FÜR GENAU WELCHE $y [mm] \in \IR$ [/mm] hat die Gleichung
[mm] $x^2+(-2y)*x+(-1)=0$
[/mm]
eine Lösung $x [mm] \not=0$. [/mm] Und das mithilfe von Nachdenken, ich habe Dir ein Stichwort
dazu gegeben! (Ich glaube auch nicht, dass Dir da noch jemand mehr mit
dem Zaunpfahl winken wird, zumal Leduart dazu auch schon etwas gesagt
hatte, was aber nicht bewiesen worden ist. Oben sagt unser Ergebnis
dann das, was Leduart schon gesagt hatte, aber mit einer zugehörigen
Begründung. Wobei diese zweifellos nicht die einzig mögliche ist...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
> > > Hallo,
> > >
> > > > Es hat eine Lösung, also ist der Wert drin.
> > >
> > > vorrechnen wäre toll, ich mach' Dir das mal vor:
> > >
> > > [mm]\frac{x-1/x}{2}=1/2[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff[/mm] [mm]x-1/x=1[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-1-x=0[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff[/mm] [mm]x^2-x-1=0\,.[/mm]
> > >
> > > pq-Formel liefert die beiden (reellen)
> > > Lösungen
> > >
> > > [mm]x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{1/4+1}\,.[/mm]
> > >
> > > > Oh man was soll ich jetzt machen. ?
> > >
> > > Es ist sinnvoll, sich mal die Graphen von Funktionen
> > > plotten zu lassen.
> > >
> > > Aber hier: Du hast
> > >
> > > [mm]f(x)=(x-1/x)/2[/mm] auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm]
> > >
> > > und suchst [mm]f(\IR \setminus \{0\}) \subseteq \IR\,.[/mm]
> >
> >
> > > Es ist dann doch naheliegend, auch ohne
> > > Plot/Graphenskizzierung, sich mal
> > > die Frage zu stellen:
> > > Für welche [mm]\red{y} \red{\in} \red{\IR}[/mm] gibt es
> > MINDESTENS
> > > ein [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm] mit
> > >
> > > [mm]f(x)=y\,[/mm]?
> > >
> > > Sei also [mm]y \in \IR[/mm] beliebig, aber fest. Dann suchen wir
> > > wenigstens ein reelles [mm]x \not=0[/mm]
> > > mit
> > >
> > > [mm](x-1/x)/2=y\,.[/mm]
> > >
> > > Wegen
> > >
> > > [mm](x-1/x)/2=y[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff[/mm] [mm]x-1/x=2y[/mm]
> > >
> > > [mm]\iff[/mm] [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
> > >
> > > gelangen wir somit zur Frage, für welche [mm]y \in \IR[/mm] die
> > > letzte quadratische Gleichung
> > > in [mm]x\,[/mm]
> > >
> > > keine Lösung [mm]x \not=0[/mm] hat (solche [mm]y\,[/mm] können nicht von
> > > [mm]f\,[/mm] angenommen werden)
> > >
> > > oder
> > >
> > > mindestens(!) eine Lösung in [mm]x \not=0[/mm] hat (genau solche
> > > werden von [mm]f\,[/mm] angenommen).
> > >
> > > Das kann man aus der pq-Formel zwar auch ablesen, aber
> > > sauberer argumentiert
> > > man mit der sogenannten Diskriminante!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> > N
>
> O
>
> >
> > Soll ich jetzt die Gleichung nach y oder x auflösen ?
>
> Du sollst die Frage beantworten:
> FÜR GENAU WELCHE [mm]y \in \IR[/mm] hat die Gleichung
>
> [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
>
> eine Lösung [mm]x \not=0[/mm]. Und das mithilfe von Nachdenken, ich
> habe Dir ein Stichwort
> dazu gegeben! (Ich glaube auch nicht, dass Dir da noch
> jemand mehr mit
> dem Zaunpfahl winken wird, zumal Leduart dazu auch schon
> etwas gesagt
> hatte, was aber nicht bewiesen worden ist. Oben sagt unser
> Ergebnis
> dann das, was Leduart schon gesagt hatte, aber mit einer
> zugehörigen
> Begründung. Wobei diese zweifellos nicht die einzig
> mögliche ist...)
>
> Gruß,
> Marcel
Für jedes beliebige y hat die Gleichung eine Lösung ?
Ich glaube diese Antwort müsste richtig sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Du sollst die Frage beantworten:
> > FÜR GENAU WELCHE [mm]y \in \IR[/mm] hat die Gleichung
> >
> > [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
> >
> > eine Lösung [mm]x \not=0[/mm]. Und das mithilfe von Nachdenken, ich
> > habe Dir ein Stichwort
> > dazu gegeben! (Ich glaube auch nicht, dass Dir da noch
> > jemand mehr mit
> > dem Zaunpfahl winken wird, zumal Leduart dazu auch
> schon
> > etwas gesagt
> > hatte, was aber nicht bewiesen worden ist. Oben sagt
> unser
> > Ergebnis
> > dann das, was Leduart schon gesagt hatte, aber mit einer
> > zugehörigen
> > Begründung. Wobei diese zweifellos nicht die einzig
> > mögliche ist...)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Für jedes beliebige y hat die Gleichung eine Lösung ?
>
> Ich glaube diese Antwort müsste richtig sein.
überzeuge mich mit einer Rechnung dahingehend!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 So 02.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Ich setze für y den Wert 1 ein z.B
[mm] x^2 [/mm] -2x -1 = 0
Und diese quadratische Gleichung hat 2 Lösungen die man nach der pq Formel berechnen kann ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich setze für y den Wert 1 ein z.B
>
> [mm]x^2[/mm] -2x -1 = 0
>
> Und diese quadratische Gleichung hat 2 Lösungen die man
> nach der pq Formel berechnen kann ?
damit würdest Du beweisen, dass $y=1 [mm] \in f(\IR \setminus \{0\})$ [/mm] ist, mehr nicht.
Du solltest, wenn Du Fragen hast, auch über die Antworten, die man Dir
gibt, nachdenken.
Ich wiederhole:
Du sollst die Frage beantworten:
FÜR GENAU WELCHE $ y [mm] \in \IR [/mm] $ hat die Gleichung
$ [mm] x^2+(-2y)\cdot{}x+(-1)=0 [/mm] $
eine Lösung $ x [mm] \not=0 [/mm] $. Und das mithilfe von Nachdenken, ich habe Dir ein Stichwort
dazu gegeben! (Ich glaube auch nicht, dass Dir da noch jemand mehr mit
dem Zaunpfahl winken wird, zumal Leduart dazu auch schon etwas gesagt
hatte, was aber nicht bewiesen worden ist. Oben sagt unser Ergebnis
dann das, was Leduart schon gesagt hatte, aber mit einer zugehörigen
Begründung. Wobei diese zweifellos nicht die einzig mögliche ist...).
Das war jetzt nur C & P. Mehr Mühe werde ich mir auch nicht geben, bis ich
merke, dass Du Dir auch mehr Mühe gibst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:20 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
> Hallo,
>
> > Ich setze für y den Wert 1 ein z.B
> >
> > [mm]x^2[/mm] -2x -1 = 0
> >
> > Und diese quadratische Gleichung hat 2 Lösungen die man
> > nach der pq Formel berechnen kann ?
>
> damit würdest Du beweisen, dass [mm]y=1 \in f(\IR \setminus \{0\})[/mm]
> ist, mehr nicht.
> Du solltest, wenn Du Fragen hast, auch über die
> Antworten, die man Dir
> gibt, nachdenken.
>
> Ich wiederhole:
> Du sollst die Frage beantworten:
> FÜR GENAU WELCHE [mm]y \in \IR[/mm] hat die Gleichung
>
> [mm]x^2+(-2y)\cdot{}x+(-1)=0[/mm]
>
> eine Lösung [mm]x \not=0 [/mm]. Und das mithilfe von Nachdenken,
> ich habe Dir ein Stichwort
> dazu gegeben! (Ich glaube auch nicht, dass Dir da noch
> jemand mehr mit
> dem Zaunpfahl winken wird, zumal Leduart dazu auch schon
> etwas gesagt
> hatte, was aber nicht bewiesen worden ist. Oben sagt unser
> Ergebnis
> dann das, was Leduart schon gesagt hatte, aber mit einer
> zugehörigen
> Begründung. Wobei diese zweifellos nicht die einzig
> mögliche ist...).
>
> Das war jetzt nur C & P. Mehr Mühe werde ich mir auch
> nicht geben, bis ich
> merke, dass Du Dir auch mehr Mühe gibst.
>
> Gruß,
> Marcel
Für unendlich viele Zahlen sowohl positiv als auch negativ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich wiederhole:
> > Du sollst die Frage beantworten:
> > FÜR GENAU WELCHE [mm]y \in \IR[/mm] hat die Gleichung
> >
> > [mm]x^2+(-2y)\cdot{}x+(-1)=0[/mm]
> >
> > eine Lösung [mm]x \not=0 [/mm]. Und das mithilfe von Nachdenken,
> > ich habe Dir ein Stichwort
> > dazu gegeben! (Ich glaube auch nicht, dass Dir da noch
> > jemand mehr mit
> > dem Zaunpfahl winken wird, zumal Leduart dazu auch
> schon
> > etwas gesagt
> > hatte, was aber nicht bewiesen worden ist. Oben sagt
> unser
> > Ergebnis
> > dann das, was Leduart schon gesagt hatte, aber mit
> einer
> > zugehörigen
> > Begründung. Wobei diese zweifellos nicht die einzig
> > mögliche ist...).
>
> Für unendlich viele Zahlen sowohl positiv als auch negativ?
sowas ist keine Frage. Schreibe mir mal bitte das Ergebnis der Anwendung
der pq-Formel auf
[mm] $x^2+(-2y)\cdot{}x+(-1)=0$
[/mm]
hin.
Also
[mm] $x_{1,2}=...$
[/mm]
Und Raten ist in der Mathematik weitesgehend keine gültige
Beweismethode!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Soll ich die pq formel aufschreiben nachdem ich für y z.B 1 eingesetzt habe oder allgemein ?
Kann man nicht denn sagen ,das der Bildbereich gleich alle R sind ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Soll ich die pq formel aufschreiben nachdem ich für y z.B
> 1 eingesetzt habe oder allgemein ?
warum willst Du immer was einsetzen??? Wir wollen doch nachher sehen,
*was wir einsetzen dürfen*. Grobgesagt!
> Kann man nicht denn sagen ,das der Bildbereich gleich alle
> R sind ?
Man kann auch sagen, dass Kühe fliegen können. Du kannst in der
Mathematik auch alles sagen, um die Richtigkeit einer Aussage allen
klarzumachen, bedarf es aber eines Beweises!
Also: Wende die pq-Formel auf
[mm] $x^2+(-2y)*x+(-1)=0$
[/mm]
an! Danach denke drüber nach, was wir damit bewiesen haben bzw.
beweisen können.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
> Hallo,
>
> > Soll ich die pq formel aufschreiben nachdem ich für y z.B
> > 1 eingesetzt habe oder allgemein ?
>
> warum willst Du immer was einsetzen??? Wir wollen doch
> nachher sehen,
> *was wir einsetzen dürfen*. Grobgesagt!
>
> > Kann man nicht denn sagen ,das der Bildbereich gleich alle
> > R sind ?
>
> Man kann auch sagen, dass Kühe fliegen können. Du kannst
> in der
> Mathematik auch alles sagen, um die Richtigkeit einer
> Aussage allen
> klarzumachen, bedarf es aber eines Beweises!
>
> Also: Wende die pq-Formel auf
>
> [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
>
> an! Danach denke drüber nach, was wir damit bewiesen haben
> bzw.
> beweisen können.
>
> Gruß,
> Marcel
Die Rechnung poste ich als datei.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
> > Hallo,
> >
> > > Soll ich die pq formel aufschreiben nachdem ich für y z.B
> > > 1 eingesetzt habe oder allgemein ?
> >
> > warum willst Du immer was einsetzen??? Wir wollen doch
> > nachher sehen,
> > *was wir einsetzen dürfen*. Grobgesagt!
> >
> > > Kann man nicht denn sagen ,das der Bildbereich gleich alle
> > > R sind ?
> >
> > Man kann auch sagen, dass Kühe fliegen können. Du kannst
> > in der
> > Mathematik auch alles sagen, um die Richtigkeit einer
> > Aussage allen
> > klarzumachen, bedarf es aber eines Beweises!
> >
> > Also: Wende die pq-Formel auf
> >
> > [mm]x^2+(-2y)*x+(-1)=0[/mm]
> >
> > an! Danach denke drüber nach, was wir damit bewiesen haben
> > bzw.
> > beweisen können.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Die Rechnung poste ich als datei.
Du machst es einem nicht leicht, Dir zu helfen. Warum tippst Du sie nicht
ab?
Sie ist falsch, Du hast geschrieben:
[mm] $x_{1,2}=\frac{2y\red{x}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2\red{x}y}{2}\right)^2+1}$
[/mm]
Was soll das rotmarkierte [mm] $x\,$ [/mm] da rechterhand? Und schonmal was von
"kürzen" gehört?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:27 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Ja aber woher kürzt sich das ?
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> Ja aber woher kürzt sich das ?
Der Term, um den es ging, war:
$ [mm] \frac{2y\red{x}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2\red{x}y}{2}\right)^2+1} [/mm] $
Obwohl dies noch gar nicht der richtige Term war
(wie Marcel schon erklärt hat), stehen doch in
diesem Term zwei Brüche, in welchen man jeweils
mit 2 kürzen könnte.
Hallo BigBoy,
ich habe jetzt diesen Thread durchgesehen, der sich
seit gestern Mittag in insgesamt über 30 Posts dahin-
zieht und bei dem sich fünf Mitglieder die Mühe
genommen haben, dir mit Hinweisen und z.T. längeren
Erläuterungen zu helfen.
Deine eigenen Reaktionen bestanden aber fast immer
darin, schon nach kurzer Zeit wieder eine so ziemlich
einsilbige Rückfrage zu stellen. Dabei kann man sich des
Eindrucks kaum erwehren, dass du die vorher erhaltene
Antwort verschiedentlich entweder nicht genau gelesen
oder die darin vorhandenen Tipps kaum beachtet hast.
Man vermisst vor allem, dass du selber mal etwas ein
wenig ausführlicher vorgerechnet hast.
Bitte sei mir nicht böse, aber dies ist nicht die Art und
Weise, wie die (Zusammen-) Arbeit von Lernenden und
Helfern im Matheraum gedacht ist. Es wird hier erwartet,
dass die Anfragenden zuerst vorweisen sollen, was sie
sich zu einer Aufgabe schon überlegt haben und dass
sie durch eigenes Mitdenken auch zeigen, dass die
Hilfe, die ihnen angeboten wird, auch bei ihnen ankommt
und dass sie diese schätzen.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Ich hatte ja daher nachgefragt, weil ich nicht wusste wie man auf die Bildmenge kommt .
Aber so komme ich auch nie drauf.
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> Ich hatte ja daher nachgefragt, weil ich nicht wusste wie
> man auf die Bildmenge kommt .
>
> Aber so komme ich auch nie drauf.
Naja, schau, ich wollte dich ja mit meiner Bemerkung
keineswegs davon abhalten, hier Hilfe zu suchen.
Um zu zeigen, dass ich das auch ernst meine, mache
ich jetzt auch noch einen Versuch. Da ich dabei nicht
auf alle vorangegangenen Beiträge zurückkommen
möchte, am liebsten nochmals von ganz vorne. Die
Aufgabe war:
| Aufgabe | p(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ $ [mm] D_p [/mm] $ = [mm] \IR
[/mm]
q(x) = $ [mm] \bruch{x - \frac{1}{x}}{2} [/mm] $ $ [mm] D_q [/mm] $ = [mm] (0,\infty) [/mm] (Funktion q(x) und nicht g(x) !)
(a) Geben Sie die Bildmengen Bp und Bq an.
(b) Zeigen Sie: q ist streng monoton wachsend.
(d) Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen [mm] p^{-1} [/mm] und [mm] q^{-1} [/mm] und skizzieren Sie deren Graphen |
Leider hast du im Lauf des Threads an einer Stelle plötzlich
den Funktionsterm $ [mm] \bruch{x - \frac{1}{x}}{2}$ [/mm] von q durch $ [mm] \bruch{1 - \frac{1}{x}}{2}$
[/mm]
ersetzt, was dann zu zusätzlichen Komplikationen führte !)
Nun ging es dir zunächst um die Bildmenge [mm] B_q [/mm] der Funktion q.
Dabei handelt es sich ja um die Menge aller Funktionswerte y ,
die herauskommen können, wenn man in die Gleichung
y = q(x) für x ganz beliebige Zahlenwerte aus der
Definitionsmenge [mm] D_q [/mm] einsetzt (hier also positive x-Werte).
Um die Frage zu klären, musst du also die Aufgabe
lösen:
Welche Werte kann y annehmen, wenn $\ [mm] x\,>\,0$ [/mm] und $\ [mm] y\,=\,\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}$ [/mm] ?
Oder etwas anders gefragt: Für welche y - Werte hat die
Gleichung
$\ [mm] y\,=\,\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}$
[/mm]
(mindestens) eine positive Lösung für x ? Betrachte also
jetzt diese Gleichung als eine Bestimmungsgleichung
für die Unbekannte x. Nun kannst du die Gleichung etwas
umformen (mach dies bitte !) zur Gleichung
$\ [mm] x^2\,-\,2\,y*x\,-\,1\ [/mm] =\ 0$
(welche dir vorher Marcel schon geliefert hat). Dies ist
eine quadratische Gleichung für x , wobei wir das y als
eine Konstante betrachten können.
Zur Auflösung der Gleichung kann man z.B. die p-q-Formel
benützen, es ginge aber auch ganz gut durch quadratisches
Ergänzen:
$\ [mm] x^2\,-\,2\,y*x\,-\,1\ [/mm] =\ 0$ | beidseitig [mm] (y^2+1) [/mm] addieren
$\ [mm] x^2\,-\,2\,y*x\,+\,y^2\ [/mm] =\ [mm] y^2+1$ [/mm]
$\ [mm] (\,x\,-\,y\,)^2\ [/mm] =\ [mm] y^2+1$ [/mm]
$\ [mm] (\,x\,-\,y\,)\ [/mm] =\ [mm] \pm\,\sqrt{y^2+1}$ [/mm]
$\ x\ =\ [mm] y\,\pm\,\sqrt{y^2+1}$ [/mm]
So. Und jetzt ist die Frage: Für welche Zahlen [mm] y\in\IR [/mm] ist
von den (maximal 2) Lösungen [mm] x_i [/mm] dieses Lösungsterms
wenigstens einer positiv ?
Um dies zu klären, kannst du dir etwa noch folgende
Teilfragen stellen:
[mm] \bullet [/mm] Ist der Wurzelterm rechts stets definiert (und reell) ?
[mm] \bullet [/mm] Ist es möglich, dass es nur ein [mm] x\in\IR [/mm] gibt ?
[mm] \bullet [/mm] Wie sehen die beiden Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aus,
wenn y positiv ist ?
[mm] \bullet [/mm] Wie sehen die beiden Lösungen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aus,
wenn y negativ ist ?
[mm] \bullet [/mm] Gibt es nun immer wenigstens ein positives x
und wenn ja, warum ? - und wenn nein, warum nicht ?
Ich weiß nicht, ob der Lösungsweg, den ich damit in
großen Teilen vorgezeichnet habe, der einfachstmögliche
ist. Ich denke, es ginge wohl auch einfacher. Doch
sehr oft ist es beim Lösen mathematischer Aufgaben
auch so, dass man einen einmal eingeschlagenen Weg
wenn möglich beharrlich zu Ende führen sollte. Das
bedeutet Arbeit. Vielleicht entdeckt man dann bei der
nachträglichen Rückschau plötzlich noch Vereinfachungs-
möglichkeiten oder eine andere Sichtweise, die die
Lösung vereinfachen könnte.
Im vorliegenden Fall wäre es vielleicht gar nicht
ungeschickt gewesen, gerade mit der grafischen
Darstellung der Funktion zu beginnen und dann
auch den Wertebereich erstmal durch die Anschauung
zu bestimmen und dann noch durch rechnerische
Argumente zu bestätigen.
LG , Al-Chw.
(So nebenbei: für diese Antwort habe ich jetzt so
ungefähr eine gute Stunde eingesetzt - und hörte dabei
noch mit halbem Ohr etwas Musik im Hintergrund ...)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
> > Ich hatte ja daher nachgefragt, weil ich nicht wusste wie
> > man auf die Bildmenge kommt .
> >
> > Aber so komme ich auch nie drauf.
>
>
> Naja, schau, ich wollte dich ja mit meiner Bemerkung
> keineswegs davon abhalten, hier Hilfe zu suchen.
> Um zu zeigen, dass ich das auch ernst meine, mache
> ich jetzt auch noch einen Versuch. Da ich dabei nicht
> auf alle vorangegangenen Beiträge zurückkommen
> möchte, am liebsten nochmals von ganz vorne. Die
> Aufgabe war:
>
> p(x) = [mm]e^x[/mm] [mm]D_p[/mm] = [mm]\IR[/mm]
>
> q(x) = [mm]\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm] [mm]D_q[/mm] = [mm](0,\infty)[/mm]
> (Funktion q(x) und nicht g(x) !)
>
> (a) Geben Sie die Bildmengen Bp und Bq an.
> (b) Zeigen Sie: q ist streng monoton wachsend.
> (d) Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen [mm]p^{-1}[/mm] und [mm]q^{-1}[/mm]
> und skizzieren Sie deren Graphen
>
>
> Leider hast du im Lauf des Threads an einer Stelle
> plötzlich
> den Funktionsterm [mm]\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm] von q durch
> [mm]\bruch{1 - \frac{1}{x}}{2}[/mm]
> ersetzt, was dann zu
> zusätzlichen Komplikationen führte !)
>
> Nun ging es dir zunächst um die Bildmenge [mm]B_q[/mm] der Funktion
> q.
> Dabei handelt es sich ja um die Menge aller Funktionswerte
> y ,
> die herauskommen können, wenn man in die Gleichung
> y = q(x) für x ganz beliebige Zahlenwerte aus der
> Definitionsmenge [mm]D_q[/mm] einsetzt (hier also positive
> x-Werte).
> Um die Frage zu klären, musst du also die Aufgabe
> lösen:
> Welche Werte kann y annehmen, wenn [mm]\ x\,>\,0[/mm] und [mm]\ y\,=\,\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm]
> ?
> Oder etwas anders gefragt: Für welche y - Werte hat die
> Gleichung
>
> [mm]\ y\,=\,\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm]
>
> (mindestens) eine positive Lösung für x ? Betrachte also
> jetzt diese Gleichung als eine Bestimmungsgleichung
> für die Unbekannte x. Nun kannst du die Gleichung etwas
> umformen (mach dies bitte !) zur Gleichung
>
> [mm]\ x^2\,-\,2\,y*x\,-\,1\ =\ 0[/mm]
>
> (welche dir vorher Marcel schon geliefert hat). Dies ist
> eine quadratische Gleichung für x , wobei wir das y als
> eine Konstante betrachten können.
> Zur Auflösung der Gleichung kann man z.B. die p-q-Formel
> benützen, es ginge aber auch ganz gut durch
> quadratisches
> Ergänzen:
>
> [mm]\ x^2\,-\,2\,y*x\,-\,1\ =\ 0[/mm] | beidseitig [mm](y^2+1)[/mm]
> addieren
>
> [mm]\ x^2\,-\,2\,y*x\,+\,y^2\ =\ y^2+1[/mm]
>
> [mm]\ (\,x\,-\,y\,)^2\ =\ y^2+1[/mm]
>
> [mm]\ (\,x\,-\,y\,)\ =\ \pm\,\sqrt{y^2+1}[/mm]
>
> [mm]\ x\ =\ y\,\pm\,\sqrt{y^2+1}[/mm]
>
> So. Und jetzt ist die Frage: Für welche Zahlen [mm]y\in\IR[/mm]
> ist
> von den (maximal 2) Lösungen [mm]x_i[/mm] dieses Lösungsterms
> wenigstens einer positiv ?
> Um dies zu klären, kannst du dir etwa noch folgende
> Teilfragen stellen:
>
> [mm]\bullet[/mm] Ist der Wurzelterm rechts stets definiert (und
> reell) ?
>
> [mm]\bullet[/mm] Ist es möglich, dass es nur ein [mm]x\in\IR[/mm] gibt ?
>
> [mm]\bullet[/mm] Wie sehen die beiden Lösungen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aus,
> wenn y positiv ist ?
>
> [mm]\bullet[/mm] Wie sehen die beiden Lösungen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aus,
> wenn y negativ ist ?
>
> [mm]\bullet[/mm] Gibt es nun immer wenigstens ein positives x
> und wenn ja, warum ? - und wenn nein, warum nicht ?
>
> Ich weiß nicht, ob der Lösungsweg, den ich damit in
> großen Teilen vorgezeichnet habe, der einfachstmögliche
> ist. Ich denke, es ginge wohl auch einfacher. Doch
> sehr oft ist es beim Lösen mathematischer Aufgaben
> auch so, dass man einen einmal eingeschlagenen Weg
> wenn möglich beharrlich zu Ende führen sollte. Das
> bedeutet Arbeit. Vielleicht entdeckt man dann bei der
> nachträglichen Rückschau plötzlich noch
> Vereinfachungs-
> möglichkeiten oder eine andere Sichtweise, die die
> Lösung vereinfachen könnte.
> Im vorliegenden Fall wäre es vielleicht gar nicht
> ungeschickt gewesen, gerade mit der grafischen
> Darstellung der Funktion zu beginnen und dann
> auch den Wertebereich erstmal durch die Anschauung
> zu bestimmen und dann noch durch rechnerische
> Argumente zu bestätigen.
>
> LG , Al-Chw.
>
>
> (So nebenbei: für diese Antwort habe ich jetzt so
> ungefähr eine gute Stunde eingesetzt - und hörte dabei
> noch mit halbem Ohr etwas Musik im Hintergrund ...)
Danke für deine Mühe .Könnte ich jetzt nicht sagen ,das y Immer positiv ist ,weil ja quadriert wird.
Bei einer sehr großen Zahl y für ein negatives x raus kommen.
Es gibt auch immer wenigsten ein positives x .
Ich hoffe mal das das so jetzt richtig ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mo 03.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich hatte ja daher nachgefragt, weil ich nicht wusste wie
> > > man auf die Bildmenge kommt .
> > >
> > > Aber so komme ich auch nie drauf.
> >
> >
> > Naja, schau, ich wollte dich ja mit meiner Bemerkung
> > keineswegs davon abhalten, hier Hilfe zu suchen.
> > Um zu zeigen, dass ich das auch ernst meine, mache
> > ich jetzt auch noch einen Versuch. Da ich dabei nicht
> > auf alle vorangegangenen Beiträge zurückkommen
> > möchte, am liebsten nochmals von ganz vorne. Die
> > Aufgabe war:
> >
> > p(x) = [mm]e^x[/mm] [mm]D_p[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> >
> > q(x) = [mm]\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm] [mm]D_q[/mm] = [mm](0,\infty)[/mm]
> > (Funktion q(x) und nicht g(x) !)
> >
> > (a) Geben Sie die Bildmengen Bp und Bq an.
> > (b) Zeigen Sie: q ist streng monoton wachsend.
> > (d) Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen [mm]p^{-1}[/mm] und [mm]q^{-1}[/mm]
> > und skizzieren Sie deren Graphen
> >
> >
> > Leider hast du im Lauf des Threads an einer Stelle
> > plötzlich
> > den Funktionsterm [mm]\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm] von q
> durch
> > [mm]\bruch{1 - \frac{1}{x}}{2}[/mm]
> > ersetzt, was dann zu
> > zusätzlichen Komplikationen führte !)
> >
> > Nun ging es dir zunächst um die Bildmenge [mm]B_q[/mm] der Funktion
> > q.
> > Dabei handelt es sich ja um die Menge aller
> Funktionswerte
> > y ,
> > die herauskommen können, wenn man in die Gleichung
> > y = q(x) für x ganz beliebige Zahlenwerte aus der
> > Definitionsmenge [mm]D_q[/mm] einsetzt (hier also positive
> > x-Werte).
> > Um die Frage zu klären, musst du also die Aufgabe
> > lösen:
> > Welche Werte kann y annehmen, wenn [mm]\ x\,>\,0[/mm] und [mm]\ y\,=\,\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm]
> > ?
> > Oder etwas anders gefragt: Für welche y - Werte hat
> die
> > Gleichung
> >
> > [mm]\ y\,=\,\bruch{x - \frac{1}{x}}{2}[/mm]
> >
> > (mindestens) eine positive Lösung für x ? Betrachte also
> > jetzt diese Gleichung als eine Bestimmungsgleichung
> > für die Unbekannte x. Nun kannst du die Gleichung
> etwas
> > umformen (mach dies bitte !) zur Gleichung
> >
> > [mm]\ x^2\,-\,2\,y*x\,-\,1\ =\ 0[/mm]
> >
> > (welche dir vorher Marcel schon geliefert hat). Dies ist
> > eine quadratische Gleichung für x , wobei wir das y
> als
> > eine Konstante betrachten können.
> > Zur Auflösung der Gleichung kann man z.B. die p-q-Formel
> > benützen, es ginge aber auch ganz gut durch
> > quadratisches
> > Ergänzen:
> >
> > [mm]\ x^2\,-\,2\,y*x\,-\,1\ =\ 0[/mm] | beidseitig [mm](y^2+1)[/mm]
> > addieren
> >
> > [mm]\ x^2\,-\,2\,y*x\,+\,y^2\ =\ y^2+1[/mm]
> >
> > [mm]\ (\,x\,-\,y\,)^2\ =\ y^2+1[/mm]
> >
> > [mm]\ (\,x\,-\,y\,)\ =\ \pm\,\sqrt{y^2+1}[/mm]
> >
> > [mm]\ x\ =\ y\,\pm\,\sqrt{y^2+1}[/mm]
> >
> > So. Und jetzt ist die Frage: Für welche Zahlen [mm]y\in\IR[/mm]
> > ist
> > von den (maximal 2) Lösungen [mm]x_i[/mm] dieses
> Lösungsterms
> > wenigstens einer positiv ?
> > Um dies zu klären, kannst du dir etwa noch folgende
> > Teilfragen stellen:
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Ist der Wurzelterm rechts stets definiert (und
> > reell) ?
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Ist es möglich, dass es nur ein [mm]x\in\IR[/mm] gibt ?
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Wie sehen die beiden Lösungen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aus,
> > wenn y positiv ist ?
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Wie sehen die beiden Lösungen [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] aus,
> > wenn y negativ ist ?
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Gibt es nun immer wenigstens ein positives x
> > und wenn ja, warum ? - und wenn nein, warum nicht ?
> >
> > Ich weiß nicht, ob der Lösungsweg, den ich damit in
> > großen Teilen vorgezeichnet habe, der
> einfachstmögliche
> > ist. Ich denke, es ginge wohl auch einfacher. Doch
> > sehr oft ist es beim Lösen mathematischer Aufgaben
> > auch so, dass man einen einmal eingeschlagenen Weg
> > wenn möglich beharrlich zu Ende führen sollte. Das
> > bedeutet Arbeit. Vielleicht entdeckt man dann bei der
> > nachträglichen Rückschau plötzlich noch
> > Vereinfachungs-
> > möglichkeiten oder eine andere Sichtweise, die die
> > Lösung vereinfachen könnte.
> > Im vorliegenden Fall wäre es vielleicht gar nicht
> > ungeschickt gewesen, gerade mit der grafischen
> > Darstellung der Funktion zu beginnen und dann
> > auch den Wertebereich erstmal durch die Anschauung
> > zu bestimmen und dann noch durch rechnerische
> > Argumente zu bestätigen.
> >
> > LG , Al-Chw.
> >
> >
> > (So nebenbei: für diese Antwort habe ich jetzt so
> > ungefähr eine gute Stunde eingesetzt - und hörte
> dabei
> > noch mit halbem Ohr etwas Musik im Hintergrund ...)
>
>
> Danke für deine Mühe .Könnte ich jetzt nicht sagen ,das
> y Immer positiv ist ,weil ja quadriert wird.
Das ist doch keine Begründung !!!
Es ist $ \ x\ =\ [mm] y\,\pm\,\sqrt{y^2+1} [/mm] $
Schau Dir doch mal
[mm] $x=y+\sqrt{y^2+1}$
[/mm]
an. Es gilt
[mm] $x=y+\sqrt{y^2+1}> y+\sqrt{y^2}=y+|y| \ge [/mm] 0$ für jedes (1) y.
Damit ist immer [mm] $x=y+\sqrt{y^2+1}>0$
[/mm]
>
> Bei einer sehr großen Zahl y für ein negatives x raus
> kommen.
Verstehst Du diesen Satz ? Ich nicht.
FRED
> Es gibt auch immer wenigsten ein positives x .
>
> Ich hoffe mal das das so jetzt richtig ist?
>
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> Danke für deine Mühe .
OK . Ich nehme zur Kenntnis, dass du gesehen hast,
dass ich mir einige Mühe gegeben habe.
> Könnte ich jetzt nicht sagen ,das
> y Immer positiv ist ,weil ja quadriert wird. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Es ging um die Gleichung bzw. um das Gleichungspaar
$ \ x\ =\ [mm] y\,\pm\,\sqrt{y^2+1} [/mm] $
Da wird zwar auch ein y quadriert - aber daraus kann
man doch keineswegs schließen, dass y positiv sein
müsse !
> Bei einer sehr großen Zahl y für ein negatives x raus
> kommen.
Ich diesen nicht kann versteh !
> Es gibt auch immer wenigsten ein positives x .
Falls du das wirklich begründen kannst, dann gib
doch bitte diese Begründung klipp und klar an,
damit man verstehen kann, ob und was du dir wirklich
überlegt hast !
> Ich hoffe mal das das so jetzt richtig ist?
Richtig und wichtig wäre, wenn du merken würdest,
dass du hier nicht nur irgendwelche Vermutungen
oder Hoffnungen ausdrückst, sondern lernst, einen
Gedankengang für einen Lösungsweg so aufzuschreiben
(auch mit Nutzung des Formeleditors), dass man ihn
nachvollziehen kann. Dann könnte man anhand
deiner eigenen Ansätze schauen, was noch fehlt,
ob kleine Ergänzungen nötig sind etc.
Du solltest aber nicht erwarten, dass man dir hier
Lösungswege ausführlichst und von A bis Z vorführt,
wenn du selber nur eine Aufgabenstellung mit der
Bemerkung (sinngemäß) "keine Ahnung, wie man
das löst" reinstellst und dich auch weiter so
verhältst, dass man dir jeden einzelnen Schritt
eigener Umformungen mühsam abverlangen muss ...
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Mo 03.11.2014 | | Autor: | BigBoy |
Tut mir leid ich gebe es auf.
Weil ich komme einfach selber nicht drauf.
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