Fundamentallösung der DGL < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:13 Sa 17.05.2008 | | Autor: | rastaman |
| Aufgabe | 1.) Zeigen Sie, dass durch
[mm] U(x)=(\bruch{1}{8}*e^{4x}-\bruch{1}{8}*e^{-4x})*\Phi(x)\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ \bruch{1}{8}*e^{4x}-\bruch{1}{8}*e^{-4x},& \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
eine Fundamentallösung der Differentialgleichung u"(x)-16*u(x)=f(x) gegeben ist. Zu zeigen ist also, dass U''(x)-16*U(x)=0 für [mm] x\not=0 [/mm] gilt und dass U stetig ist und [mm] \limes_{\varepsilon\rightarrow\infty} U'(\varepsilon)-U'(-\varepsilon)=1 [/mm] gilt.
2.) Man berechne eine Partikulärlösung von u"(x)-16*u(x)=cos(x)
Hinweis: Es gilt
[mm] \integral_{}^{}{e^{ax}*cos(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+a^2}*e^{ax}(a*cos(x)+sin(x))+C
[/mm]
(Lösung: [mm] u(x)=-\bruch{1}{17}*cos(x)) [/mm] |
Hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Fragen zu Aufgabe 1:
Was genau ist eine Fundamentallösung?
Wie zeige ich daß U(x) eine Fundamentallösung ist?
Wie zeige ich daß diese stetig ist?
Was ist dieses [mm] \Phi(x) [/mm] ?
Was bedeutet der Limes hier?
Fragen zu Aufgabe 2:
Wie finde ich hier eine Part.Lsg? etwa mit dem Ansatz u(x) = C*cos(x), zweimal ableiten und einsetzen und dann mit Koeffizientenvergleich das C ausrechnen?
Aber wozu brauch ich da den gegebenen Hinweis? Oder gilt der für Aufgabe 1?
Bitte um Hilfe
|
|
| |
|
Hallo,
> 1.) Zeigen Sie, dass durch
>
> [mm]U(x)=(\bruch{1}{8}*e^{4x}-\bruch{1}{8}*e^{-4x})*\Phi(x)\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ \bruch{1}{8}*e^{4x}-\bruch{1}{8}*e^{-4x},& \mbox{für } x\ge0 \end{cases}[/mm]
>
> eine Fundamentallösung der Differentialgleichung
> u"(x)-16*u(x)=f(x) gegeben ist. Zu zeigen ist also, dass
> U''(x)-16*U(x)=0 für [mm]x\not=0[/mm] gilt und dass U stetig ist und
> [mm]\limes_{\varepsilon\rightarrow\infty} U'(\varepsilon)-U'(-\varepsilon)=1[/mm]
> gilt.
>
> 2.) Man berechne eine Partikulärlösung von
> u"(x)-16*u(x)=cos(x)
> Hinweis: Es gilt
> [mm]\integral_{}^{}{e^{ax}*cos(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1+a^2}*e^{ax}(a*cos(x)+sin(x))+C[/mm]
>
> (Lösung: [mm]u(x)=-\bruch{1}{17}*cos(x))[/mm]
> Hallo
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Fragen zu Aufgabe 1:
> Was genau ist eine Fundamentallösung?
> Wie zeige ich daß U(x) eine Fundamentallösung ist?
> Wie zeige ich daß diese stetig ist?
> Was ist dieses [mm]\Phi(x)[/mm] ?
> Was bedeutet der Limes hier?
>
hm, du machst es dir ein bisschen zu leicht. Unwahrscheinlich, dass diese aufgabe gestellt wurde, ohne das der stoff vorher behandelt wurde. Sonst recherchiere doch mal im netz, was ein FL ist. Was du zeigen sollst, steht sogar in der aufgabe. Stetigkeit ist stoff aus ana 1.
gruss
matthias
> Fragen zu Aufgabe 2:
> Wie finde ich hier eine Part.Lsg? etwa mit dem Ansatz u(x)
> = C*cos(x), zweimal ableiten und einsetzen und dann mit
> Koeffizientenvergleich das C ausrechnen?
> Aber wozu brauch ich da den gegebenen Hinweis? Oder gilt
> der für Aufgabe 1?
>
> Bitte um Hilfe
|
|
|
|
