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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Frobeniusnorm [mm] [mm] ||A||_F [/mm] := [mm] \wurzel{\summe_{i,k=1}^{n} |a_{ik}|^2} [/mm] eine Matrixnorm ist, die mit [mm] || \cdot ||_2 [/mm] verträglich ist. |
Hallo zusammen!
Ich habe die Verträglichkeit und einen Großteil der Normeigenschaften hinbekommen, nur bei der Submultiplikativität bin ich mir nicht sicher. Wäre lieb, wenn da mal wer drüberschauen könnte.
[mm] ||AB||_F = \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} |c_{ij}|^2} = \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} |\summe_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}|^2} \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} (\summe_{k=1}^{n} |a_{ik}| \cdot |b_{kj}|)^2} \underbrace{\le}_{Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung} \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} (\summe_{k=1}^{n} |a_{ik}|^2 \cdot \summe_{k=1}^{n} |b_{kj}|^2)} \le \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n} \summe_{k=1}^{n} |a_{ik}|^2 \cdot \summe_{i,j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} |b_{kj}|^2)} = \wurzel{\summe_{i,k=1}^{n} |a_{ik}|^2 \cdot \summe_{j,k=1}^{n} |b_{kj}|^2)} = \wurzel{\summe_{i,k=1}^{n} |a_{ik}|^2} \cdot \wurzel{\summe_{j,k=1}^{n} |b_{kj}|^2)} = ||A||_F \cdot ||B||_F [/mm]
Hab ich das so richtig gemacht?
LG
fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Sa 26.02.2011 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
da hast du dir ja eine Riesenarbeit mit den ganzen Formeln gemacht!
Im Prinzip stimmts auch, nur die erste Ungleichung passt nicht
(wenn die gelten würde, wäre z.B. [mm] (a+b)^2 \le a^2+b^2 [/mm] !)
Lass die dritte Wurzel von links einfach weg und verwende statt
dessen gleich die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung!
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