Fredholm Alternative - Lösung < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 So 29.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich soll mit der "Fredholmschen Alternative" enscheiden ob ein Gleichungssystem (Matrix A, Vektor b) eine Lösung besitzt. b ist nicht der Nullvektor, es muss also eine reguläre Matrix sein bzw. invertierbar.
Was ist aber nun die Fredholmsche alternative? Ich habe nur Wikipedia als Info und finde dort nicht viel zum Verstehen. Also was mit klar ist ist der Kern von A. Was soll ich jetzt mit der Fredholmsche Alternative tun und wie?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 29.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...ich hab da gerade noch ne Administrative Frage: Ich habe neulich hier eine
Frage gestellt, wo man einen Plotter findet der Richtungsfelder (für DGL) zeichnet. Nur finde ich die Frage nicht unter meinen einträgen "Beteligt", hab ich sie demfall nicht gestellt...? Ich war mir sicher ich hab sie abgeschickt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 So 29.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo qsxqsx,
Du hast die Frage abgeschickt und ich habe sie beantwortet, aber sie ist auch nicht unter meinen "Beteiligt"-Einträgen zu finden.????????????
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 29.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Da kann ich nur Danke sagen! Trotzdem sehe/finde ich es nicht, auch nicht bei deinen "Beteiligt"...das geht von Cauchy Kriterium bis zu diesem Beitrag...nein ich finde es nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 29.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...doch ich habs jetzt gefunden! Tut mir leid...hab gedacht das sei was anderes...Danke...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 29.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo qsxqsx,
jetzt ein paar Worte zur Fredholmschen Alternative. Wie Du ja schon im Wiki gesehen hast, gibt es sie in verschiedenen Gebieten der Mathematik; immer dann, wenn lineare Operatoren (Abbildungen) ein Rolle spielen und nach Lösungen von Gleichungen gefragt ist, trifft man sie wieder. Die Formulierung in Wiki für die lineare Algebra ist tatsächlich etwas steif.
Worum geht es?
Die F. A. stellt einen Zusammenhang zwischen der Lösbarkeit eines inhomogenen linearen Gleichungssystems Ax=b und dem Lösungsraum der homogenen Gleichung Ax=0 (A sei nxn-Matrix) her.
Die F. A. sagt nun, dass (1) entweder zu beliebiger rechter Seite b eine Lösung x der inhomogenen Gleichung Ax=b existiert
oder (dies ist ein xor)
(2) die homogene Gleichung Ax=0 mehr als nur die triviale Lösung x=0 hat.
Wenn Du dies mit der Wiki - Aussage vergleichst, siehst Du, dass (1) gerade die Surjektivität von A als lineare Abbildung aufgefasst bedeutet und (2) gerade die Tatsache ausdrückt, dass der Kern von A nicht nur die 0 enthält, also, weil er ja immer ein Unterraum ist, eine Dimension > 0 hat.
Angewendet auf Deine Aufgabe musst Du also zeigen, dass die Matrix A bei Ax=0 nur die 0 als Lösung hat. Dies ist natürlich der Fall, wenn A regulär = invertrierbar ist.
Gruß
Uli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 So 29.11.2009 | | Autor: | qsxqsx |
...nochmals vielen Dank! ...wenn A * x = 0 nur x = 0 als Lösung hat, dass dann A*x = b eine nicht triviale Lösung hat war mir schon klar. Fredholm war mit nur etwas "Fremd"...ich werde mich sicher nochmals mit Fredholm beschäftigen (müssen)...
Schönen Abend.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist A eine nxn-Matrix, so gilt:
$dim(kernA)+rangA = n$
darau folgt insbesondere:
Kern A = {0} [mm] \gdw [/mm] rang A = n [mm] \gdw [/mm] A invertierbar.
Für das LGS
(*) Ax= b
bedeutet das: (*) ist für jedes b eindeutig lösbar [mm] \gdw [/mm] das homogene LGS Ax = 0 ist nur trivial lösbar.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Do 03.12.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Jetzt leuchtets mir voll (=noch besser) ein. Danke Fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:43 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Gern geschehen
FRED
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