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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl und L ein Körper der Charakteristik p. Insbesondere enthält er dann [mm] \mathbb{F}_p. [/mm] Die Abbildung [mm] \varphi: [/mm] L [mm] \rightarrow [/mm] L, a [mm] \rightarrow a^p, [/mm] heißt Frobenius Abbildung. Zeigen Sie, dass sie ein Körperautomorphismus von L ist und dass sie [mm] \mathbb{F}_p [/mm] identisch auf sich abbildet (d.h. [mm] \varphi \in [/mm] Gal(L / [mm] \mathbb{F}_p)). [/mm] |
Hallo,
könnt ihr mir bei dieser Aufgabe bitte weiterhelfen?
Ich bin nun soweit:
Zuerst muss ich ja zeigen, dass [mm] \varphi [/mm] ein Körperautomorphismus ist, also dass
1.) [mm] \varphi(a [/mm] + b) = [mm] \varphi(a) [/mm] + [mm] \varphi(b)
[/mm]
Nun habe ich also [mm] \varphi(a+b) [/mm] = [mm] (a+b)^p [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^p \vektor{p\\k} a^p b^{p-k} [/mm]
Wie komm ich davon dann aber auf [mm] a^p+b^p???
[/mm]
2.)Zu zeigen: [mm] \varphi(a \cdot [/mm] b) = [mm] \varphi(a) \cdot \varphi(b) [/mm]
[mm] \varphi(a [/mm] b) = [mm] (ab)^p [/mm] = [mm] a^p b^p [/mm] = [mm] \varphi(a) \varphi(b)
[/mm]
3.) [mm] \phi(1) [/mm] = [mm] 1^p [/mm] = 1.
Dann ist noch zu zeigen, dass [mm] \varphi [/mm] | [mm] \mathbb{F}_p [/mm] = id.
Ist es einfach wegen [mm] \varphi(a) [/mm] = [mm] a^p [/mm] = a, wegen [mm] a^p [/mm] = a in [mm] \mathbb{F}_p [/mm] ??
Danke schonmal für alle Hinweise ! 
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Sa 29.11.2008 | | Autor: | statler |
> Sei p eine Primzahl und L ein Körper der Charakteristik p.
> Insbesondere enthält er dann [mm]\mathbb{F}_p.[/mm] Die Abbildung
> [mm]\varphi:[/mm] L [mm]\rightarrow[/mm] L, a [mm]\rightarrow a^p,[/mm] heißt
> Frobenius Abbildung. Zeigen Sie, dass sie ein
> Körperautomorphismus von L ist und dass sie [mm]\mathbb{F}_p[/mm]
> identisch auf sich abbildet (d.h. [mm]\varphi \in[/mm] Gal(L /
> [mm]\mathbb{F}_p)).[/mm]
Hi!
Die Behauptung ist nicht ganz richtig, L soll bestimmt ein endlicher Körper sein.
> könnt ihr mir bei dieser Aufgabe bitte weiterhelfen?
> Ich bin nun soweit:
> Zuerst muss ich ja zeigen, dass [mm]\varphi[/mm] ein
> Körperautomorphismus ist, also dass
> 1.) [mm]\varphi(a[/mm] + b) = [mm]\varphi(a)[/mm] + [mm]\varphi(b)[/mm]
> Nun habe ich also [mm]\varphi(a+b)[/mm] = [mm](a+b)^p[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^p \vektor{p\\k} a^p b^{p-k}[/mm]
>
> Wie komm ich davon dann aber auf [mm]a^p+b^p???[/mm]
Dazu mußt du dir den Binomialkoeffizienten mal hinschreiben und dir überlegen, daß er = 1 oder durch p teilbar ist.
> 2.)Zu zeigen: [mm]\varphi(a \cdot[/mm] b) = [mm]\varphi(a) \cdot \varphi(b)[/mm]
> [mm]\varphi(a[/mm] b) = [mm](ab)^p[/mm] = [mm]a^p b^p[/mm] = [mm]\varphi(a) \varphi(b)[/mm]
>
> 3.) [mm]\phi(1)[/mm] = [mm]1^p[/mm] = 1.
>
> Dann ist noch zu zeigen, dass [mm]\varphi[/mm] | [mm]\mathbb{F}_p[/mm] = id.
> Ist es einfach wegen [mm]\varphi(a)[/mm] = [mm]a^p[/mm] = a, wegen [mm]a^p[/mm] = a
> in [mm]\mathbb{F}_p[/mm] ??
Das folgt direkt aus dem kleinen Fermat.
Warum ist es eigentlich ein Automorphismus und kein Endomorphismus? Je nach Wissensstand muß man das vielleicht auch noch erwähnen.
Gruß aus HH-Eimsbüttel
Dieter
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