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Hallo, bin gerade in der Klausurvorbereitung und es sind einige Fragen aufgetaucht, zu denen ich in meinen ganzen Büchern leider keine passende Antwort finde:
1. In meinem Stanadard-LinA-Buch steht, dass jede zyklische Gruppe isomorph zu [mm] \IZ [/mm] oder [mm] n\IZ [/mm] ist, leider ist mir nicht so ganz klar, was mit [mm] n\IZ [/mm] gemeint ist, ist das nun die Restklasse [mm] \IZ/n\IZ [/mm] oder was ganz anderes?
2. Wieviele Untergruppen und Normalteiler hat die [mm] \IZ/12\IZ? [/mm] Meiner Meinung nach müssten alle Untergruppen dieser Gruppe Normalteiler sein, weil ja [mm] \IZ/12\IZ [/mm] kommutativ ist ?!
3. Es sollte gezeigt werden, dass
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x+y gerade
eine Äquivalenzrelation ist, refl. und sym. sind kein Problem und eigentlich sollte auch die Transitivität (x+y gerade, y+z gerade [mm] \Rightarrow [/mm] x+z gerade) kein problem sein, aber leider komm ich da nicht weiter, ich hab
x+y=2n
y+z=2m
gesetzt und dann damit rumexperimentiert, aber leider nur immer wieder darauf gekommen, dass x-z gerade ist...
4. Gibt es ein universelles (klausurgeeignetes) Verfaheren um herauszufinden, wieviele untergruppen eine gruppe hat?
Vielen Dank im Voraus.
mfg
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1. Oft schreibt man für [mm]\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}[/mm] kurz [mm]\mathbb{Z}_n[/mm]. Möglicherweise also ein Schreibfehler, bei dem das [mm]n[/mm] aus dem Index vor das [mm]\mathbb{Z}[/mm] gerutscht ist. Denn jede zyklische Gruppe ist entweder zu [mm]\mathbb{Z}[/mm] oder einer Gruppe [mm]\mathbb{Z}_n[/mm] isomorph.
2. Deine Aussage stimmt.
3. [mm]x+z = (x+y) + (y+z) - 2y = 2n + 2m - 2y = 2(n+m-y)[/mm]
4. Ein universelles Verfahren gibt es nicht. Sonst könnte man auf die Vorlesung Gruppentheorie II verzichten. Nur in speziellen Fällen kann man Aussagen machen.
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