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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Fundamentalsatz der Algebra
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Fundamentalsatz der Algebra: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Do 25.03.2010
Autor: Pacapear

Hallo!

Ich habe eine Frage zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.

Und zwar steht bei mir, dass sich die Existenz einer Nullstelle eines Polynoms P unmittelbar aus zwei kleinen Sätzen über die Funktion |P| ergibt.

Satz 1:
|P| nimmt auf [mm] \IC [/mm] ein Minimum an.

Satz 2:
|P| hat an einer Stelle [mm] z_0 [/mm] mit [mm] P(z_0)\not=0 [/mm] kein Minimum.

Ich verstehe nicht, wieso aus diesen beiden Sätzen der Fundamentalsatz der Algebra folgt.

Vor allem weil es ja auch nur um |P| und nicht um P geht.

Kann mir jemand weiterhelfen?

LG Nadine

        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Do 25.03.2010
Autor: pelzig

Satz 1 sagt, es gibt eine Minimalstelle [mm] $z_0\in\IC$ [/mm] für [mm]|P|[/mm]. Satz 2 sagt aber: "Wenn [mm] $P(z_0)\ne [/mm] 0$, dann ist [mm] $z_0$ [/mm] keine Minimalstelle von $|P|$" oder äquivalent: "Ist [mm] $z_0$ [/mm] eine Minimalstelle von $|P|$, dann ist [mm] $P(z_0)=0$." [/mm]

Gruß, Robert

Bezug
                
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Do 25.03.2010
Autor: Pacapear

Hallo!

Hmm, irgendwie versteh ich das noch nicht.



> Satz 1 sagt, es gibt eine Minimalstelle [mm]z_0\in\IC[/mm] für [mm]|P|[/mm].

Ja, ok, das verstehe ich.



> Satz 2 sagt aber: "Wenn [mm]P(z_0)\ne 0[/mm], dann ist [mm]z_0[/mm] keine
> Minimalstelle von [mm]|P|[/mm]"

Aber diese Aussage gilt doch nur für eine Stelle [mm] z_0, [/mm] oder?

Irgendwie klingt das bei dir so, als ob alle [mm] z_0 [/mm] keine Minimalstelle sind, für die [mm]P(z_0)\ne 0[/mm] [nixweiss]

Also ich verstehe den Satz so, dass ich eine Stelle [mm] z_0 [/mm] mit [mm] P(z_0)\not=0 [/mm] finden kann, so dass |P| an dieser Stelle kein Minimum hat.

Und irgendwie hab ich jetzt totale Probleme, die Aussage so "umzudrehen", wie du es gemacht hast [nixweiss]

Wir haben nie wirklich diese logischen Aussagen behandelt, deshalb hab ich da totale Probleme mit.

Kannst du mir das erklären, wie du die Aussage des Satzes "umgewandelt" hast?



> oder äquivalent: "Ist [mm]z_0[/mm] eine
> Minimalstelle von [mm]|P|[/mm], dann ist [mm]P(z_0)=0[/mm]."

Also heißt das:

|P| hat eine Minimalstelle nach Satz 1, und nach Satz 2 ist diese Minimalstelle eine Nullstelle?

Und wie komme ich nun von |P| auf P?



LG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Do 25.03.2010
Autor: fred97

Machen wirs mal so:

Zu zeigen ist: es gibt ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit: [mm] $P(z_0)=0$ [/mm]

Beweis:

Aus Satz 1 erhalten wir ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit:

            (*)  [mm] $|P(z_0)| \le [/mm] |P(z)|$  für jedes z [mm] \in \IC [/mm] .

Dieses [mm] z_0 [/mm] ist die gesuchte Nullstelle von P (!) , denn wäre [mm] $P(z_0) \ne [/mm] 0$, so würde aus Satz 2 folgen:

            es gibt ein [mm] z_1 \in \IC [/mm] mit: [mm] $|P(z_0)| [/mm] > [mm] |P(z_1)|$ [/mm] .

Das ist aber ein Widerspruch zu (*)

FRED

Bezug
                                
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Do 25.03.2010
Autor: Pacapear

Hallo!



> Machen wirs mal so:
>  
> Zu zeigen ist: es gibt ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit: [mm]P(z_0)=0[/mm]

Hier wird jetzt der Fundamentalsatz behauptet, richtig?



> Beweis:
>  
> Aus Satz 1 erhalten wir ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit:
>
> (*)  [mm]|P(z_0)| \le |P(z)|[/mm]  für jedes z [mm]\in \IC[/mm] .
>  
> Dieses [mm]z_0[/mm] ist die gesuchte Nullstelle von P (!) , denn
> wäre [mm]P(z_0) \ne 0[/mm], so würde aus Satz 2 folgen:
>  
> es gibt ein [mm]z_1 \in \IC[/mm] mit: [mm]|P(z_0)| > |P(z_1)|[/mm] .
>  
> Das ist aber ein Widerspruch zu (*)

Ok, jetzt ist also gezeigt, dass [mm] z_0 [/mm] wirklich eine Nullstelle ist.

Aber irgendwie habe ich noch nicht verstanden, warum denn die ganze Zeit der Betrag |P| des Polynoms betrachtet wird.



LG Nadine

Bezug
                                        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Do 25.03.2010
Autor: fred97


> Hallo!
>  
>
>
> > Machen wirs mal so:
>  >  
> > Zu zeigen ist: es gibt ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit: [mm]P(z_0)=0[/mm]
>  
> Hier wird jetzt der Fundamentalsatz behauptet, richtig?

Ja

>  
>
>
> > Beweis:
>  >  
> > Aus Satz 1 erhalten wir ein [mm]z_0 \in \IC[/mm] mit:
> >
> > (*)  [mm]|P(z_0)| \le |P(z)|[/mm]  für jedes z [mm]\in \IC[/mm] .
>  >  
> > Dieses [mm]z_0[/mm] ist die gesuchte Nullstelle von P (!) , denn
> > wäre [mm]P(z_0) \ne 0[/mm], so würde aus Satz 2 folgen:
>  >  
> > es gibt ein [mm]z_1 \in \IC[/mm] mit: [mm]|P(z_0)| > |P(z_1)|[/mm] .
>  >  
> > Das ist aber ein Widerspruch zu (*)
>  
> Ok, jetzt ist also gezeigt, dass [mm]z_0[/mm] wirklich eine
> Nullstelle ist.

ist doch schön , oder ?

>  
> Aber irgendwie habe ich noch nicht verstanden, warum denn
> die ganze Zeit der Betrag |P| des Polynoms betrachtet
> wird.

Nochmal. [mm] $|P(z_0)|= [/mm] 0$  [mm] \gdw $P(z_0)= [/mm] 0$

FRED

>  
>
>
> LG Nadine


Bezug
                                                
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Do 25.03.2010
Autor: Pacapear

Hallo!



> ist doch schön , oder ?

Joa :-)



> > Aber irgendwie habe ich noch nicht verstanden, warum denn
> > die ganze Zeit der Betrag |P| des Polynoms betrachtet
> > wird.
>  
> Nochmal. [mm]|P(z_0)|= 0[/mm]  [mm]\gdw[/mm]  [mm]P(z_0)= 0[/mm]

Vielleicht bin ich grad voll blind, aber diese Äquivalenz wird doch in dem Beweis oben gar nicht benutzt, oder?



LG Nadine

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Fundamentalsatz der Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Do 25.03.2010
Autor: fred97

P hat eine Nullstelle in [mm] z_0 \gdw [/mm] |P| hat eine Nullstelle in [mm] z_0 [/mm]

Die Sätze 1 und 2 machen Aussagen über |P|

FRED

Bezug
                                                                
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Fundamentalsatz der Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Do 25.03.2010
Autor: pelzig


> P hat eine Nullstelle in [mm]z_0 \gdw[/mm] |P| hat eine Nullstelle
> in [mm]z_0[/mm]
>  
> Die Sätze 1 und 2 machen Aussagen über |P|

Man braucht die Äquivalenz eigentlich wirklich nicht. Satz 2 macht eine Aussage über |P| und P: Die Minimalstellen von |P| sind Nullstellen von P.

Gruß, Robert

Bezug
                                                                        
Bezug
Fundamentalsatz der Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Do 25.03.2010
Autor: Pacapear

Hallo!

>  Man braucht die Äquivalenz eigentlich wirklich nicht.
> Satz 2 macht eine Aussage über |P| und P: Die
> Minimalstellen von |P| sind Nullstellen von P.

Ja, genau das dachte ich nämlich auch.

Hmm, ok.

Vielen Dank für eure Hilfe!

LG Nadine

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Fundamentalsatz der Algebra: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:26 Do 25.03.2010
Autor: pelzig


> Und irgendwie hab ich jetzt totale Probleme, die Aussage so
> "umzudrehen", wie du es gemacht hast [nixweiss]

Man kann zeigen (Stichwort Wahrheitstafel), dass [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ äquivalent ist zu [mm] $\neg B\Rightarrow \neg [/mm] A$. Man bezeichnet das als Bildung der "Kontraposition".

Gruß, Robert

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