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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen von
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 & 1 &2 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \vec x = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Nach dem Gauß habe ich als Matrix [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 & 1 &2 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
Also habe ich vollen Rang also Rang = 3, N= 6 und somit kann ich mir mit N-Rang= 3 Paramter frei wählen.
Wenn ich jetzt aber bspsweise [mm]x_4=s, x_5=t, x_6=u [/mm] wähle, kommt nichts vernünftiges raus. Und dazu kommt mir das so komisch vor mit s,t und u als Parameter.
Danke für die Hilfe
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Hallo Rene,
> Bestimmen Sie alle Lösungen von
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 & 1 &2 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix} \vec x = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Nach dem Gauß habe ich als Matrix [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 2 & 1 &2 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also habe ich vollen Rang also Rang = 3, N= 6 und somit
> kann ich mir mit N-Rang= 3 Paramter frei wählen.
>
> Wenn ich jetzt aber bspsweise [mm]x_4=s, x_5=t, x_6=u[/mm] wähle,
Du kannst [mm] $x_6$ [/mm] nicht frei wählen.
In der letzten Zeile steht doch [mm] $(-1)\cdot{}x_6=0$, [/mm] also [mm] $x_6=0$
[/mm]
Wähle [mm] $x_3=s, x_4=t$ [/mm] und [mm] $x_5=u$, [/mm] dann kommst du auf eine "schöne" Lösung ...
> kommt nichts vernünftiges raus. Und dazu kommt mir das so
> komisch vor mit s,t und u als Parameter.
Was ist daran komisch?
Wenn du $s,t,u$ nicht magst, nenne sie doch [mm] $\lambda, \mu, \nu$ [/mm] 
Oder $a,b,c$
>
> Danke für die Hilfe
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Di 09.02.2010 | | Autor: | Reen1205 |
Habe ich dann jene Lösung hier [mm] s*\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix} [/mm]
Es sieht auch sehr nach der Lösung aus, die wir in der Übung als Lösung bekommen haben, nur dass vor dem ersten Vektor kein "S" steht. Liegt das nur daran, weil die nicht die Parameter mit s,t oder u bezeichnet haben, sondern ihnen direkt irgendwelche Werte wie z.B. "1" oder "0" gegeben haben?
Es gibt da ja irgendwie zwei Arten des Lösungsweg, wobei mir der mit s,t,u (oder a,b,c) immer am einleuchtesten war.
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Hallo,
> Habe ich dann jene Lösung hier
> [mm]s*\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm]
deine Lösung ist richtig, mit [mm] s,t,u\in\IR [/mm] wird oben praktisch der gesamte Lösungsraum dargestellt.
Man kann nun auch schön ablesen, dass
[mm] \left(\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\-1\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}\right)
[/mm]
eine Basis des Lösungsraums bilden.
> Es sieht auch sehr nach der Lösung aus, die wir in der
> Übung als Lösung bekommen haben, nur dass vor dem ersten
> Vektor kein "S" steht. Liegt das nur daran, weil die nicht
> die Parameter mit s,t oder u bezeichnet haben, sondern
> ihnen direkt irgendwelche Werte wie z.B. "1" oder "0"
> gegeben haben?
Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder war in deiner Übung nur eine spezielle Lösung gesucht (was ich nicht glaube), oder aber, ihr habt einfach gleich eine Basis des Lösungsraums bestimmt. Da schreibst du aber nicht irgendwelche Skalare vor die Vektoren, sondern nimmst einfach die drei Vektoren, die du nun bekommen hast, und schmeißt sie in ein Tupel, das ist dann deine Basis.
> Es gibt da ja irgendwie zwei Arten des Lösungsweg, wobei
> mir der mit s,t,u (oder a,b,c) immer am einleuchtesten war.
Ist er auch. Er funktioniert immer.
Grüße,
Stefan
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